008 đề hsg toán 9 bắc ninh tỉnh 21 22

Đường thẳng MAcắt DB DC, theo thứ tự tại Hvà K, đường thẳng MB cắt DC và AC theo thứ tự tại E và F.. Hai đường thẳng CH DF, cắt nhau tại N 1 Chứng minh rằng tứ giác DHEM nội tiếp và HElà

UBND TỈNH BẮC NINH

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2021-2022 Môn :TOÁN – Lớp 9

Thời gian làm bài : 150 phút

Câu 1 (4,0 điểm)

1

P

    với x0,x1 2) Cho đường thẳng d y ax b a:    0 Tìm a b, biết dđi qua M1; 2 và cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại Avà B sao cho tam giác OABcân, O là gốc tọa độ

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình 5x26x 4 3x1 3 x24

2) Giải hệ phương trình

3 2

5 3 8 2 0





    



Câu 3 (4,0 điểm)

1) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương x y, của phương trình

10 x y 100

x  y    

2) Cho a b, là các số nguyên dương thỏa mãn p a 2b2là số nguyên tố và p  5chia hết cho

8 Giả sử x y, là các số nguyên thỏa mãn ax2 by2chia hết cho p Chứng minh rằng cả hai

số x y, chia hết cho p

Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCDnội tiếp đường tròn  O Điểm M thuộc cung nhỏ CD của (O), M khác C và D Đường thẳng MAcắt DB DC, theo thứ tự tại Hvà K, đường thẳng MB

cắt DC và AC theo thứ tự tại E và F Hai đường thẳng CH DF, cắt nhau tại N

1) Chứng minh rằng tứ giác DHEM nội tiếp và HElà phân giác của MHC

2) Gọi G là giao điểm của KFvà HE.Chứng minh rằng tứ giác GHOFlà hình chữ nhật và G

là tâm đường tròn ngoại tiếp KNE

3) Chứng minh rằng

Câu 5 (2,0 điểm)

1) Cho đường tròn tâm (O) Bước 1, lấy một đường kính của đường tròn đó, tại mỗi đầu mút của đường kính ghi số 1 Bước 2, tại điểm chính giữa của mỗi cung nhận được ghi số 2 Bước 3, coi 4 điểm đã ghi số ở trên là các điểm chia đường tròn Khi đó, đường tròn được chia thành 4 cung bằng nhau,tại điểm chính giữa của mỗi cung này ta ghi số có giá trị bằng tổng của hai số được ghi ở hai đầu cung tương ứng Cứ tiếp tục quá trình như vậy, hỏi sau 2021 bước tổng các số được ghi trên đường tròn là bao nhiêu ?

2) Cho ba số a b c, , không âm thỏa mãn a2b2c2  1 Chứng minh bất đẳng thức

 2 2 2 

2

a b b c c a

ĐÁP ÁN Câu 1 (4,0 điểm)

1

P

    với x0,x1

2

1

1

P

 

4) Cho đường thẳng d y ax b a:    0 Tìm a b, biết dđi qua M1; 2 và cắt các trục

,

Vì đường thẳng  d đi qua M1; 2nên a b  2.Đường thẳng  d cắt các trục Ox, Oy lần

b A

a



 và B0;b

OAB

b

a

      

Từ đó ta tìm được a b  ;    1;3 , 1;1   

Câu 2 (4,0 điểm)

3) Giải phương trình 5x26x 4 3x1 3 x24

Phương trình tương đương :

3x   4 3 x 1 3x   4 2x  6x 0

Đặt t 3x24được phương trình t2 3x1t2x26x0

3

t x

t x





          



Với

2

2

0

4 0

x

x





 



Với

2

2

2

2 6 5 0

x



  



Vậy phương trình có tập nghiệm

3 19 3 19

; 2;

S    

4) Giải hệ phương trình

3 2

5 3 8 2 0





    



ĐKXĐ:

5 2

y 

Từ phương trình 4x2 1y 3 5 2  y  0

2x3 2x  5 2y3 5 2 1y 

2x 5 2  y 2x  2x 5 2  y  5 2  y

2x 5 2  y  2x  2x 5 2  y  5 2  y

2x 5 2  y 2x  2x 5 2  y  5 2  y

0

2 5 2

2 5 4

x





   

 



Thay 2y 5 4x2vào phương trình x3 5x23x 8 2 y0được :

2

2

x  x  x   y    

Đối chiếu ĐKXĐ thì hệ phương trình có nghiệm

2

2 1 5 2 1

2

x y       

     

Câu 3 (4,0 điểm)

3) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương x y, của phương trình

10 x y 100

x  y    

Ta có :

10 x y 100

x  y    

2

20 100

x y

             

Lập luận tương tự ta cũng có xlà số chính phương Đặt x a y b 2,  2với a b  , *

Ta có a b  10  a b;    1;9 ; 2;8 ; ; 9;1     

x y;   1;81 ; 4;64 ; ; 81;1     

4) Cho a b, là các số nguyên dương thỏa mãn p a 2b2là số nguyên tố và p  5chia hết cho 8 Giả sử x y, là các số nguyên thỏa mãn ax2 by2chia hết cho p Chứng minh rằng cả hai số x y, chia hết cho p

Vì p 5 8  p8k5k Ta có :

ax24k2 by24k2ax2  by2p a4k 2 x8k 4 b4k 2 y8k 4 p

Nhận thấy

4k 2 8k 4 4k 2 8k 4 4k 2 4k 2 8k 4 4k 2 8k 4 8k 4

a  x  b  y  a  b  x  b  x  y 

Do a4k 2 b4k 2  a2 2k1  b2 2k1:a2 b2 p

và b pnên x8k 4 y8k 4 p *

Nếu trong hai số x y, có một số chia hết cho pthì từ  * suy ra số thứ hai cũng chia hết cho

.

8 4l p 1 1 mod

8k 4 p 1 1 mod 8k 4 8k 4 2 mod

Câu 4 (6,0 điểm) Cho hình vuông ABCDnội tiếp đường tròn  O Điểm M thuộc cung nhỏ CDcủa (O), M khác C và D Đường thẳng MAcắt DB DC, theo thứ tự tại Hvà K, đường thẳng MBcắt DC và AC theo thứ tự tại E và F Hai đường thẳng CH DF, cắt nhau tại N

N

F E

K

H D

C

B O

A

M

4) Chứng minh rằng tứ giác DHEM nội tiếp và HElà phân giác của MHC

, mà

5) Gọi G là giao điểm của KF và HE.Chứng minh rằng tứ giác GHOF là hình chữ nhật và G là tâm đường tròn ngoại tiếp KNE

Ta có

;

Suy ra tứ giác MKFCnội tiếp Lại có KMCAMC 90   KFC 90 hay KF AC

Ta có : HGF  90   HGK  90 và KGE90 , suy ra KGEvuông cân tại G,nên

 1

GK GE

MHC

;

6) Chứng minh rằng

 3

Do AB DK/ / nên  8

Từ            3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8

Câu 5 (2,0 điểm)

3) Cho đường tròn tâm (O) Bước 1, lấy một đường kính của đường tròn đó, tại mỗi đầu mút của đường kính ghi số 1 Bước 2, tại điểm chính giữa của mỗi

cung nhận được ghi số 2 Bước 3, coi 4 điểm đã ghi số ở trên là các điểm chia đường tròn Khi đó, đường tròn được chia thành 4 cung bằng nhau,tại điểm chính giữa của mỗi cung này ta ghi số có giá trị bằng tổng của hai số được ghi

ở hai đầu cung tương ứng Cứ tiếp tục quá trình như vậy, hỏi sau 2021 bước tổng các số được ghi trên đường tròn là bao nhiêu ?

Sau bước 1, trên đường tròn có 2 1số là 1;1 nênS    1 1 1 2 2.30

Sau bước 2, trên đường tròn có 2 2số là 1,2,1,2 nên S      2 1 2 1 2 6 2.31

Sau bước 3, trên đường tròn có 2 3số là 1,3, 2,3,1,3, 2,3nên S  3 18 2.32

Dự đoán sau nbước tổng là S n 2.3n1

 Ta sẽ chứng minh S n 2.3n1  *   n *

Thật vậy, với n 1thì (*) đúng

Giả sử  * đúng với n k k   *, nghĩa là sau k bước trên đường tròn đã cho có các số với tổng là S k 2.3k1



Do điểm chính giữa của mỗi cung này lại ghi tổng của hai số đã ghi ở hai đầu mỗi cung

Vậy S n 2.3n1

 với mọi n  *do đó S2021  2.32020

4) Cho ba số a b c, , không âm thỏa mãn a2b2c2  1.Chứng minh bất đẳng thức

2

a b b c c a

Ta có a b c a    2 b2 c2  a3 ab2  b3 bc2  c3 ca2  a b b c c a2  2  2 

Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có :

a3 ab2  b3 bc2  c3 ca2 2a b b c c a2  2  2 

Do đó a b c a    2 b2 c2 3a b b c c a2  2  2  2 2 2 1 

3

Suy ra

3

Ta có: 1a2b2c2 ab bc ca   a2 1 a b c a    

Áp dụng bất đẳng thức Cosi – Schwwarz ta có

   

 

2

2

2 2 2 2

1

2 1

1

1

2

a b c a a b c a

a b c a

a

a

a b c a a b c a





Tương tự:

 

 

2 2 2 2

2 2 2 2

1

2

1

2

a b b c a b b c

c a b c c a b c

Từ (1), (2), (3) ta có :

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3

Bất đẳng thức được chứng minh Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

1 3

a b c  