Chuyên đề hàm số mũ lôgarit ôn hsg

Ví dụ 3: Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình:... Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [3;+∞... Ví dụ 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đây có ngh

- Lôgarit cơ số 10: log10b  lg b hay logb

- Lôgarit cơ số e: loge blnb e 2,7183

- Biến đổi lôgarit trong điều kiện xác định:

 a u 'a u u 'ln ;a e u 'e u u '

với u u x  

.Đồng biến trên  nếu a  1, nghịch biến trên  nếu 0  a  1.

5 Hàm số lôgarit y  logax

Liên tục trên tập xác định 0;

, nhận mọi giá trị thuộc .

1lim log

a x

a x

a x

a x

x

12

12

2 1 2 1

Nhận xét thấy: 2

2 2

2 2

21

21

x

x x x

x x

1212

1

x

x x

21

x

x

)

0

x x

Vậy phương trình có nghiệm: x = 2, x = 3

Ví dụ 3: Tìm tích tất cả các nghiệm của phương trình:

Ví dụ 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số thực m để phương trình sau có đúng 3

nghiệm thực phân biệt

Với t  thì phương trình có nghiệm 1 x  0

Với t 1 x2  thì phương trình vô nghiệm.0

Với t  thì phương trình có 2 nghiệm của x đối nhau.1

Phương trình có 3 nghiệm thực phân biệt khi (*) có 2 nghiệm thực phân biệt t 1 1

Ví dụ 5: Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình     2 1

cóđúng hai nghiệm phân biệt

x t

thì phương trình vô nghiệm

Nếu t 1 x2  thì phương trình có nghiệm 0 x  0

Nếu t 1 x2  thì phương trình có 2 nghiệm x đối nhau.0

Để 2 phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:

Trường hợp 1: (*) có duy nhất 1 nghiệm > 1

1616

m

m m

thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Bình luận: Đối với dạng toán này, ta chia hai vế cho cùng một biểu thức rồi đặt ẩn phụ.

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 4 2 1 2 2 1 2 2 1

2)( , ta có: f ('t)2tln21

x x

Trường hợp 1: Với x   ( 2;2) thì (1)  (2  x x )(  2) 4   x  x  (0;1) Kết hợp với

điều kiện trong trường hợp này, ta được x (0;1)

thỏa mãn (*)Với t 3 x  , ta có: log x 3 x2    x log x 3 0 2  

.Xét f (x) x log x 3, x >0  2  

nên hàm số luôn đồng biến x >0

Do f(2) = 0 nên x = 2 thỏa mãn (*) là nghiệm

Vậy nghiệm của phương trình là: x = 2, x = 4

Ví dụ 11: Giải phương trình: 3x2 + 1 + log2006

6 2

6

2

1

24

x x

2 6 2







x x

log2006 v

u

= v – u  log2006u - log2006v = v- u (*)

- Nếu u > v thì VT (*) > 0 > VP (*) nên không thoả mãn

- Nếu u < v thì VT (*) < 0 < VP (*) nên không thoả mãn

t t





 

Bảng biến thiên:

 = 9



ta có t = x2 = 2 cos9



Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 

29

cos

Ví dụ 12: Giải phương trình: 2 2

2 (24 1) (24 1) log (24 1) log x

 x2.(24x1)3 1 (*)Nhận thấy

18

⇔ (3x−2 )[log3(x−1 )+1]=0 ⇔

[ 3x−2=0 [ log3( x−1)=−1 [ ⇔

[ x=log32 [ x= 4

3 [

Vậy phương trình có nghiệm: x =

2 2

t t

)1(

ln)ln(

)(2

t

t t t t t

luôn đúng với ∀x≥3 .

Với x 1, ta có  *  x2 4x  3 3 2x x2 4x 3 3 2 x2 3x2 8x 6 0

(vô nghiệm)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [3;+∞) .

Ví dụ 19: Tìm các giá trị của a thỏa mãn: 3x + (a – 1).2x + (a – 1) > 0, ∀ x ∈R

mọi x Hàm số luôn đồng biến mà lim

x   f(x) = 0 Bất đẳng thức (*) đúng với mọi x khi và chỉ khi 1 – a ¿ 0 ⇔ a ¿ 1 Vậy a ¿ 1 thỏa mãn

Ví dụ 20: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình sau đây có nghiệm

Ví dụ 23: Giải bất phương trình : log 17  x x    log4 x

Bất phương trình tương đương với 3x 3 log 2x2x1  1

Nhận thấy x = 3 không phải là nghiệm của phương trình (1)

Trường hợp 1: Nếu x > 3 thì  1 3log2 1

x x x

Suy ra bất phương trình có nghiệm x > 4.Với x 4 thì f x f  4  3 g 4 g x 

Do đó, bất phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: Nếu x < 3 thì  1 3log2 1

x x x

Bất phương trình có nghiệm nên mmin0;4 f x 

Vậy điều kiện của m để bất phương trình có nghiệm là: m 2 3.

Ví dụ 26: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm duy nhất:

 (*)Đặt u = x2 + mx + 10, u  0 Với 0 < m < 1, ta có:

(*)  f(u) = log7( u + 4)log11(u + 2)  1

Ta thấy f(9) = 1 và f(u) là hàm đồng biến nên ta có:

Nếu 1 < m < 2   < 0, tức (2) vô nghiệm thì bất phương trình đã cho vô nghiệm Nếu

m > 2   > 0 thì phương trình trên có 2 nghiệm đều thoả mãn (1) và (2) Do đó, bất phương trình đã cho có nhiều hơn một nghiệm

Nếu m = 2 thì (2) có nghiệm duy nhất x = -1 Do đó, bất phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = -1

Vậy giá trị cần tìm của m là m = -2

Ví dụ 27: Trong tất cả các nghiệm của bất phương trình: logx 2y 2( x  y )  1

.Hãy tìm nghiệm (x; y) mà x + 2y lớn nhất

S 2

1 10

1 S 4

1



(thỏa mãn x2+ y2 > 1)

Trường hợp 2: 0< x2 + y2 < 1 Khi đó: (1)  0 < x+y < x2+y2

Suy ra: S = x+2y < x2+y2+y < 1+1=2< 2

1 y

10

1 2

1 x

y y

Kiểm tra thấy chỉ có x2, y1thoả mãn điều kiện trên

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x2, y1

nên (4) có nghiệm thì là nghiệm duy nhất, do g(1) = 4Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của (4).

Khi đó hệ (II) trở thành

1 y x 1 x

y x

3

2.322

2

3 2

1 3

x xy x

x y y

)1( 2

.322

2

x y 2 y 1 x

Phương trình (2) tương đương với:

x x y

x x x

31100

13

01

8log11

822.12282.32

1x8

3t

i

¹lo83t01t6t6t

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: 

8logy

0x

183log3

1x

2 2

Lập bảng biến thiên của hàm g x 

luôn đồng biến trên khoảng 0; 

4 m

0 m

b) Với x  0 hoặc y 0, bất đẳng thức đúng.

Với xy 0, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

1 1

Ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 39: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 1 a b c    Chứng minh rằng:

f 0

Suy ra f t  0, t

Ta có điều phải chứng minh

III – CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

1 Câu hỏi

Câu 1: Cho biểu thức A log 2017 log 2016 log 2015 log log 3 log 2                

Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. log 2017;log 2018

B. log 2019;log 2020

C. log 2018;log 2019

D. log 2020;log 2021

Câu 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 25 15 9

2



D. T 1008

Câu 5: Cho 2 số x, y>0 thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu

Hỏi a b bằng bao nhiêu?

Câu 10: Cho mloga3 ab,

với a1,b1 và Plog2a b16 log b a

a

A. 0 a 1 B. 1 a 2017 C. a2017 D. 0 a 2017

Câu 12: Biết là hai nghiệm của phương trình và

với a, b là hai số nguyên dương Tính

Câu 16: Số giá trị nguyên của m để phương trình m 1 16  x  2 2m 3 4   x 6m 5 0 

có 2 nghiệm trái dấu là

là tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình đã

cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

Câu 24: Cho phương trình

log log 3 1  log m

Câu 1: Cho biểu thức A log 2017 log 2016 log 2015 log log 3 log 2                .

Biểu thức A có giá trị thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A log 2017 log 2016 log 2015 log log 3 log 2

2

Khi đó:

Câu 2: Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log25 log15 log9

t

t t

a x

b y

Vậy

t t

2



D. T 1008

Hướng dẫn giải Đáp án C

Câu 5: Cho 2 số x, y>0 thỏa mãn Giá trị nhỏ nhất của biểu

Hướng dẫn giải Đáp án D





Hướng dẫn giải Đáp án A

Hỏi a b bằng bao nhiêu?

A. 2 B. 9 C.12 D. 13

Hướng dẫn giải Đáp án D

Câu 10: Cho mloga3 ab,

với a1,b1 và Plog2a b16 log b a

Từ bảng biến thiên, suy ta minP12 m1.

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a a 0

thỏa mãn

2017

2017 2017

a

A. 0 a 1 B. 1 a 2017 C. a2017 D. 0 a 2017

Hướng dẫn giải Đáp án C

2017 2017

Câu 12: Biết là hai nghiệm của phương trình và

với a, b là hai số nguyên dương Tính

Hướng dẫn giải Đáp án C

Điều kiện

x 0

1x

Theo đề bài a, b, c theo thứ tự tạo thành cấp số cộng nên a c 2b   a c 2 4b2

x4

tm4

Câu 16: Số giá trị nguyên của m để phương trình m 1 16  x  2 2m 3 4   x 6m 5 0 

có 2 nghiệm trái dấu là

Hướng dẫn giải Đáp án A

Từ bảng biến thiên, suy ra  1

có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 13 m    9

Câu 18: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số thực m để phương trình

1t

Dưa vào bảng biến thiên, ta có m 0.

Câu 19: Gọi A là tập tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho tập nghiệm của phương trình x.2x x x m 1   m 2 x 1

có hai phần tử Tìm số phần tử của A

Hướng dẫn giải Đáp án D

là tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình đã

cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2



y '

Phương trình đã cho tương đương với:  2 2  2 2

Câu 23: Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình

2x 2

Hướng dẫn giải Đáp án D

có nghiệm thì là nghiệm duy nhất

Dễ thấy t 2 là nghiệm của

2 2 2x

Câu 24: Cho phương trình:





Hướng dẫn giải Đáp án D

Điều kiện:

1

.2

C. m0;1

D. m   ;0  1;

Hướng dẫn giải Đáp án A

Câu 26: Bất phương trình ln 2x 23 ln x 2ax 1 

nghiệm đúng với mọi số thực x khi

A. 2 2  a 2 2 B. 0 a 2 2 C. 0 a 2  D. 2 a 2 

Hướng dẫn giải Đáp án D

Ta có:

 

2 2

Suy ra: 1 log 7 x 4 2  

(thỏa mãn điều kiện của phương trình)

Câu 28: Cho hàm số f x ln x2 2 2x 4  

Tìm các giá trị của x để f ' x  0

log log 3 1  log m

Hướng dẫn giải Đáp án D

Câu 30: Cho bất phương trình  2   2 

Đặt

Nếu 1 m 2     0 pt 2 

vô nghiệm  bất phương trình vô nghiệm

Nếu m 2    0 pt trên có 2 nghiệm thỏa mãn    1 , 2 

bất phương trình có nhiềuhơn 1 nghiệm

Nếu m 2  pt 2 

có nghiệm duy nhất x  bpt có nghiệm duy nhất 1 x1

Vậy gía trị cực tiểu của m là

2 3 2

Bài 3: Giải phương trình: log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2

Bài 4: Giải phương trình: ln(sinx+1) = esinx-1

Bài 5: Giải và biện luận theo m bất phương trình:

) 3 ( log ) (

)

1

(

3 1 2

2 Lời giải chi tiết

Bài 1: Giải phương trình: 4X

1





), phương trình trở thành: 2t t1

Quan sát bảng biến thiên, nhận thấy phương trình có tối đa 2 nghiệm t

Mặt khác f(0) = f(1) = 0 Suy ra phương trình có 2 nghiệm: t = 0, t = 1 Suy ra:

2 3 2

320

32

02

x x

x

x x

3 4 7

x

x x y x

x x

x

)347(32

)348(22)

32(log)22(

log

2

2 2

3 4 7

2 3

4

7

03

2

2

a

t x

x

, ta đưa về hệ phương trình:

1)

1()1(1

a t

a t

)(1

11

a a

10

vµ

a

a

(do a > 1)Nên hàm số f(y) nghịch biến a1 và f(1) = 1 nên y = 1 là nghiệm duy nhất của

phương trình (*) Suy ra: x2 – 2x – 3 = a1 = 7 + 4 3

(t/m) 134111

334111

Bài 3: Giải phương trình: log3(x2+x+1) - log3x = 2x-x2

x

x

x x

) 1 ( 1 y e

y sinx

Lấy (1) trừ (2), ta có phương trình: esinx – ey = y - sinx

Nếu sinx > y thì esinx > ey Phương trình không có nghiệm

Nếu sinx < y thì esinx < ey Phương trình không có nghiệm

Vậy phương trình có nghiệm khi sinx = y thay vào (2) ta có: esinx = sinx + 1 (3)Xét f(x)= ex-x-1 với x-1

f'(x)= ex – 1=0  x=1

Vậy phương trình (3) có nghiệm sinx = 0  x=k, (kZ)

Bài 5: Giải và biện luận theo m bất phương trình:

) 3 ( log ) (

) 1 (

3 1 2

) 1 (

3 1 2

x m x

b ln + c ln + b ln

a ln

)

Bổ đề: Với x,y,z>0 thì z + y

x+x + z

y +x + y

z

3 (*)

Thật vậy (*) ( z + y

x+1) + (x + z

y +1)+(x + y

z+1)≥ 2

3 +3

[ (y+z) +(z+x) +(x+y) ] (z + y

1+x + z

1 +x + y

1)  9 (**) Theo Côsi thì (**) thoã mãn

Áp dụng bổ đề ta có : VT(1)  3 (ĐPCM)

a) abca b c 3 a b c a .b c  logabca b c 3 loga b c a .b c

a b clogabc 3 log a a logb b logc c

Bất đẳng thức này đúng vì cơ số 10 1  nên x y 0  log x  log y hoặc

0    x y log x  log y nên x y  logx logy 0

8 log log log logx y y z z t t x 8 1 8

Lập bảng biến thiên thì min f f b q 1 0

Ta có điều phải chứng minh

Bài 11: Cho a b c  , , 0 Chứng minh:

lnln

02

0

2

x x

x

x x

x

x

Xét hàm số x

x x

f( )ln

trên (0; +∞), ta có:

e x x

f x

x x

2 '

Từ bảng biến thiên suy ra hệ (1’) có không quá 2 nghiệm

Nhận thấy x = 2, x = 4 thỏa mãn (1’) Do đó, phương trình (1) có nghiệm x = 2, x = 4.Giải phương trình (2): Đặt

)'2(.7

3)7

4(13472)3(log2