022 đề hsg toán 8 cẩm thủy 22 23

Thanh niên mỗi người 2 chiếc; người già mỗi người một chiếc; các em bé thì 4 em một chiếc.. Hỏi có mấy thanh niên, mấy người già, mấy em bé?. Biết rằng theo cách chia ấy thì số bánh mỳ c

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO CẨM THỦY

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 8

NĂM HỌC 2022-2023 Bài 1.(4 điểm) Cho biểu thức

2

:

P

a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị nguyên của xđể Pcó giá trị là số nguyên tố

c) Với x 0thì P không nhận những giá trị nào

Bài 2 (3 điểm) Giải phương trình :

a x x x x 

b

Bài 3 (3 điểm)

a) Phân tích các đa thức thành nhân tử :    

2

P x y xy x y  b) Chia 12cái bánh mỳ cho 12 người Thanh niên mỗi người 2 chiếc; người già mỗi người một chiếc; các em bé thì 4 em một chiếc Hỏi có mấy thanh niên, mấy người già, mấy em bé ? Biết rằng theo cách chia ấy thì số bánh mỳ chia vừa đủ cho số người ?

Bài 4 (3 điểm)

a) Tìm x y, nguyên thỏa mãn x4  y 4 y2 x2

b) Cho a b c, , là các số không đồng thời bằng 0, thỏa mãn a b c   0

Q

Bài 5 (6 điểm) Cho hình vuôngABCD,trên tia đối của tia CDlấy điểm M bất kỳ

CM CD, vẽ hình vuông CMNP(P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H,MP cắt

BDtại K

a) Chứng minh DH vuông góc với BM

b) Tính

PC PH KP Q

BC DH KM

c) Chứng minh MP MK DK BD DM   2

Bài 6 (1 điểm) Cho a b c , , 0thỏa mãn abc ab bc ca  

Chứng minh

a b c b  c a c  a b

ĐÁP ÁN Bài 1.(4 điểm) Cho biểu thức

2

:

P

d) Rút gọn biểu thức P

ĐKXĐ: x 3 Ta có :

2

2

2 2

2

:

:

P

Vậy với x 3thì

3 3

x P x







e) Tìm các giá trị nguyên của xđể Pcó giá trị là số nguyên tố

Để Plà số nguyên tố thì

3 3

x x





3 1 3

x x







Suy ra x3 x 3và

3 1 3

x x







Ta có x3 x 3  x 3 6  x 3

Với x  ,để x 3 6  x 3 6x 3  x 3U(6)     1; 2; 3; 6 Ta có bảng sau:

x

x

P



Mà P là số nguyên tố và kết hợp với ĐKXĐ thì x 4;6;9 thỏa mãn yêu cầu bài toán

f) Với x 0thì P không nhận những giá trị nào

3

3

x

x





1

P

P





Với x 0thì

0 1

P P





 và P 1

1

1 1

1 1

P

P P

P P

 







       



 



Vậy với x 0thì P không thể nhận các giá trị   1 P 1

Bài 2 (3 điểm) Giải phương trình :

2

2

4 13 8 4 13 8 297 0

4 13 297 8 361 19

4

4 13 19

8

4 13 19

x x

x

x x

x

x x

VN







  





Vậy tập nghiệm của phương trình S   8; 4

b

ĐKXĐ: x4,x2,x1.Đặt x 1 a x,  2b x,  4c Ta có phương trình :

2 2

12

a c ab c b

a c ab c ab c b

b c

ac b ac b

Thay x 1 a x;  2b x,  4cta được

2

3( )

9 47

5

x tm

x tm







          

 

Vậy tập nghiệm phương trình là

4 3;

5

S  

 

Bài 3 (3 điểm)

c) Phân tích các đa thức thành nhân tử : P6x y 2xy 20x y 16

   

2

2 3 2 4 3 2 3 4 4 3 2 4

x xy y xy x y

x xy y xy x y

d) Chia 12cái bánh mỳ cho 12 người Thanh niên mỗi người 2 chiếc; người già mỗi người một chiếc; các em bé thì 4 em một chiếc Hỏi có mấy thanh niên, mấy người già, mấy em bé ? Biết rằng theo cách chia ấy thì

số bánh mỳ chia vừa đủ cho số người ?

Gọi số thanh niên là a, số người già là b, số trẻ em là c (người), (a,b,cN*,

a, b, c < 12)

Khi đó, số bánh phát cho thanh niên là 2a chiếc

Số bánh phát cho người giả là 2

b

chiếc

Số bánh phát cho trẻ em là 4

c

chiếc

Theo đề bài ta có: a+b+c=12 (1) và 2 2 4

b c

a   

12(2)

Từ (2) ta có 8a 2b c 48 a b c 7a b 48 12 7a b 48              (theo (1))

⇒7a+b=36

Ta thấy số thanh niên phải nhỏ hơn 6 vì nếu số thanh niên bằng 6 thì sẽ không có bánh chia cho người già và trẻ em Do vậy 1  a 5

+ TH1: a =1 suy ra b =29 (loại vì số bánh cần phát lớn hơn 12 )

+ TH2: a =2 suy ra b=22 (loại vì số bánh cần phát lớn hơn 12 )

+ TH3: a = 3 suy ra b=15 (loại vì số bánh cần phát lớn hơn 12)

+ TH4: a = 4 suy ra b = 8 (loại vì sẽ không có bánh phát cho trẻ em)

+ TH5: a = 5 suy ra b=1, c=6 (thỏa mãn)

Vậy có 5 thanh niên, 1 người già và 6 trẻ em

Bài 4 (3 điểm)

c) Tìm x y, nguyên thỏa mãn x4  y 4 y2 x2

x y x y

                 

Vì x y  , nên ta có bảng sau :

 

2

2

2

2( ) 1( ) 1( ) 2( ) ( )

x y

x y

y

x



Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn là x y   ;   1; 2 , 1; 2 , 1;3 , 1;3       

d) Cho a b c, , là các số không đồng thời bằng 0, thỏa mãn a b c   0

Q

ĐKXĐ: a2 b2c2 ; b2 a2c2 ; c2 a2b2

Từ a b c  0

2

2

2

2 2 2

a b c bc

a b c

a b c

 



            

Nếu a0,b0,c0thì không thỏa mãn điều kiện vì

2 2 2 ; 2 2 2 ; 2 2 2

a b c b a c c a b nên a b c , , 0 Khi đó

, , 0

Q

a b c

bc ac ab abc abc

 

Bài 5 (6 điểm) Cho hình vuôngABCD,trên tia đối của tia CDlấy điểm M bất kỳ

CM CD , vẽ hình vuông CMNP(P nằm giữa B và C), DP cắt BM tại H,MP cắt BDtại K

K

H

N P

C

B A

d) Chứng minh DH vuông góc với BM

Xét KDM có : KDM KMD 45   45   90 

Suy ra KDM vuông tại K  MPBD

Xét BDM có BCMD MK, BD BC, cắt MK tại P

P

 là trực tâm BMD DPBM hay DH BM dfcm( )

e) Tính

PC PH KP Q

BC DH KM

Ta có : DPM và DBM có cùng đáy

DPM BDM

MD

BPM BPD BDM BDM

S DH S MK

DPM BPM BPD BDM

PC PH KP Q

f) Chứng minh MP MK DK BD DM   2

Xét KDM và CPM có DKM PCM 90 ; KMDchung

MD MP

BD DC

MD DK

Do đó MP MK DK BD MC MD DC MD.  .  .  . MC DC MD DM dfcm .  2 

Bài 6 (1 điểm) Cho a b c , , 0thỏa mãn abc ab bc ca  

Chứng minh

a b c b  c a c  a b 

1 1 1

1 *

abc ab bc ca

a b c

Áp dụng bất đẳng thức Cosi – Schwarz ta được

*)

a b c a b b c c a b b c c

           

1 1 1 1 1 1

*)

*)

b c a b c c a a b c c a a

c a b c a a b b a c a b b

           

           

Khi đó từ (*) suy ra :

1 1 1 1 1 3

VT

a b c

     

3

16

VT  dfcm