038 đề hsg toán 9 bắc giang 21 22

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.. Đường tròn đường kính AB cắt đoạn CEtại P, đường tròn đường kính AC cắt đoạn BK tại Q.. Câu 18.Cho tam giác ABCvuông tại A có AC 7.Biết đ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BẮC GIANG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9

NĂM HỌC 2021-2022 Môn thi: TOÁN

Thời gian: 120 phút

I Phần trắc nghiệm

Câu 1.Cho

2 1   3  2 4  3  101  100 a b c với a b c, , là các số tự nhiên và blà số nguyên tố Giá trị của a b c  bằng

Câu 2.Cho đường tròn  O ngoại tiếp tam giác đều ABC.Gọi Mlà điểm thuộc cung nhỏ

BCcủa đường tròn  O .Biết MA6cm MB, 4cm.Độ dài đoạn thẳng MCbằng :

Câu 3.Biết m0là giá trị của tham số mđể hệ phương trình

1

2 1

mx y

 





Khi đó giá trị của  3m0  1bằng

Câu 4.Biết đường thẳng y3x m cắt trục hoành tại điểm A,cắt trục tung tại điểm B. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số mđể diện tích tam giác OABbằng 6 (O là gốc tọa độ) là

Câu 5.Có tất cả bao nhiêu số nguyên tố psao cho các số p 2và p 4đều là số nguyên

tố ?

Câu 6.Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số mđể tích các hệ số góc của hai đường thẳng ym1x2021và y mx 2022(với m1,m0)bằng 6 Tính tổng các phần tử của S

Câu 7.Cho đường tròn  O ,có đường kính 10cmvà hai điểm A B, thuộc đường tròn (O)

sao cho độ dài cung nhỏ ABbằng

1

6chu vi đường tròn  O Tính khoảng cách từ O đến dây cung AB

5 3

2

Câu 8.Cho đường tròn tâm O, bán kính R 8cmtiếp xúc ngoài với đường tròn tâm I, bán kính r  2cm Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn  O và  I ở trên lần lượt tại hai điểm phân biệt A B, Tính độ dài đoạn thẳng AB

A AB cm B AB cm C AB cm D AB cm

Câu 9 Cho điểm M x y 0 ; 0(với x 0 0)thuộc đường thẳng y x 3thỏa mãn x02y02  17 Giá trị của biểu thức x02x y0 0bằng

Câu 10.Biết x y0 ; 0là nghiệm của hệ phương trình





 Giá trị của x0  3y0là

Câu 11.Cho biểu thức f x x3  12x 62022.Biết a 34 80  3 80 4 , giá trị của

 

f a là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là :

Câu 12.Cho x y, là các số thực thay đổi Tìm tất cả các số thực mđể giá trị nhỏ nhất của

F    m x y m    mx y

đạt giá trị lớn nhất

Câu 13.Khi hệ phương trình

2



 

 (m là tham số) có nghiệm duy nhất là

x y0 ; 0 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x0 y02là

Câu 14.Cho đường thẳng  d :y2x m và parabol  P y x:  2 Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể đường thẳng  d cắt parabol  P tại hai điểm phân biệt :

Câu 15.Cho ABCcó BAC  40  Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Tính

số đo BIC

Câu 16.Cho tam giác ABCnhọn, có BK(K thuộc AC) và CE (E thuộc AB) là các đường cao Đường tròn đường kính AB cắt đoạn CEtại P, đường tròn đường kính AC cắt đoạn

BK tại Q Biết PAQ60 và AP 5cm Tính độ dài đoạn thẳng PQ

7,5 2,5 5 10

A PQ cm B PQ cm C PQ cm D PQ cm

Câu 17.Nghiệm xcủa phương trình

8088

Câu 18.Cho tam giác ABCvuông tại A có AC 7.Biết độ dài các đường trung tuyến kẻ

từ đỉnh B C, của tam giác ABCbằng nhau Tính chu vi của tam giác ABC

Câu 19.Số nghiệm của phương trình x2  8x 7  x 2 5    0

là

Câu 20 Gọi A B, là các số thực sao cho    

2

x x x x với mọi x1,x3

Giá trị của A 2Bbằng

II Phần tự luận

Câu 1.

1) Cho biểu thức

2

P

0 1

x x









 a) Rút gọn biểu thức P

b) Tìm các giá trị của xđể

19

3

P x 

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình x 3x22m1x m 2 0

có ba nghiệm phân biệt x x x1 , , 2 3thỏa mãn x12x22x32  91

Câu 2.

a) Giải phương trình 2x2  21x 55  3x 8  x 1  5x 5

b) Cho x y, là các số nguyên khác  1thỏa mãn

4 1 4 1



  là một số nguyên Chứng minh rằng x y 4 12 1chia hết cho y 1

Câu 3 Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC có đường cao AH(H thuộc BC)

Đường tròn tâm A, bán kính AHcắt đường thẳng AHtại điểm thứ hai là E (E khác H)

và cắt đoạn ABtại D Qua điểm Bkẻ tiếp tuyến với đường tròn  A tại F Fkhác H),

tiếp tuyến này cắt tia CA tại G Trên cung nhỏ DHcủa đường tròn  A lấy điểm M (M khác H D, ), tiếp tuyến với đường tròn  A tại M cắt đường thẳng BC BG, lần lượt tại P và

Q Tia BM cắt đường tròn  A tại N (N khác M)

a) Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng AB.Chứng min rằng bốn điểm A I M N, , , cùng thuộc một đường tròn và tia IHlà tia phân giác của MIN

b) Gọi K L, lần lượt là giao điểm của đường thẳng ABvới các đường thẳng EM EN, Chứng minh rằng đường thẳng HLsong song với đường thẳng EKvà

GQ CP GF BC

Câu 4.Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  3abc Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

ĐÁP ÁN TRẮC NGHIỆM: học sinh tự giải

TỰ LUẬN

3) Cho biểu thức

2

P

0 1

x x











c) Rút gọn biểu thức P

Ta có :

       

 

 

 

2

2

P

d) Tìm các giá trị của xđể

19

3

P x 

Ta có :

   

36( ); 9( )

x

x



4) Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể phương trình

x 3x2  2m 1x m 2   0có ba nghiệm phân biệt x x x1 , , 2 3thỏa mãn

2 2 2

1 2 3 91

x x x 

Phương trình luôn có nghiệm x 3 3 Để phương trình có ba nghiệm phân biệt thì phương trình x22m1x m 2 0có hai nghiệm phân biệt khác 3

Tức là  

 

2 2

3 2 6 *

m



 

Theo Vi-et ta có :

1 2

2

1 2

  







 2

2 2 2

1 2 3 91 1 2 2 1 2 82

x x x   x x  x x 

13

3

m

m













Vậy

13

;3 3

m  

 là các giá trị cần tìm

Câu 2.

c) Giải phương trình 2x2  21x 55  3x 8  x 1 5x 5

ĐKXĐ:

8 3

x 

Phương trình tương đương

2

2

5( )

3

8

x

x









Vậy  

3;5;8

S 

d) Cho x y, là các số nguyên khác  1thỏa mãn

4 1 4 1



  là một số nguyên Chứng minh rằng x y 4 12 1chia hết cho y 1

Đặt

;

  với a c,  ; ,b d *và a b;  1; ;c d 1

Ta có

4 1 4 1

,

Suy ra







  Vì  ,  1; ;  1

d b

b d









        mà a b,    1 b  1 x4  1y 1

Ta có x y4 12  1 x y4 12  x4 x4  1 x y4 12  1x4  1

Vì y12  1 y2  1M y  1và x4  1 y 1 x y4 12  1chia hết cho y 1

Câu 3 Cho tam giác ABCvuông tại A AB AC có đường cao AH(H thuộc BC) Đường tròn tâm A, bán kính AHcắt đường thẳng AHtại điểm thứ hai là E (E khác H) và cắt đoạn ABtại D Qua điểm Bkẻ tiếp tuyến với đường tròn  A tại F Fkhác H), tiếp tuyến này cắt tia CA tại G Trên cung nhỏ DH của đường tròn  A lấy điểm

M (M khác H D, ), tiếp tuyến với đường tròn  A tại M cắt đường thẳng BC BG, lần lượt tại P và Q Tia BM cắt đường tròn  A tại N (N khác M)

K I

N

Q

P

G

F

D

E

H

B

M

c) Gọi I là hình chiếu vuông góc của H lên đường thẳng AB.Chứng min rằng bốn điểm A I M N, , , cùng thuộc một đường tròn và tia IHlà tia phân giác của

MIN



Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông AHBcó BI B BH  2

Áp dụng phương tích đường tròn ta có :

2

BM BN BH BI BA BM BN

BN BA

Xét BIMvà BNAcó : ABNchung và

BI BM

BN  BA nên BIM∽ BNA c g c( )

   mà BIM AIM  180 

180

       là tứ giác nội tiếp

   mà AMNcân tại A nên

Do đó IHlà tia phân giác của MIN

d) Gọi K L, lần lượt là giao điểm của đường thẳng ABvới các đường thẳng

,

EM EN Chứng minh rằng đường thẳng HLsong song với đường thẳng EK

và GQ CP GF BC.  .

Ta có HIL HNL 180 nên tứ giác HILN nội tiếp

Suy ra

Ta có BAlà phân giác, là đường cao của BGCnên BGCcân tại G nên C G 1

Do đó CPA180     C CAP180   PAQ CAPGAQ CPAGAQ 2

Từ (1) và (2) suy ra

2

Áp dụng hệ thức lượng ta có GF BG GA.  2 GF BC GA.  2 GQ CP GF BC.  .

Câu 4.Cho các số thực dương a b c, , thỏa mãn ab bc ca  3abc Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức

Từ giả thiết ta có

1 1 1

ab bc ca abc

a b c

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có :

a b

2 2 2

Tương tự :

;

Do đó

P

   Áp dụng BĐT Cauchy-schwaz ta có :

P

Lại áp dụng BĐT Bunhiacoxki

1 1 1 1 1 1 1 1 1 9 3 2

2

3 2

P

Vậy GTNN của Pbằng

3 2

2 Đạt được khi a b c  1