090 đề hsg toán 8 thái thụy 22 23

5,0 điểm Cho O là trung điểm của đoạn AB.. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB, vẽ tia Ax By, cùng vuông góc với AB.. Trên tia Ax lấy điểm C khác A, qua O kẻ đường thẳng vuông g

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN 8 _ NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

P

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P=6

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Cho các số a b c d, , , nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn :

6.

    Chứng minh A abcd là số chính phương

b) Tìm anguyên để a3 2a27a 7chia hết cho a 2 3

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Ax1 2  x1 2  x2 3x12017

b) Giải phương trình

Bài 4 (3 điểm)

a) Gọi a b c, , là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn:a3b3c3  3abc Chứng minh tam giác đều

b) Cho x y z, , dương và x y z  1.Chứng minh rằng

9

x  yzy  xzz  xy 

Bài 5 (5,0 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn AB Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ

là cạnh AB, vẽ tia Ax By, cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua

O kẻ đường thẳng vuông góc với OCcắt tia By tại D

a) Chứng minh AB2 4AC BD.

b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M Chứng minh AC CM

c) Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H Chứng minh BCđi qua trung điểm MH d) Tìm vị trí của C trên Ax để diện tích tứ giác ABDCnhỏ nhất

Bài 6 (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

2

2015 4031 2016

x y  y  x 

ĐÁP ÁN

Bài 1 (4,0 điểm) Cho biểu thức

P

c) Rút gọn P

4

2

2 1 2 1 2 1

P

  

d) Tìm các giá trị của x để P=6

Điều kiện :

1 2

x 

4

4

2

2 2

1

2 1

x

x





      

 

     



Vậy x  1 2

Bài 2 (4,0 điểm)

c) Cho các số a b c d, , , nguyên dương đôi một khác nhau và thỏa mãn :

6.

    Chứng minh A abcd là số chính phương

 

( )

( )( ) ( )( )

0

a b b c c d d a

a b b c c d d a a b b c c d d a

d a c

a b b c c d d a a b b c c d d a

b c a d a c

b c d d a d a b b c

a b b c c d d a

b c d d a d a b b c ab





2 2 0

c acd bd b d

b d ac bd ac bd ac bd

2

A abcd  ac là số chính phương

d) Tìm anguyên để a3 2a27a 7chia hết cho a 2 3

Thực hiện chia a3 2a27a 7 cho a 2 3 Kết quả

a3 2a2 7a 7  a2  3 a 2 4a 1

Để phép chia hết thì 4a1a23 4a1 4  a1a23

Tìm a thử lại và kết luận a   2;2

Bài 3 (3,0 điểm)

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : Ax1 2  x1 2  x2 3x12017

2

2

2

2

1 2 1 2 3 1 2017

2 3 1 2 3 1 2017 2 3 1 2017

2 3 2016 2016

x x

Dấu bằng xảy ra khi

2

0

2

x

x x

x







  

 

 Vậy

3

2016 0;

2

d) Giải phương trình

   

2

4

3

4

x

x

a b

a b a b











3( )

( ) 5

x tm x

x tm







 



Vậy tập nghiệm phương trình là

4 3;

5

S  

 

Bài 4 (3 điểm)

c) Gọi a b c, , là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn:a3b3c33abc Chứng minh tam giác đều

Chứng minh: a3b3c3 3abca b c a    2b2c2 ab bc ca  

Từ giả thiết suy ra a b c a    2 b2 c2  ab bc ca   0

0

a b c ab bc ca a b c ab bc ca

Nên đó là tam giác đều

d) Cho x y z, , dương và x y z  1.Chứng minh rằng

9

x  yzy  xzz  xy 

2

Chứng minh  

1 1 1

9

a b c

a b c

     

9

9

x  yzy  xzz  xy  (đpcm) Bài 5 (5,0 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn AB Trên cùng một nửa mặt phẳng

có bờ là cạnh AB, vẽ tia Ax By, cùng vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OCcắt tia By tại D

I

K M

D

O

C

e) Chứng minh AB2 4AC BD.

Chứng minh OAC∽ DBO g g( )

2

2 2

f) Kẻ OM vuông góc với CD tại M Chứng minh AC CM

Theo câu a ta có ( )

Mà

OA OB

Chứng minh OAC∽DOC c g c( ) ACOOCM

Chứng minh OACOMC ch gn(  ) AC MC dfcm ( )

g) Từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H Chứng minh BCđi qua trung điểm MH

Ta có : OAC∽ OMC AO MO CA CM ;  Suy ra OC là trung trực của AM

OC AM

Mặt khác OA OM OB   AMBvuông tại M

Nên OC BM/ / AMhay OC BI/ /  OM đi qua trung điểm AI suy ra IC=AC

/ /

MH AI , theo hệ quả của định lý Talet nên

Mà ICAC MK HK  BCđi qua trung điểm của MH (đpcm)

h) Tìm vị trí của C trên Ax để diện tích tứ giác ABDCnhỏ nhất

Tứ giác ABDC là hình thang vuông nên  

1

2

ABDC

Ta nhận thấy AC, BD > 0 nên theo BĐT Cô si ta có :

2

2 1

AB

AC DB  AC BD AB S  AB

Dấu bằng xảy ra khi 2

AB

Vậy C thuộc tia Ax và cách điểm A một khoảng bằng OA

Bài 6 (1,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

2

2015 4031 2016

x y  y  x 

F

b c c d d a a b b c d a c d a b

a d a c b c b b a d d c a c ad bc b d ab dc

2

4 a c ad bc b d ab dc

b c d a

      



  

Theo bđt  

2 1

4

Mặt khác :

2 a b c d ab ad bc cd    a b c d  

a b c d ac bd a c b d

F a c b d

Áp dụng với a2016,b x c , y d, 2015 Ta có :

2

2015 4031 2016

x y  y  x  Đẳng thức xảy ra khi x2015, y2016