Chuyên đề hàm số ôn hsg

Lời giải tổng quát có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều.. Lời giải tổng quát Với ab  thì hàm số có ba điểm cực trị.0 Do ABAC , nên ta chỉ cần tìm điều kiện để ABBC.. Lời giải tổ

x được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại một khoảng a b; 

chứa điểm x0 sao cho a b;  D

và f x   f x 0

,  x a b;   \ x0

0

x được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại một khoảng a b; 

chứa điểm x0 sao cho a b;  D

và f x   f x 0 , x a b;   \ x0

Bổ đề Fermat: Giả sử hàm số có đạo hàm trên a b; 

Nếu f đạt cực trị tại điểm

và f '' x 0 0

thì f đạt cực đại tại x0Ứng dụng vào phương trình

- Nếu hàm số f đơn điệu trên K thì phương trình f x   0

có tối đa 1 nghiệm Nếu

2) Số nghiệm của phương trình bậc 3:

có 2 nghiệm (1 đơn, 1 kép)Với yC Ð y CT 0: phương trình f x   0

có 3 nghiệm phân biệt

 Một số bài toán cực trị tổng quát

Bài toán 1: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y ax bx c a

có ba điểm cực trị tạo thành tam giác vuông

Lời giải tổng quát

có ba điểm cực trị tạo thành tam giác đều

Lời giải tổng quát

Với ab  thì hàm số có ba điểm cực trị.0

Do ABAC , nên ta chỉ cần tìm điều kiện để ABBC

Mặt khác ta có

Lời giải tổng quát

Gọi H là trung điểm của BC thì lúc này H nằm trên đường thẳng chứa đoạn thẳng

2 2

có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn nhất

Lời giải tổng quát

Ở bài toán 3 ta có

5 2

0 32 3

b S

32

b Max

Lời giải tổng quát

Tam giác ABC có hai điểm cực trị

Lời giải tổng quát

Từ bài toán tổng quát ban đầu ta có

có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có góc ở đỉnh cân bằng α.

Lời giải tổng quát Cách 1:

có ba điểm cực trị tạo thành tam giác có ba góc nhọn.

Lời giải tổng quát

Do tam giác ABC là tam giác cân nên hai góc ở đáy bằng nhau Một tam giác không thể

có hai góc tù, do vậy hai góc ở đáy của tam giác ABC luôn là góc nhọn Vì thế cho nên

để tam giác ABC là tam giác có ba góc nhọn thì góc ở đỉnh phải là góc nhọn Tức là tìm

điều kiện để BAC là góc nhọn.

Ở bài toán trên ta vừa tìm được

3

8cos cos

8

b a BAC

808

Lời giải tổng quát

Bài toán 10: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

Lời giải tổng quát

Trước tiên ta có các công thức sau:

.4

ABC

AB BC CA S

Lời giải tổng quát

Ở ngay đầu Dạng 3 ta đã có các công thức

a nhận gốc tọa độ O là trọng tâm.

b nhận gốc tọa độ O làm trực tâm.

c nhận gốc tọa độ O làm tâm đường tròn ngoại tiếp.

Lời giải tổng quát

Do tam giác ABC cân tại A, mà A nằm trên trục Oy nên AO luôn vuông góc với BC.

Do vậy để O là trực tâm của tam giác ABC thì ta chỉ cần tìm điều kiện để OBAC hoặc OCAB

c Nhận O làm tâm đường tròn ngoại tiếp.

Để tam giác ABC nhận tâm O làm tâm đường tròn ngoại tiếp thì OA OB OC 

Mà ta luôn có OB OC , do vậy ta chỉ cần tìm điều kiện cho

Bài toán 13: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

y ax bx c a

có ba điểm cực trị tạo thành tam giác sao cho trục hoành chia

tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau.

Lời giải tổng quát

Gọi M, N là giao điểm của AB, AC với trục hoành, kí hiệu như hình vẽ

  (Do trục hoành chia tam giác ABC

thành hai phần có diện tích bằng nhau)

3 Tính đơn điệu của hàm số

Định nghĩa: Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K (với K là một khoảng (đoạn),

nửa khoảng) được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.

liên tục trên nửa khoảng a b; 

và có đạo hàm trên khoảng

Trong trường hợp 2 biến số thì ta xét bài toán tổng quát sau:

Cho các số thực x; y thỏa mãn điều kiện F x y ,  0

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trịlớn nhất của biểu thức P G x y  ; 

Phương pháp 1: Sử dụng đạo hàm tính trực tiếp

Cách 1: Thường dùng khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trênmột khoảng

1 Tính f x' 

2 Xét dấu f x' 

và lập bảng biến thiên

3 Dựa vào bảng biến thiên kết luận min, max

Cách 2: Thường dùng khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số liên tụctrên một đoạn a b; 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1x2   x n

là đường tiệmcận ngang của đồ thị hàm số yf x 

, trong đó a, b lần lượt là hệ số của hạng tử

có bậc cao nhất của đa thức tử số p x 

không có tiệm cận ngang

2) Lí thuyết về đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

q x



có

tiệm cận đứng x c

Một số dạng toán thường gặp liên quan đến đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài toán 1: Tìm điều kiện sao cho tổng khoảng cách từ điểm M x y 0; 0

thuộc đồ thị

hàm số

ax b y

cx d





 đến hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là nhỏ nhất.

Lời giải tổng quát

Từ các kết quả trên ta có tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận của đồ

cx d





 sao cho khoảng cách

từ M đến đường tiệm cận đứng bằng k lần khoảng cách từ M đến đường tiệm cận

ngang.

Lời giải tổng quát

Ở kết quả ban đầu ta có:

cx d





 sao cho khoảng cách

từ M đến điểm I là ngắn nhất, biết I là giao điểm của hai đường tiệm cận.

Lời giải tổng quát

Ta có

0 0

8 Sự tương giao của hai đồ thị hàm số

Bài toán tổng quát: Xét sự tương giao của hai đồ thị  C1 :yf x 

là số nghiệm của phương trình (*)

- Nếu phương trình (*) vô nghiệm thì hai đồ thị hàm số không có điểm chung

- Nếu phương trình (*) có nghiệm kép thì hai đồ thị hàm số tiếp xúc nhau

- Nếu phương trình (*) có n nghiệm thì hai đồ thị có n điểm chung ( n  *).

Sự tương giao của đồ thị hàm bậc ba

 C :yf x  ax3bx2cx d a , 0

với trục hoành Cách 1: Phương pháp đại số

Số giao điểm của đồ thị  C

với trục hoành là số nghiệm của phương trình hoành độgiao điểm

 

ax bx cx d 

Nếu (1) có 1 nghiệm x thì:

cắt trục hoành tại duy nhất một điểm khi phương trình (1) có duy

nhất một nghiệm  phương trình (2) có một nghiệm kép x 

* Đồ thị  C

cắt trục hoành tại hai điểm khi phương trình (1) có đúng hai nghiệm

phân biệt  phương trình (2) có một nghiệm kép x  hoặc phương trình (2) có

hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm x 

có hai cực trị đồng thời y CD.y  CT 0

(hình b)

* Trường hợp 2: Đồ thị hàm số  C

cắt trục hoành tại hai điểm khi  C

tiếp xúc với Ox.

Xét phương trình hoành độ giao điểm ax4bx2 c 0 1 

Đặt t x t 2 0

Khi đó  1  at2bt c 0 2 

* Đồ thị  C

không cắt trục Ox  Phương trình (1) vô nghiệm

 phương trình (2) vô nghiệm hoặc có hai nghiệm âm

* Đồ thị  C

cắt trục Ox tại duy nhất một điểm  phương trình (1) có duy nhất 1nghiệm  phương trình (2) có 1 nghiệm kép   hoặc có hai nghiệm phân biệtt 0trong đó có một nghiệm t  và một nghiệm âm 00 t 

Từ lý thuyết trên ta có điều kiện để đồ thị  C

cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt là

phương trình (2) có hai nghiệm dương phân biệt

  2 00

0

c a b a

tại hai điểm phân biệt  g x  0

có hai nghiệm phân biệt khác 0; 0

0

c k

d

d g

1 Cực trị của hàm sô

Ví dụ 1: Cho hàm số y=x3−3(m+1) x2+9 x−m , với m là tham số thực Xác định

m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho | x1− x2|≤2

Giải:

Ta có: y'3x2  6(m1)x9

Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2

 Phương trình y'0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2

 Phương trình x2  2(m1)x30 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2.

310

3)1

(

m

m m

)(1Theo định lý Viet, ta có: x1x2 2(m1); x1x2 3. Khi đó:

34)

tới trục hoành bằng khoảng cách từ điểm cực tiểu tới trục tung

(Đề thi HSG tỉnh Bắc Ninh năm 2015)

Chỉ ra A là điểm cực đại, B là điểm cực tiểu (Xét dấu y' hoặc dùng bảng biến thiên)

k    

  Đường thẳng d: x4 –5 0y  có hệ số góc bằng

14



Tìm m>0 để đồ thị hàm số (1) có giá trị cực đại, giá trị cực tiểu lần lượt là yCĐ, yCT

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x4 – 8m2x2 + 1 (1), với m là tham số thực Tìm các giá trị của m

để hàm số (1) có ba cực trị A, B, C và diện tích tam giác ABC bằng 64

Ta thấy AB = AC =

(2 )m (16m )

nên tam giác ABC cân tại A

Gọi I là trung điểm của BC thì

(thỏa mãn điều kiện m 0).

Vậy với m 52 thỏa mãn điều kiện bài toán.

Với những giá trị nào của

m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểmcực tiểu lập thành một tam giác đều?

Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình f x( ) 0

có 3 nghiệm phân biệt

Tìm giá trị của m để hàm số (1) có 3 cực trị, đồng thời ba điểm cực trị của đồ thị xác

định một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng

3

4

Khi đó, tam giác xác định bởi 3 điểm cực trị tạo thành là tam giác cân ABC Gọi R là bán

kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có:

4 ABC

AB AC BC R

S



 Khoảng cách từ cực đại đến đường thẳng qua 2 cực tiểu là: h  8 m2, BC 4 m,

Ví dụ 11: Cho hàm số

1

x y x





 , (1) và điểm A (0;3).

Tìm các giá trị của m để đường thẳng : y x m cắt đồ thị (C) tại hai điểm B, C sao

cho tam giác ABC có diện tích bằng

5

m m

tại hai điểm phân biệt A, B thì phương trình g x   0

có hai nghiệm phânbiệt khác ‒1, tức là

 

 

2

00





 với m là tham số Chứng minh rằng  m  0, đồ thị

hàm số luôn cắt đường thẳng d y :  3 x  3 m tại 2 điểm phân biệt A B ,

Xác định m đểđường thẳng d cắt các trục Ox Oy , lần lượt tại C D , sao cho diện tích  OAB bằng 2

y mx

cắt (C) tại ba điểm phân biệt A , B , C sao cho A cố định và diện tích tam giác OBC gấp hai lần diện tích tam giác OAB

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng

1:



⇒ A(0;

13



)

Đường thẳng

1:

m m

(thỏa mãn điều kiện)

Ví dụ 15: Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

Hàm số có cực đại cực tiểu  y có hai nghiệm phân biệt 0  m0

Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị là : 2 mx y  2 0

2 32

hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1, , 2 3

thỏa mãn điều kiện

(*)4

cắt (d) tại 3 điểm phân biệt   2

có 2 nghiệm phân biệt khác 0

Phương trình hoành độ giao điểm: x4 - 2(m+1)x2 + 2m+1 = 0

Đặt x2 = t ¿ 0, phương trình trở thành: t2 - 2(m +1)t +2m+1 = 0 (1)

Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm

dương phân biệt ⇔

{ Δ ' = m 2 > 0 ¿ { t 1 + t 2 =2 ( m+1 ) > 0 ¿¿¿¿

⇔ ¿ { m≠0 ¿ { m>−1 ¿¿¿ ⇔ { m≠0 ¿¿¿¿

(* )Với điều kiện (*), phương trình (1) có hai nghiệm 0< t1 < t2 Lúc đó, đồ thị cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt: A(- √ t2 ; 0), B (- √ t1 ; 0), C ( √ t1 ; 0), D( √ t2 ; 0)

Diện tích tam giác KAC là: S =

1

2 AC d(K; AC ) = 4 ( 2)

Vậy đồ thị (Cm) cắt trục hoành tại một điểm duy nhất khi và chỉ khi m 3.

3 Tính đơn điệu của hàm số

2 1

x

m x x

2 11





 Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết khoảng cách

từ điểm I(1; 2) đến tiếp tuyến bằng 2.

0 4 0

2 11





 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng

tiếp tuyến cách đều hai điểm A(2; 4), B(4; 2).

Giải:

Gọi x0 là hoành độ tiếp điểm (x0 1

) Phương trình tiếp tuyến (d) là:

x

x x

0 0 2

0 0

1( 1)

Ví dụ 24: Cho hàm số:

x y x

21





 (C) và điểm A(0; )a Tìm a để từ A kẻ được 2 tiếp

tuyến tới đồ thị (C) sao cho 2 tiếp điểm tương ứng nằm về 2 phía của trục hoành

Giải:

Phương trình đường thẳng d đi qua A(0; )a và có hệ số góc k: ykx a

d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình

x kx a x

k

x 2

213( 1)

 

Kết hợp với điều kiện (*), ta được:

a a

231

2 32





 Cho M là điểm bất kì trên (C) Tiếp tuyến của (C) tại

M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất.

Giải:

0 0

2

0 0

22

Mặt khác I(2; 2) và IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diệntích

x x

0 0

11

( 2)

3( 2)

có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìmđiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vitam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

32

;

0 0

x x

 (C)

Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng:

6 2

; 1 0

x x

2 32

0 0

2

0 0

2( 2)

o o

x 23

Giao điểm của d lần lượt với tiệm cận đứng, tiệm cận ngang là:

o o

11





 (C) Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất

một tiếp tuyến tới (C).

( 1)( 1)

Phương trình đường thẳng d đi qua A a( ;0) và có hệ số góc k: yk x a(  )

d là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

có 2 nghiệm phân biệt x k( ; ) với x , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm1

phân biệt khác 1 

a f

2

4 3 0( 1) 0

Ví dụ 31: Cho hàm số y f x ( )x4 2x2 Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có

hoành độ lần lượt là a và b Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A

và B song song với nhau

Giải:

Ta có: f x'( ) 4 x3 4x

Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A f a'( ) 4 a3 4 ,a k B f b'( ) 4 b3 4b

Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là:

Vì A và B phân biệt nên a b , do đó (1)  a2ab b 21 0 (2)

Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau khi và chỉ khi:

Ví dụ 32: Cho hàm số 1

12

có đồ thị (C) Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận Tìmđiểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B với chu vitam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất

32

;

0 0

6 2

; 1 0

21

6

0

0 0

x x

x

Vậy có hai điểm M thỏa mãn điều kiện: M11 3;2 3

, M21 3;2 3

Khi đó chu vi AIB bằng 4 32 6

Chú ý: Với 2 số dương a, b thoả ab = S (không đổi) thì biểu thức P = a b  a2b2 nhỏnhất khi và chỉ khi a = b

Thật vậy: P = a b  a2b2  2 ab 2ab (2 2) ab(2 2) S

Dấu "=" xảy ra  a = b

5 Tiệm cận của đồ thị hàm số

Ví dụ 33: Tìm điều kiện của tham số m để đồ thị hàm số  

2 2

1

x mx y

(Đề thi HSG tỉnh Hòa Bình năm học 2017 – 2018)

minh rằng d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m Gọi k1,k2 lần lượt

là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B Tìm m để P = (k1)2013+(k2)2013 đạt giá

trị nhỏ nhất

Giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d là:

2 x +3

Xét phương trình (*), ta có: Δ>0,∀ m∈R và x = -2 không là nghiệm của (*) nên d luôn

cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m

Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là

k1= 1

(x1+1)2, k2=

1(x2+1)2 , trong đó x1

y x   x  x  có đồ thị (C) Đường thẳng d đi qua điểm

M(0; 2) và có hệ số góc k Tìm k để đường thẳng d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P

và hai điểm N, P có hoành độ lần lượt là x x1, 2

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d là:

d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt  phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

 phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0

5 0

(*) 4

Kết hợp với (*), ta thấy k  0 thỏa mãn.

Ví dụ 36: Cho hàm số

11

x y x

Tâm đối xứng của đồ thị là I(-1; 1)

Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm của tiếp tuyến với đồ thị Khi đó tiếp điểm của (C) tại M có

III - CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 Câu hỏi

Câu 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x 3 3mx24m3

có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa

Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên

của tham số m để hàm số có đúng 5 điểm cực trị?

Câu 3 Cho hàm số y x 4 2mx2 2m2m4 có đồ thị  C

Biết đồ thị  C

có ba điểm cực

trị A, B, C và ABCD là hình thoi trong đó D0; 3 ,  A

thuộc trục tung Khi đó m thuộc

khoảng nào?

A.

11;



m

Câu 6 Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y(m 3)x 2

x m luôn nghịch biến trên

các khoảng xác định của nó?

A Không có m B m 2 C m0 D m 1.

Câu 7 Cho hàm số

4

mx m y

3m2

Câu 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị của hàm số y x 3 3mx24m3

có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 4 với O là gốc tọa

độ

12

m 

; 4

12

m 

B. m  ;1 m  1 C m  1 D m  0

Hướng dẫn giải Đáp án B