169 đề hsg toán 8 thanh ba 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH BA ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 – NĂM HỌC 2022 2023 A PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1 Phân tích đa thức ta được kết quả Câu 2 Số các giá trị của m sao cho đa thức phân[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN THANH BA

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 – NĂM HỌC 2022-2023

A PHẦN TRẮC NGHIỆM

Câu 1 Phân tích đa thức x2 9xy20y2ta được kết quả

A x y x y B x y x y C x y x y D x y x y

Câu 2.Số các giá trị của m m Z sao cho đa thức x m x    37phân tích được thành

x a x b     với a b Z,  và a b là :

Câu 3.Số dư trong phép chia x3 x5 x7 x92035cho x212x30

Câu 4.Cho đa thức P x 2x3ax2 x bchia cho nhị thức 2x 3được thương là

2

Q x x  x và số dư r 20 Tính 2a 3b

Câu 5.Cho x 2y5.Khi đó giá trị của biểu thức

3 2 3

x y y x P

  là

Câu 6.Tìm các giá trị của x để phân thức

x x



 không nhỏ hơn 1

5 5

x

x













Câu 7.Có bao nhiêu số tự nhiên nđể n24n2025là một số chính phương

Câu 8 Biết pvà p+2 là các số nguyên tố lớn hơn 3 Khi đó p +1 chia hết cho

Câu 9 Phương trình 5m3x x  1 4 1 2  x 80có nghiệm x 2khi

Câu 10.Số nghiệm của phương trình x2 4x2 5x 22 4

là

Câu 11.Một đa giác lồi có n cạnh, số đường chéo là n+150 Thì số cạnh của đa giác là

Câu 12.Cho hình chữ nhật ABCD có diên tích S, điểm E thuộc BC , điểm F thuộc CD

sao cho BE2CE CF, 2DF Tính diện tích tứ giác AECFtheo S

Câu 13 Cho hình thang ABCD AB CD AB CD( / / ,  ), hai đường chéo BD và AC cắt nhau tại O, đường thẳng  d đi qua O và song song với hai đáy hình thang cắt AD, BC tại M,

N Đẳng thức nào sau đây đúng ?

2

Câu 14.Cho tam giác ABCcó G là trọng tâm, đường thẳng bất kỳ qua G, cắt các cạnh

AB, AC lần lượt tại M và N Khi đó giá tị của biểu thức

Câu 15 Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH BC H BC   Biết

Câu 16 Với sự phát triển của khoa học kĩ thuật người ta tạo được nhiều mẫu xe lăn đẹp

và tiện dụng cho người khuyết tật Công ty A đã sản xuất những chiếc xe lăn cho người khuyết tật với số vốn ban đầu 600 triệu đồng để thuê mặt bằng và xây nhà xưởng Chi phí sản suất ra một chiếc xe lăn là 2500000 đồng Giá bán ra một chiếc xe lăn là

3000000 đồng Hỏi công ty phải bán bao nhiêu chiếc xe mới thu hồi được vốn ban đầu

A 800 xe B 900 xe C 1000xe D 1200 xe

B PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm)

Câu 1 (3,0 điểm)

a) Cho các số nguyên a b, thỏa mãn a2  4ab b 23

Chứng minh rằng :

a3 b3 a b2  4ab2 3

b) Giải phương trình nghiệm nguyên x2xy 2021x 2022y 2023 0

Câu 2 (4,0 điểm)

a) Cho các số thực x y z, , thỏa mãn đồng thời các điều kiện x y z  2;xyz1và

2 2 2 18

x y z  Tính giá trị của

S

xy z yz x zx y

b) Giải phương trình x4 5x2 6x 5 0 

Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác ABCnhọn, không cân có các đường cao BD CE, cắt nhau tại H

a) Chứng minh rằng AD AC. AE AB.

b) Gọi M, I thứ tự là trung điểm của BC và DE Chứng minh rằng đường thẳng MI đi qua trung điểm của AH

c) Gọi O là giao điểm của ba dường trung trực của tam giác ABC.Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của O trên các cạnh CA, AB theo thứ tự đó Tính giá trị biểu thức

OM ON OP

T

HA HB HC



Câu 4 (1 điểm) Cho a b c, , là ba số thực dương thỏa a b c  3 Chứng minh rằng

3

ĐÁP ÁN A.TRẮC NGHIỆM

14B 15B 16D

B.TỰ LUẬN

Câu 1 (3,0 điểm)

c) Cho các số nguyên a b, thỏa mãn a2  4ab b 2 3

Chứng minh rằng :

a b a b ab 

Ta có a2 4ab b 23 a b 2 6ab3 a b 23 a b 3

(do 3 nguyên tố)

a b a b ab  a b a  ab b ab a b  ab

d) Giải phương trình nghiệm nguyên x2xy 2021x 2022y 2023 0

2 2021 2022 2023 0 2 2022 2022 2022 1

2022 1 1 1.1 1 1

2022 1 2023

2022 1 2021

    









    



Vậy x y ;   2023; 2023 ; 2021; 2023     

Câu 2 (4,0 điểm)

c) Cho các số thực x y z, , thỏa mãn đồng thời các điều kiện x y z  2;xyz1và

2 2 2 18

x y z  Tính giá trị của

S

xy z yz x zx y

Ta có : xy z  1 xy x y   1 x1 y1

Tương tự : yz x  1y1 z1 , zx y  1z1 x1 Suy ra

                 

S

xy z yz x zx y

x y z

xyz xy yz zx x y z xy yz zx

  



7

d) Giải phương trình x4 5x26x 5 0

2

2

1 0( _ )

5 0

2

x x ktm VN

   





    



Vậy

1 21

2

S  

Câu 3 (4 điểm) Cho tam giác ABCnhọn, không cân có các đường cao BD CE, cắt nhau tại H

J P

M

N O

K

D

A

B

C

d) Chứng minh rằng AD AC. AE AB.

Ta có : ADB ACE 90(vì BD, CE là các đường cao của ABC)

Xét ABDvà ACEcó : BAC chung ADB,  ACE90cmt

e) Gọi M, I thứ tự là trung điểm của BC và DE Chứng minh rằng đường thẳng

MI đi qua trung điểm của AH

Gọi J là trung điểm của AH Ta cần chứng mnh M,I,J thẳng hàng

Dễ dàng chỉ ra được các tam giác ADH AEH BDC BEC, , , vuông

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông ta có :

2

2

BC

AH JD JE

JD JE













Suy ra MJ là trung trực của DE, do đó MJ qua I (đpcm)

f) Gọi O là giao điểm của ba dường trung trực của tam giác ABC.Gọi N, P lần lượt là hình chiếu của O trên các cạnh CA, AB theo thứ tự đó Tính giá trị biểu thức

OM ON OP

T

HA HB HC



Gọi K là điểm đối xứng với A qua O Theo tính chất đối xứng và giao điểm của 3 đường trung trực , OC=OA=OK=OB

Suy ra

BH AC CK AC CK BH

BHCK

CH AB BK AB CH BK

Do đó H, M, K thẳng hàng , suy ra OM là đường trung bình của

1 2

Chứng minh tương tự

,

Do đó

1

T

Câu 4 (1 điểm) Cho a b c, , là ba số thực dương thỏa a b c  3 Chứng minh rằng

3

Theo bất đẳng thức Cô si ta có 1b2 2bnên :

2

1

1

a

b



Cộng theo vế (1), (2) và (3) ta được :

 

2

2

a b c ab bc ca

dfcm

   Dấu bằng xảy ra khi a b c  1