005 đề hsg toán 8 hoằng hóa 2016 2017

4,5 điểm Cho tam giác nhọn ABC.. Các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H.. , , Chứng minh rằng: a Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b BH BE CH CF BC.. 2,0 điểmCho tam giác ABC Trên

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HUYỆN HOẰNG HÓA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2016-2017 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 21/04/2017 Câu 1 (4 điểm)

Cho biểu thức

a) Rút gọn P

b) Tìm x để P có giá trị nguyên

c) Tìm x để P 1

Câu 2 (4,5 điểm)

a) Giải phương trình: x3 6x x 30 0

b) Giải bất phương trình sau:

c) Cho biết 2

2

1 3

x

x  x  Hãy tính giá trị của biểu thức:

2

4 2 1

x Q



Câu 3 (5,0 điểm)

a) Tìm ,x y thỏa mãn đẳng thức: 5x2 5y2 8xy2y 2x 2 0

b) Cho , ,a b c  thỏa mãn , a b c   Chứng minh 0 a5 b5 c530

c) Chứng minh rằng:

, ,

a b c là các số thực không nhỏ hơn 1.

Câu 4 (4,5 điểm) Cho tam giác nhọn ABC Các đường cao AD BE CF cắt nhau tại H , , Chứng minh rằng:

a) Tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

b) BH BE CH CF BC.  .  2

c)

2

4

BC

AD HD 

d) Gọi , , ,I K Q R lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ E xuống , AB AD ,

,

CF BC Chứng minh bốn điểm , , , I K Q R cùng nằm trên một đường thẳng.

Câu 5 (2,0 điểm)Cho tam giác ABC Trên tia đối của các tia . BA CA lấy theo thứ tự các ,

điểm ,D E sao cho BD CE BC  Gọi O là giao điểm của BE và CD Qua O vẽ đường

thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K Chứng minh

ĐÁP ÁN Câu 1.

a) ĐKXĐ: x0;x1

Ta có:

 



Vậy

2

1

x P

x





b) Ta có:

2

1

x

  Ư  2   1; 2

Từ đó suy ra x 2;0;3; 1 

Kết hợp với ĐKXĐ được x 2;3

c)

P



Mà x   nên 1 x 1 x   và 1 0 x  1 0 x và 1 x 1

Kết hợp với ĐKXĐ được 1   và x 1 x 0

Câu 2.

a) Ta có: x3  6x2  x30 0  x 3 x2 x 5 0

      

b)

7

4



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là

7 /

4

S x x 

c) Từ 2

2

0,

1 3

x

x

x  x    do đó :

2

x

 



Lại có:

4 2

4

x x

Suy ra

2

4 2

4

1 21

x Q

Câu 3.

a)

Do 5x4y 12  và 0 9y 12  với mọi ,x y0

Nên 5x4y 12 9 y12 0

Suy ra x1;y 1

b)

Ta có: a5  a a a  2  1 a21 a a 2  1 a2 4 5 

a 2 a 1  a a 1 a 2 5a 1  a a 1

Do a 2 a 1 a a1 a2 là tích 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho cả 2;3;5,

do đó chia hết cho 30

Lại có a 1 a a1chia hết cho 6 nên 5a 1 a a1chia hết cho 30

Từ đó suy ra a5 achia hết cho 30

Tương tự b5  bchia hết cho 30 và c5  cchia hết cho 30

Từ đó suy ra a5b5c5 a b c   a5 a  b5 b  c5 c

chia hết cho 30

Mà a b c   nên 0 a5b5c5chía hết cho 30

           

           

)

a c2b2 1 b a2c2 1 c b2a2 1 0

          (đúng với mọi , , 1)a b c 

Câu 4.

R

K

Q

I

F

D

E A

a) Ta có: ( )

Từ đó suy ra AEF ABC c g c 

Từ (1) và (2) suy ra BH BE CH CF BC BD BC CD BC.  .  .  .  2

Lại có:

Do đó:

2

4

BC

AD HD 

d) Từ giả thiết suy ra EI / /CF EK, / /BC EQ, / /AB ER, / /AD

Áp dụng định lý Talet ta có:

Từ      3 ; 4 ; 5 suy ra bốn điểm , , ,I K Q R thẳng hàng

Câu 5.

1 1

1 1

M

K

O

E D

A

Vẽ hình bình hành ABMC  AB CM  1

Ta có:

nên BO là tia phân giác của CBM Tương tự CO là tia phân giác của BCM

Do đó MO là tia phân giác của BMC

Suy ra OM song song với tia phân giác của A, suy ra , ,K O M thẳng hàng

Ta có:

Nên tam giác KMC cân tại C CK CM (2)

Từ (1) và (2) suy ra CK AB