051 đề hsg toán 8 hoàng hóa 22 23

6,0 điểm Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC .Kẻ đường phân giác ADD thuộc BC.. Kẻ AJvuông góc với BCJ thuộc BC.. Chứng minh rằng tam giác ABK đồng dạng tam giác KAN và chứng minh ba đi

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOÀNG HÓA

ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023

MÔN TOÁN 8 Bài 1 (4,0 điểm)

1) Cho biểu thức

1 1 2 :

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của x để

1 2

P 

c) Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên

2) Cho các số x y z, , khác 0 thỏa mãn đồng thời

1 1 1

2

x yz  và 2

2 1

4

xy z 

Tính giá trị của biểu thức  

2019 2

P x y z

Bài 2 (4,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q3x3 7x217x 5

2) Giải phương trình x1 x2 x27x12 24

3) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  1

Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 0

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Cho m n, là các số tự nhiên thỏa mãn 4m2m5n2n Chứng minh rằng m n ;

5m5n1đều là các số chính phương

2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình :    

x  x y  y

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC .Kẻ đường phân giác AD(D thuộc BC) Kẻ AJvuông góc với BC(J thuộc BC) Từ D kẻ DH DK, lần lượt vuông góc với

AB AC HAB KAC , BK cắt DHtại M, CHcắt DK tại N

1) Chứng minh rằng AJ2 JB JC. ,

2) Chứng minh rằng MN/ /BC

3) Gọi Ilà giao điểm của BK và CH Chứng minh rằng tam giác ABK đồng dạng tam giác

KAN và chứng minh ba điểm A I J, , thẳng hàng

4) Gọi Elà giao điểm của AM và BD F, là giao điểm của BMvà AD Chứng minh rằng

9

Bài 5 (2,0 điểm)

1) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn

1 1 1

2019

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức

P

x y z x y z x y z

2) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng :

a b2 b c2 c a2 9 2 a b c

ĐÁP ÁN Bài 1 (4,0 điểm)

3) Cho biểu thức

1 1 2 :

P

d) Rút gọn biểu thức P

 

 

   

 

 

 

 

 

2

2

0

1 1 2 :

1

1

x

P

x







e) Tìm các giá trị của x để

1 2

P 

       

2

1( )

( ) 2

x

x

x tm

x tm

           









 



f) Tìm các giá trị của x để P nhận giá trị nguyên

1

 

Để P Z  1x1 x1U   1   1 x2;0

4) Cho các số x y z, , khác 0 thỏa mãn đồng thời

1 1 1

2

x yz  và 2

2 1

4

xy z 

Tính giá trị của biểu thức  

2019

2

P x y z

2

2

          

2 2

1 1 1 2 2 2 2 1

0

1 1

0

1 1

0

x y z xy yz xz xy z

x z

x y z

y z

               



 



  



Thay x y zvào

1 1 1

2

xyz  ta được

1 2

x y

và

2019

z  P     

Bài 2 (4,0 điểm)

4) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : Q3x3 7x217x 5

2

3 7 17 5

3 6 2 15 5 3 1 2 3 1 5(3 1)

5) Giải phương trình x1 x2 x27x1224

             

2

1 ( 4) 2 3 24 0 5 4 5 6 24 0 *

Đặt tx25x5, phương trình (*) thành :

5

1 1 24 0 1 24 0

5

t

t

Vo nghiem





          



Vậy S   5;0

6) Cho các số dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  1

Chứng minh rằng 1 2 1 2 1 2 0

   

1 a ab bc ca a    a b a c 

Hoàn toàn tương tự : 1b2 b a b c    ; 1c2 c a c b    

       

2

1

c c a c b c a c b c b c a

       

       

2

2

1

1

a b a c a b a c a c a a b

b b a c b b a c b a b c b

Vậy 1 2 1 2 1 2 0

Bài 3 (4,0 điểm)

3) Cho m n, là các số tự nhiên thỏa mãn 4m2m5n2n Chứng minh rằng m n ;

5m5n1đều là các số chính phương

Ta có : 4m2m5n2n

4m 4n m n n m n 4m 4n 1 n 1

Gọi d UCLN m n m   ; 4 4n1 4m4n1 4m n d   8n1d 2

Từ  1  n d2 2 n d  3

Từ (2) và (3) suy ra 1d d 1

Vậy m n và 4m4n1là các số nguyên tố cùng nhau thỏa mãn  1

Nên chúng đều là các số chính phương

4) Tìm nghiệm nguyên của phương trình :    

2

2

2 2

2 1 2 2

         

Nếu

2 2

2 2

2

2

0 0

1 1

1

1 1

2 0( )

y

y y

y y

y

y y

  



  

  

 Phương trình có các tập nghiệm nguyên 0;0 , 0; 1   

1

y

y







 Phương trình có nghiệm 1;0 , 1; 1   

x   x x   x x  không có nghiệm nguyên x  1

Bài 4 (6,0 điểm) Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC .Kẻ đường phân giác AD(D thuộc BC) Kẻ AJvuông góc với BC(J thuộc BC) Từ D kẻ DH DK, lần lượt vuông góc với

AB AC HAB KAC , BK cắt DH tại M, CH cắt DK tại N

E

M

K H

J D

A

B

C

5) Chứng minh rằng AJ2 JB JC. ,

Ta có   B C90(vì ABCvuông tại A), CAJ  C90 (vì tam giác AJBvuông)

B CAJ

   Xét AJCvà JBAcó :

AJB AJC CAJ B cmt AJC JBA g g

Xét tứ giác AKDH có : DHAHAK AKD90  AKDHlà hình chữ nhật

 

Từ (1) và (2) suy ra

6) Chứng minh rằng MN/ /BC

7) Gọi Ilà giao điểm của BKvà CH Chứng minh rằng tam giác ABKđồng dạng tam giác KAN và chứng minh ba điểm A I J, , thẳng hàng

Xét tứ giác AKDH có  A H K 90  AKDHlà hình chữ nhật mà ADlà phân giác của

A

  AKDHlà hình vuông  AK DK DH AH

AKB ANK

  

Mà ANK NAK 90  APKvuông tại P hay AN BKtại P

Chứng minh tương tự ta có AM CH  I là trực tâm của tam giác AMN  AI MN

Mà MN/ /AC AI MN mà AJ MN A I J, , thẳng hàng

8) Gọi Elà giao điểm của AM và BD F, là giao điểm của BM và AD Chứng minh rằng

9

Đặt S ABD S S; MBD S S1; MAB S S2; MAD S3 S S 1S2S3

1 1 1

S

 = 1 2 3 1 2 3

9

S S S

     

Bài 5 (2,0 điểm)

3) Cho x y z, , là các số thực dương thỏa mãn

1 1 1

2019

x y z  Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

P

x y z x y z x y z

 

4 4

x y z x x y z x x y z x x y z x x y z

Cmtt

Từ (1), (2), (3) ta có :

P

Vậy

4) Cho a b c, , là các số thực dương Chứng minh rằng :

a b2 b c2 c a2 9 2 a b c

Bất đẳng thức đã cho tương đương với :

3 2

ab ab bc bc ca ac b c c a a b

3 2

           

Ta có

b c b c

a a a a





Tương tự :

;

a c a c b a  a b

4

b c a c b a b c a c a b

b c a c b a b c a c a b b c a c a b

2 2 2 1

2

x y x z z y

y x z x y z

             

       

Lại có

yx  y x  z x  z x  yz  y z 

.6

b c a c a b