074 đề hsg toán 8 thanh oai 22 23

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 NĂM HỌC 2022 2023 Môn Toán Thời gian làm bài 120 phút (không kể giao đề) Đề thi gồm có 01 trang Bài 1 (4,0 điểm) 1 Phân tích đa thức thành nhân tử 2 Chứng mi[.]

PHÒNG GD&ĐT THANH OAI ĐỀ THI OLYMPIC LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể giao đề)

Đề thi gồm có: 01 trang

Bài 1: (4,0 điểm)

1 Phân tích đa thức thành nhân tử x3 3x2 6x 4

2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì số n4 4 là hợp số

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho 3a2 3b2 10ab và b a 0  Tính giá trị của biểu thức

a b P

a b







2 Cho a, b  Q thỏa mãn a b ab3  3 2a b2 22a 2b 1 0   Chứng minh rằng 1 ab là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 3: (4,0 điểm)

1 Giải phương trình nghiệm nguyên 2xy x y 83  

2 Tìm x, y biết

2 2

9x 18x 17

y(y 4)

x 2x 3

 

Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là điểm bất kỳ trên cạnh AB, kẻ HI

vuông góc với HK (K  AC)

a) Chứng minh ∆BIH  ∆AKH

b) Chứng minh HI.BC = IK.AB

c) Tìm vị trí điểm I trên cạnh AB để diện tích tam giác HIK đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn

x 1



 





 Chứng minh rằng z = 1

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

ĐÁP ÁN ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN LỚP 8

Năm học:2022-2023 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm)

1 Phân tích đa thức thành nhân tử x33x2 6x 4

Lời giải

Ta có x33x2 6x 4

2

x (x 1) x x 1 4 x 1

(x 1) x 2x 4

2 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n > 1 thì số n44 là hợp số

Lời giải

Ta có n4 4 n 4  4n2 4 4n2

n2  22 2n2

n   . n  



Vì là số tự nhiên n > 1 nênn2  2n  2; n2  2n  2là số tự nhiên và n2  2n2n 1 2  1 2

nên số n4 4 là hợp số

Bài 2: (4,0 điểm)

1 Cho 3a2 3b2 10ab và b a 0  Tính giá trị của biểu thức

a b P

a b







Vì 3a2 3b2 10ab 

2 2 10

ab 3

a b 

Ta có

a b

Pa b

 

2ab

P











P 1

2



Mà 0 a b  nên a – b < 0 và a + b > 0  P < 0



1 2

P

Lời giải

2 Cho a, b  Q thỏa mãn a b ab3  3 2a b2 2 2a 2b 1 0   Chứng minh rằng 1 ab là bình phương của một số hữu tỉ

Lời giải

Ta có a b ab3  32a b2 2 2a 2b 1 0  

 a b ab3  32a b2 2 2a 2b    1 0

 ab a b  2 2 a b   1 0

 ab2a b 2 2ab a b  ab 0

 ab2a b 2 2ab a b    1 1ab 0

  ab a b   1 2  1 ab

Vì a, b  Q nên nên  ab a b  1 2

là bình phương của số hữu tỉ Vậy a, b  Q thỏa mãn a b ab3  3 2a b2 22a 2b 1 0   thì 1 – ab là bình phương của số hữu tỉ

Bài 3: (4,0 điểm)

1 Giải phương trình nghiệm nguyên 2xy x y 83  

Lời giải

Ta có 2xy x y 83  4xy 2x 2y 1 167   

 2x 2y 1    2y 1  167 2y 1 2x 1     167

Vì x, y  Z nên 2x + 1, 2y + 1  Z và là ước của 167

Ta có bảng

2x + 1 1 -1 167 -167

2y + 1 167 -167 1 -1

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm (0 ; 83) ; (-1 ; -84) ; (83 ; 0) ; (-84 ; -1)

2 Tìm x, y biết

2 2

9x 18x 17

y(y 4)

x 2x 3

 

Lời giải

Ta có

2 2

9x 18x 17

y(y 4)

x 2x 3

 

 

2

2 2

9 x 1 9 17

y 4y

x 1 2



 

 

2

2 2

9 x 1 18 10

y 4y

x 1 2

  

 2

2

y 2 2

10

x 1 2       

Vì x 1 22 2 nên  2

5 2

x 1 2 

y 2  2 5 5 với mọi y

Dấu “=” xảy ra

x 1 0

y 2 0

  





 





x 1

 









Vậy với x = 1 và y = -2 thì

2 2

9x 18x 17

y(y 4)

x 2x 3

 

Bài 4: (7,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, I là điểm bất kỳ trên cạnh AB, kẻ HI

vuông góc với HK (K  AC)

a) Chứng minh ∆BIH  ∆AKH

b) Chứng minh HI.BC = IK.AB

c) Tìm vị trí điểm I trên cạnh AB để diện tích tam giác HIK đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải

K

H B

I

a) Xét ∆BIH và ∆AKH có

HBIHAK(cùng phụ với C)

BHIAHK(cùng phụ với IHA)

 ∆BIH  ∆AKH (g.g)

b) Xét ∆BHA và ∆IHK có

AHBIHK  90

BH IH

AH KH (Vì ∆BIH  ∆AKH)

 ∆BHA  ∆IHK (c.g.c) Lại có ∆BHA  ∆BAC (g.g)

 ∆IHK  ∆BAC



HI IK

ABBC HI.BC = IK.AB

c) Ta có ∆IHK  ∆BAC (c/m trên)

Mà ∆BAC cố định nên H không đổi

 ∆IHK đồng dạng với chính nó khi I thay đổi

Để SIHK nhỏ nhất  IH nhỏ nhất  IH  AB Vậy khi I là chân đường vuông góc hạ từ H xuống AB thì SIHK nhỏ nhất

Bài 5: (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số nguyên dương thỏa mãn

x 1



 





 Chứng minh rằng z = 1

Lời giải

Ta có 2x  1 y  z2x  yz  1mà x > 1 nên yz  1 là số chẵn  y lẻ

Đặt y = 2k + 1 (k  Z)

Giả sử z > 1 khi đó có hai trường hợp

+ Trường hợp 1: z là só chẵn, đặt z = 2m ta có

 2m  2  

y   1 2k 1    1 2q 1    1 4q  4q 2 4q q 1     2

Vì x > 1 và x nguyên dương nên x  2 nên 2 4x

Mà yz   1 4q q 1     2không chia hết cho 4

 z là số chẵn là sai

+ Trường hợp 1: z là só lẻ, đặt z = 2m + 1 ta có

và là số lẻ vì nó là tổng lẻ các số lẻ

 yz  1có ước lẻ lớn hơn 1

Mà 2xkhông có ước lẻ lớn hơn 1 (vô lí)

Vậy giả sử z > 1 là sai

Mà z nguyên dương  z =1

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =