061 đề hsg toán 8 bắc giang 22 23

Chứng minh MK/ /FE 3 Tính giá trị của tổng 4 Gọi N là giao điểm của EFvới tia CB.Chứng minh CE CN... Chứng minh MK/ /FE Chứng minh được MD BF/ / cùng vuông góc với CF Xét CFBcó MD BF/ /

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ BẮC GIANG

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8_NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm xđể biểu thức Acó giá trị nguyên

2) Cho ba số thực a b c, , khác 1 và thỏa mãn a b c  3

Tính giá trị của biểu thức

 

   

 

   

 

   

B

Bài 2 (4 điểm)

1) Giải phương trình :x25x 22 4x22 5  x 4

2) Tìm các cặp số nguyên x y; thỏa mãn 2 2

5 19

x y

x xy y





 

Bài 3 (4 điểm)

1) Tìm đa thức P x , biết khi chia P x cho x 1dư 1, chia cho x  3dư 9 và khi chia cho x2  2x 3thì được thương là x2 x1và còn dư

2) Tìm các số tự nhiên nsao cho 2n 1và 3n 1là các số chính phương và 2n 9là số nguyên tố

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABCcân tại C AB AC  Kẻ ba đường thẳng AD BE CF, , cắt nhau tại H

D BC E AC F ,  , AB

1) Chứng minh

2

2

AB

AE AC 

2) Kẻ DM CFtại M, DK ACtại K Chứng minh MK/ /FE

3) Tính giá trị của tổng

4) Gọi N là giao điểm của EFvới tia CB.Chứng minh CE CN FE FN CF  2

Bài 5 (1 điểm)

Cho a b, là hai số thực dương thỏa mãn a b 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

4

ab





ĐÁP ÁN Bài 1 (5 điểm)

c) Rút gọn biểu thức A

Với x 1, ta có :

2 2

1

1

A

x

x x

 

Vậy

2

x

A

x x



  với x 1

d) Tìm xđể biểu thức Acó giá trị nguyên

Ta có :

2

x

x x

 

Xét

 

2 2

2

x x



Từ (1) và (2) ta có :

4 0

3

A

 

mà A có giá trị nguyên nên A0;1 Xét A 0tìm được x0( )tm

Xét

2 2

1

x

x x

  Vậy khi x 0; 1  thì biểu thức A có giá trị nguyên

4) Cho ba số thực a b c, , khác 1 và thỏa mãn a b c  3

Tính giá trị của biểu thức

 

   

 

   

 

   

B

Từ giả thiết ta có a b c   3 a1  b1  c1 0

Đặt x a  1;y b 1;z c  1ta có x y z  0và x0,y0,z0

Khi đó

B

yz zx xy xyz

 

Vì x y z   0 x y z x3y33xy x y   z3

x y  xy z z  (vì x y z) x3y3z33xyz

Thay x3y3z33xyzvào biểu thức Bta có :

3

3

xyz B

xyz

Vậy khi ba số thực a b c, , khác 1 và thỏa mãn a b c  3thì B 3

Bài 2 (4 điểm)

3) Giải phương trình :x25x 22 4x22 5  x 4

x25x 22 4x22 5  x 4  1

Đặt

2

2 2

5 2

5 4

a b x x

  

    



 

 Khi đó phương trình (1) trở thành :

a b 2 4ab a b 2  0 a b

3

x

x





          

 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S 2;3

4) Tìm các cặp số nguyên x y; thỏa mãn 2 2

5 19

x y

x xy y





 

5

19

x y

x y x xy y

x xy y



 

Từ (1) ta có 19x y 5mà 19;5  1 x y 5 x y 5m m Z  

Thay vào (1) tính được x2xy y 2 19m

x y  m x  xy y  m , ta có xyx2  2xy y 2  x2 xy y 2  25m2  19m

x y  xy x y   m  m  m   m  m

76

0

75

m

mà m Z  m0;1

     

*) 0

5

6

m

x y

xy

 







Vậy x y ;  0;0 ; 2;3 ; 3;2    

Bài 3 (4 điểm)

3) Tìm đa thức P x  , biết khi chia P x cho x 1dư 1, chia cho x  3dư 9 và khi chia cho x2 2x 3thì được thương là x2 x 1và còn dư

Vì P x( )chia cho x 1 dư 1, chia cho x  3dư 9 nên theo định lý Bơ zu ta có

P   P 

Vì đa thức chia cho x2 2x 3bậc hai nên đa thức dư có dạng ax b khi đó ta có :

   2 2 3  2 1 ( )  1  3  2 1

P x  x  x x  x ax b  P x  x x x  x ax b

Ta có

 

 

2, 3

3 9

a b P

 



 



   2 2 3  2 1 2 3 4 3 2 3

Vậy P(x)=x4 3x2 3x

4) Tìm các số tự nhiên nsao cho 2n 1và 3n 1là các số chính phương và 2n 9là

số nguyên tố

Ta có 2n 1và 3n 1là các số chính phương nên ta có :

2

2n 1 a a N 1 , 3n 1 b b N2    2

Từ (1) và (2) ta có : 3a2 2b2 1 3 

Ta có 2n 9 2n1 8 a28 3 a2 2b2 25a216b2 5a 4b 5a4b  4

Do 2n 9là số nguyên tố mà 5a 4b5a4bnên từ (4) ta có :

5

b

, thay

5

b

vào (3)

2

0

2 9 9( )

4 1

2 9 89( )

n

b

n

    



 



     

 



Vậy n 40là giá trị cần tìm

Bài 4 (6 điểm)

Cho tam giác ABCcân tại C AB AC  Kẻ ba đường thẳng AD BE CF, , cắt nhau tại

H D BC E AC F ,  , AB

K

M H

D

F

E A

C

B Q

5) Chứng minh

2

2

AB

AE AC 

Xét AEB∽ AFCcó :

 

90

AEB AFC

AEB AFC g g EAB chung









∽

(1)

ABC

 cân tại C có CF là đường cao nên CFlà đường trung tuyến

 2 2

AB

Từ (1) và (2) ta có

2

2

AB

AE AC 

6) Kẻ DM CFtại M, DKACtại K Chứng minh MK/ /FE

Chứng minh được MD BF/ / (cùng vuông góc với CF)

Xét CFBcó MD BF/ / (cmt) nên

CF CB (định lý Ta let) (3) Chứng minh được DK/ /BE(cùng vuông góc với AC)

Xét CFBcó / / ( )

(định lý Talet) (4)

Từ (3) và (4)

Xét CFEcó :   / /

CF CE  (định lý Talet đảo)

7) Tính giá trị của tổng

Chỉ ra được :

HBC HAC HAB ABC ABC ABC

AD S BE S CF S

Tính được

1

HBC HAC HAB ABC ABC ABC

HD HE HF

1 HD 1 HE 1 HF 3 1 AH BH CH 2

8) Gọi N là giao điểm của EFvới tia CB.Chứng minh CE CN. FE FN CF.  2

Trên tia đối của tia FC lấy điểm Q sao cho FNQFCE

Chứng minh được CEF∽ NQF g g .  EF FN. FQ CF.  5

Chỉ ra CF là phân giác của ABC FCN FCE

Chứng minh được CNQ∽ CFE g g( ) CE CN CQ CF.  .  6

Từ (5) và (6) ta có :

2

CE CN FE EN CQ CF FQ CF CF CQ FQ CF CF CF

CE CN FE FN CF

Bài 5 (1 điểm)

Cho a b, là hai số thực dương thỏa mãn a b 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

4

ab





2 2

      



Chứng minh được bất đẳng thức      

2

1 1 4

* ; x y 4xy **

x yx y   Với x0,y0 Dấu bằng xảy ra khi xy

Với a b, là hai số thực dương , 0  a b 1

Áp dụng bất đẳng thức  * và  ** ta có :

 

 

2

2

2

2 2

4 1

a b ab



Từ (1), (2) và (3) suy ra Q    4 2 1 2012 2019 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

1 2

a b 

Vậy MinQ2019 a b 1