024 đề hsg toán 9 bắc ninh tp 21 22

Chứng minh đường thẳng  d luôn cắt đồ thị  P tại hai điểm phân biệt A B, .Tìm mđể diện tích tam giác OABbằng 8 Câu 2.. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của BHCcắt AB AC, lần lượ

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2021-2022 Môn : Toán – Lớp 9

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể giao đề)

Câu 1 (4,0 điểm)

1) Cho x 3 2 3 4 Tính giá trị biểu thức A x5 5x3 6x2  6x3

2) Cho Parabol  P y x:  2và đường thẳng  d :y mx 4mlà tham số) Chứng minh đường thẳng  d luôn cắt đồ thị  P tại hai điểm phân biệt A B, Tìm mđể diện tích tam giác OABbằng 8

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

 32 4 1 3  

5

2

x







2) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn

1 1 1

a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu

thức

4

a b c

 

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các số nguyên dương nsao cho mỗi số n 26và n 11đều là các lập phương của một số nguyên dương

2) Tìm tất cả các số nguyên tố psao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4là một

số chính phương

Câu 4 (7,0 điểm)

1) Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn O R; có B C, cố định Các đường cao

, ,

AD BE CF của tam giác ABCđồng quy tại H Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của BHCcắt AB AC, lần lượt tại M N,

a) Chứng minh rằng tam giác AMNcân

b) Chứng minh

.

R

c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMNcắt đường phân giác của BACtại K

K A Chứng minh rằng HKluôn đi qua một điểm cố định khi Athay đổi 2) Cho hình vuông ABCDvà MNPQcó bốn đỉnh M N P Q, , , lần lượt thuộc các cạnh

, , ,

AB BC CD DAcủa hình vuông Chứng minh rằng

.

4

ABCD

AC MN NP PQ QM

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh, đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà 3 đỉnh và trọng tâm cùng màu

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

3) Cho x 3 23 4 Tính giá trị biểu thức A x5 5x3 6x2 6x3

3

3 3

Vậy A 3

4) Cho Parabol  P y x:  2và đường thẳng  d :y mx 4mlà tham số) Chứng minh đường thẳng  d luôn cắt đồ thị  P tại hai điểm phân biệt A B, Tìm m

để diện tích tam giác OABbằng 8

Phương trình hoành độ giao điểm của dvà P là :

x mx  x  mx 

Ta có  m216 0, với mọi mnên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt, suy ra đường thẳng dluôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt

 d luôn đi qua điểm cố định I0;4nằm trên trục tung Ngoài ra nếu gọi

 1 ; 1;  2 ; 2

Giả sử x1   0 x2thì ta có

với H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của hai điểm A B, trên trục Oy Ta có :

2

OAB

  Theo định lý Vi-et ta có :

1 2

1 2 4

x x

 







 Thay vào ta có : S OAB2  4m2  16  64  m 0

Câu 2 (4,0 điểm)

3) Giải hệ phương trình

 

2

5

2

x







Điều kiện :

2

; 3;3 3

y x y x

Phương trình (1) tương đương      

2

2 6 9 12 2 12 4 4 2 2 5 2 12 2 12 9 0

Xem đây là phương trình bậc hai của x ta có :

' 2y 5 12y 12y 9 4y 4

 

     



 



Trường hợp 1: x6y 9

Do x  3 6y 9 3 y1suy ra phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: x2y1, thay vào phương trình (2) của hệ ta có :

y



  

Ta có

;2 1

3

3y 2  y 2  2 y 

Nghĩa là VP VT  y 2 x1

Vậy hệ có nghiệm x y ;  1;2

4) Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn

1 1 1

a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

4

a b c

 

Ta có :

1 1 1 4

4

a b x





 

 

2

2 2 2

x



Vậy min

;

Câu 3 (4,0 điểm)

3) Tìm tất cả các số nguyên dương nsao cho mỗi số n 26và n 11đều là các lập phương của một số nguyên dương

Giả sử

 

 

3 3

  





 

 với x y, là các số nguyên dương Lấy    1  2 vế theo vế ta được :

Chứng minh được x y x  2xy y 2với mọi 2 2

1

37

x y

x y

 



  



38 3

x

n y









4) Tìm tất cả các số nguyên tố psao cho tổng tất cả các ước tự nhiên của p4là một số chính phương.

Gọi p là số nguyên tố nên p4có 5 ước tự nhiên là 1, ,p p p p2, 3, 4

Giả sử 1 p p  2p3p4 n2với n  

Ta có 2n2 4n2  4 4p4p24p34p4 1

Suy ra 2p2 p2 2n2 2p2 p 22

Bất đẳng thức xảy ra nếu 2n2 2p2p 12  4p4 4p3 5p2 2p 1 2 

Từ    1 , 2  4 4 p4p24p34p4 4p44p35p22p1

2 3 0

3

p

p









Vì p nguyên tố nên p 3

Đảo lại với p  3 p4  81  U p 4    1 3 3 2  3 3  3 4  121 11  2

Câu 4 (7,0 điểm)

3) Cho tam giác nhọn ABCnội tiếp đường tròn O R; có B C, cố định Các đường cao AD BE CF, , của tam giác ABCđồng quy tại H Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của BHCcắt AB AC, lần lượt tại M N,

x

P

Q

K

N

M H F

E

D

O A

d) Chứng minh rằng tam giác AMNcân

Ta có AMN ABH  MHBvà ANM ACH  NHC

Do HM HN, lần lượt là phân giác của BHFvà CHEvà ta có BHFCHEnên ta suy

ra được MHBNHC Lại có tứ giác BFECnội tiếp nên FBH CHE

Từ đó ta được AMN ANM nên tam giác AMNcân tại A

e) Chứng minh

.

R

Từ A ta vẽ tiếp tuyến với đường tròn  O Khi đó ta có BAxACB Mặt khác tứ giác

BCEFnội tiếp nên ta có AFEACB Do đó ta được AFE xABnên Ax EF/ / nên ta

Hoàn toàn tương tự ta cũng có : OBDF CO, DE Từ đó suy ra :

1

2

R DE EF FD

Mà ta có

1 2

ABC

nên

.

AD BC

DE EF FD

R

f) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMNcắt đường phân giác của BACtại K

K A Chứng minh rằng HKluôn đi qua một điểm cố định khi Athay đổi

Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMNcắt tia phân giác MANtại K nên AKlà đường kính của đường tròn Từ đó ta có : KMAKNA 90  Từ đó dẫn đến KM / /CHvà

/ /

KN BH suy ra tứ giác HIKJ là hình bình hành, do đó HKđi qua trung điểm của IJ

Do IM / /HF nên theo định lý Talet ta có

IB MB Lại có HM là phân giác của tam giác

BHF nên ta có

Từ đó ta có .

IB HB Hoàn toàn tương tự ta có :

CJ HC

Mà tứ giác BCEFnội tiếp nên ta có

HB HCdo đó

IB CJ

Từ đây suy ra IJ / /BC

Theo bổ đề hình thang HKđi qua trung điểm của BC cố định hay HK luôn đi qua một điểm cố định

4) Cho hình vuông ABCDvà MNPQcó bốn đỉnh M N P Q, , , lần lượt thuộc các cạnh

, , ,

AB BC CD DAcủa hình vuông Chứng minh rằng

.

4

ABCD

AC MN NP PQ QM

L

K I

C

B A

D

M

N

P

Q

Gọi T K L, , là trung điểm MQ MP NP, , theo tính chất đường trung bình và trung tuyến tam giác vuông ta có :

Từ đó suy ra đpcm

Câu 5 (1,0 điểm)

Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh, đỏ Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà 3 đỉnh và trọng tâm cùng màu

G N

B

B'

Trên mặt phẳng lấy 5 điểm tùy ý sao cho không có 3 điểm nào tháng dùng 2 màu để tô màu các điểm nên theo nguyên lí Dirichlet phải tồn tại 3 điểm cùng màu Giả sử 3 điểm

đó là A, B,C và cùng màu đỏ Như vậy ta có tam giác ABC với 3 đỉnh màu đỏ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chỉ có hai khả năng xảy ra:

1) Nếu G là màu đỏ Khi đó A,B,C,G có cùng màu đỏ và bài toán được chứng minh 2) Nếu G có màu xanh Kéo dài GA,GB,GC các đoạn AA' 3 GA BB, ' 3 GB CC, ' 3 GC

Khi đó nếu gọi M,N,P tương ứng là các trung điểm của BC, CA,ABthì

AA'=3GA = 6GM⇒ AA'=2AM

Tương tự B'B= 2BN, C'C= 2CP

Do đó các tam giác ABC,BAC,CAB tương ứng nhận A, B,C là trọng tâm Mặt khác, ta cũng các có tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm G Có hai trường hợp xảy ra a) Nếu A,B,C cùng màu xanh Khi đó tam giác ABC và trọng tâm G có cùng màu xanh

b) Nếu ít nhất một trong các điểm A B C', ', 'có màu đỏ Không mất tính tổng quát giả sử

'

A màu đỏ Khi đó tam giác ABC và trọng tâm có màu đỏ Vậy trong mọi khả năng luôn tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm màu đỏ đpcm