145 đề hsg toán 8 nghi lộc 22 23

Trên tia HClấy điểm D sao cho HD HA .Từ Dvẽ đường thẳng song song với AHcắt ACtại E... Chứng minh rằng trong các số 2021đường thẳng đó, có ít nhất 506đường thẳng cùng đi qua một điểm ĐÁ

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHI LỘC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN _LỚP 8_NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức

P

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

b) Tìm x để P 1

c) Xác định các giá trị nguyên của xđể biểu thức

2 1

P x



 với x 1nhận giá trị nguyên

Bài 2 (5,0 điểm)

a) Cho đa thức f x ax2021bx2019cx 5với a b c, , là các số hữu tỷ Biết

 7 7.

f   Tính f  7

b) Chứng minh rằng với mọi n  n 0thì A n 4 2n3 2n2 2n 1không là số chính phương

c) Cho 5a2 2b2  11abvới 5 0,

b

a  

tìm giá trị biểu thức

2 2 2

4 5 3

A

a ab







Bài 3 (3,0 điểm)

a) Với a b, là các số nguyên dương sao cho a 1và b 2007chia hết cho 6 Chứng minh rằng 4n  a bcũng chia hết cho 6 (với n N )

b) Cho a b c, , là bộ ba số dương Chứng minh rằng

2a b c a 2b c a b 2c 4 a b c

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC , vẽ đường cao AH(H thuộc BC) Trên tia HClấy điểm D sao cho HD HA Từ Dvẽ đường thẳng song song với AHcắt ACtại E Gọi M là trung điểm của BE.Chứng minh :

)

Bài 5 (1,0 điểm) Cho một hình vuông và 2021đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỷ số diện tích 2 : 3 Chứng minh rằng trong các số 2021đường thẳng đó, có ít nhất 506đường thẳng cùng đi qua một điểm

ĐÁP ÁN

Bài 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức

P

d) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P

Điều kiện để P xác định là :

 

3 3

2 2

3

8

8 0

4 0

2 0

x x

x

x

 

  





Với điều kiện trên :

   

 

 

 

 

2 2

3

2

.

2

4 8 16 4 8

16 2

P

x x

x x x



   





e) Tìm x để P 1

Để

 

 

2 2

1

P

 



Vậy để P 1thì x 0;1  2

f) Xác định các giá trị nguyên của xđể biểu thức

2 1

P x



 với x 1nhận giá trị nguyên

Ta có :

 2 2 2

x x

  

1

x x x

x

   

Để

2

1

P

x



3

1 1 1 3 3

x

x

ktm ktm tm ktm



Vậy x 4thì

2 1

P x



 là một số nguyên

Bài 2 (5,0 điểm)

d) Cho đa thức f x  ax2021bx2019cx 5với a b c, , là các số hữu tỷ Biết

 7 7.

f   Tính f  7

Ta có :

2021 2019

2021 2019

Mà f 7  7 f  7 10 7 17

Vậy f 7 17

e) Chứng minh rằng với mọi n  n 0thì A n 4 2n3 2n2 2n 1không là số chính phương

Ta có :

          

Do n 2 1không là số chính phương với n0,n N nên :

n 12n2  1không là số chính phương với n0,n N

4 2 3 2 2 2 1

     không là số chính phương với n0,n N

f) Cho 5a2 2b2  11abvới 5 0,

b

a  

tìm giá trị biểu thức

2 2 2

4 5 3

A

a ab







Ta có : 5a2 2b2  11ab

   

 

 

2

5

4 6 10

2 3.2

a b

a b ktm do a

A













Vậy

3

10

A 

Bài 3 (3,0 điểm)

c) Với a b, là các số nguyên dương sao cho a 1và b 2007chia hết cho 6 Chứng minh rằng 4n

a b

  cũng chia hết cho 6 (với n N )

Ta có: a1 6, b2007 6

4n 2

a b

  



*) 1 3, 2007 3

2008 3 1 3 2008 1 2007

1 2

1 2

4 1 1 3 4 1 4 1 4 4 1

3 4 4 1 3

 





Vậy  

 

2,3 1

n

a b



 



    



 



d) Cho a b c, , là bộ ba số dương Chứng minh rằng

2a b c a 2b c a b 2c 4 a b c

Ta chứng minh  

1 1

4

x y

x y

   

  với x0,y0

Thật vậy, theo BĐT Cô-si với x y , 0

2

4 , 0

1 1 2

4

x y xy

x y xy



 



( )

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

VT

a b a c b c a b a c b c

               

Vậy BĐT được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a b c 

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC  , vẽ đường cao AH

(H thuộc BC) Trên tia HClấy điểm D sao cho HD HA Từ Dvẽ đường thẳng song song với AHcắt ACtại E Gọi Mlà trung điểm của BE.Chứng minh :

M

E

D H

B

F

Xét ABCvà HACta có : BACAHC90  ABC∽ HAC g g( )

Chứng minh AEAB

Ta có : Gọi M là trung điểm của BE

1 2

cân tại M MBDMDB 1

Và AHM DHM c c c( ) HAM MDB 2

Từ (1) và (2) ta có MBDHAM

Gọi I là giao điểm của BM AH, Xét BIH và AIMcó :

90

        là đường cao ABE

ABE

  cân tại A nên AEAB

)

Xét HADvuông cân tại H HADHAM MAD 45 

Xét MAEvuông cân tại M nên MAEDAE MAD 45 

Vậy HAEDAE45  MAD

Gọi F nằm trên cạnh AHsao cho AMFBMH Ta có :

90  AMBAMF FMBBMH FMBFMH

FMH

  vuông cân tại M

Lại có , Xét AMFvà BMH ta có :

  (cách lấy điểm F),

1 2

AM BM BE

 , MBDHAM

 

AMF BMH g g AM BH AM BF BM AF

Từ MF MH  MHFvuông cân tại M

  ∽  (hai tam giác vuông cân đồng dạng)

 

HF MA AB MH AB HM BM HF

Từ (3), (4)

AB HM AM BH BM HF BM AF BM HF AF BM AH

Vậy AB HM AM BH  BM AH.

Bài 5 (1,0 điểm) Cho một hình vuông và 2021đường thẳng, mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai tứ giác có tỷ số diện tích 2 : 3 Chứng minh rằng trong các số 2021đường thẳng đó, có ít nhất 506đường thẳng cùng đi qua một điểm

M

Q

C

A

D

P

B

Giả sử MNlà một đường trung bình của hình vuông ABCD

Trên MNlấy hai điểm P Q, sao cho

1 2

Kẻ 1 đường thẳng đi qua điểm Qvà cắt AB DC, lần lượt tại R S, Ta có :

Và

2

3

ARSD

BRSC

S MQ AD S NQ AD

Ta được 1 đường thẳng RS thỏa mãn đề bài

Chứng minh tương tự ta cũng có một đường thẳng đi qua P cùng thỏa mãn yêu cầu của đề bài Suy ra 1 đường trung bình sẽ có 2 điểm nằm trên nó mà các đường thẳng đi qua nó cắt hai cạnh của hình vuông thỏa mãn yêu cầu đề bài

Mà hình vuông có hai đường trung bình nên sẽ có 4 điểm mà các đường thẳng đi qua thỏa mãn tính chất trên

Vì vậy các đường thẳng muốn thỏa mãn yêu cầu của bài toán thì phải đi qua 1 trong 4 điểm trên Lại có 2021 chia 4 được thương 505 và dư 1 Theo nguyên lý Dirichlet, có ít nhất 506 đường thẳng đồng quy tại 1 trong số 4 điểm

Bài toán được chứng minh