132 đề hsg toán 9 phú xuyên 22 23

b Xác định tính chất của các tia MOvà NOđối với BMNvà CMN c Chu vi AMN không đổi Bài 5.. 2,0 điểm Cho tam giác ABC.Hãy xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho tổng khoảng cách

ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC 2022-2023

Bài 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức

3

4

4 1 4

x x x

a) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A

b) Rút gọn biểu thức A

c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho Acó giá trị nguyên

Bài 2 (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên nthì B n 23n4không chia hết cho 49

b) Tìm số nguyên dương nđể n 4 4là số nguyên tố

Bài 3 (3,5 điểm) Giải các phương trình sau :

) 2 4 5 6 0

a x  x  x  x 

2 8 20 2 12 42 2 4 6 2 16 72

)

b

Bài 4 (4,5 điểm) Gọi O là trung điểm của cạnh đáy BCcủa tam giác đều ABC.Mà

60

xOy

  quay quanh O có các cạnh Ox Oy, lần lượt cắt các cạnh BA CA, của tam giác ở Mvà N

a) Chứng minh OB2 BM CN.

b) Xác định tính chất của các tia MOvà NOđối với BMNvà CMN

c) Chu vi AMN không đổi

Bài 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC.Hãy xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến AM lớn nhất

Bài 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng nếu a b c, , là độ dài các cạnh của một tam giác thì

2

ĐÁP ÁN

Bài 1 (5,0 điểm) Cho biểu thức

3

4

4 1 4

x x x

d) Tìm điều kiện xác định của biểu thức A

Để biểu thức A xác định thì :

2

6

7 2

2

2

2

1 0

1 6 0

1; 6

3 26 0

29 78

0

3 12 36

x

  

   

  



 

  



e) Rút gọn biểu thức A

3

4

2 6

4 1 4

3 26

x x x

 

26



f) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x sao cho Acó giá trị nguyên

Với x Z thỏa mãn ĐKXĐ để A nguyên thì :

3 6 2 6 2 3 6 2 6 6 12 2 6

3 2 6 30 2 6 30 2 6 15 3

3 (15) 1; 3; 5; 15 18; 8; 6; 4; 2;0; 2;12;15

              

Đối chiếu điều kiện ta được x   18; 8; 4; 2;0;12   

Bài 2 (4,0 điểm)

c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên nthì B n 23n4không chia hết cho 49

Ta có

Nếu n5 7  n 2 7  n5 n 2 49

Mà 14 49 nên B 49

Nếu n5 7  n 2 7  n5 n 2 7

Mà 14 7 nên B7 B49

Vậy B n 23n4không chia hết cho 49 với mọi số nguyên n

d) Tìm số nguyên dương nđể n 4 4là số nguyên tố

4 4 4 4 2 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n   n  n   n  n   n  n   n n   n

Vì

2

2 2 1, *

       





    



Suy ra để n 4 4là số nguyên tố thì  

2

n   n  n  n   n   n tmdkxd

Khi đó n  4 4 5là số nguyên tố (thỏa mãn)

Vậy n 4 4là số nguyên tố khi n 1

Bài 3 (3,5 điểm) Giải các phương trình sau :

2

) 2 4 5 6 0

3 0

3

2

1 0( )

x

x

x

    

         

  







            



   

 Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm S   3; 2

       

)

4 2 8 6 ( 4)( 2) ( 8)( 6)

6 8 14 48

b

x

         





    









Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

0; 5

S  

Bài 4 (4,5 điểm) Gọi O là trung điểm của cạnh đáy BCcủa tam giác đều ABC.Mà

60

xOy

  quay quanh O có các cạnh Ox Oy, lần lượt cắt các cạnh BA CA, của tam giác ở

2

1

1 2

Q I

A

O

M

N

Ta có BONlà góc ngoài của NOCnên

          

Mà MONC60 nên BOM ONC

Xét BOM và CNOcó :  B C( 60 ), 0 BOM ONC

Mà BO CO (do O là trung điểm BC) nên OB2 BM CN dfcm.  

e) Xác định tính chất của các tia MOvà NOđối với BMNvà CMN

Xét ONM và CNOcó :

CN CO và MON C60   ONM∽ CNO c g c( ) ONCONM

NO

 là tia phân giác của MNC

Chứng minh tương tự ta có MOlà phân giác của góc BMN

Vậy NOlà tia phân giác của MNC MO, là tia phân giác của BMN

f) Chu vi AMNkhông đổi

Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB AC, và MNlần lượt tại I Q P, ,

Xét IMOvuông tại I và MPOvuông tại P có :

Cạnh MOchung, IMOPMO(vì MO là phân giác của BMN)

      Chứng minh tương tự có PN NQ

Chu vi AMN bằng

Do O cố định, AB AC, không đổi nên điểm I và Q cố định  AI AQ, không đổi

Vậy chu vi AMN không đổi (đpcm)

Bài 5 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC.Hãy xác định vị trí của điểm M trên cạnh BC sao cho tổng khoảng cách từ B và C đến AM lớn nhất

K I A

B

C M

Dấu bằng xảy ra khi

Vậy M là hình chiếu của A trên BC thì tổng khoảng cách từ B và C đến AM lớn nhất

Bài 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng nếu a b c, , là độ dài các cạnh của một tam giác thì

2

Vì a,b,c là độ dài các cạnh của một tam giác nên theo bất đẳng thức tam giác ta được :

2

0

0

a b c

b c c a b c a b c

b a c

c a b

  

2

a b c

A

a b c

 