Đs chương 3 dãy số

Cách cho một dãy số Một dãy số thờng đợc xác định bằng một trong các cách: Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u n...  Nhận xét: Ví dụ trên đã minh hoạ một c

chơng 3  dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân

A Kiến thức cần nhớ

I Phơng pháp quy nạp toán học

Việc sử dụng phơng pháp quy nạp toán học để chứng minh f(n) có tính chất K với

n  N ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: (Bớc cơ sở): Chứng tỏ với n = 1 thì f(1) thoả mãn tính chất K.

Bớc 2: (Bớc quy nạp): Giả sử số hạng f(k) thoả mãn tính chất K Ta đi chứng

minh số hạng f(k + 1) cũng thoả mãn tính chất K

Bớc 3: Kết luận

II Dãy số

1 Định nghĩa

Định nghĩa 1 : Một hàm số u xác định trên tập hợp N* các số nguyên dơng đợc gọi là

một dãy số vô hạn (hay còn gọi tắt là dãy số).

Kí hiệu (un) hay ở dạng khai triển là u1, u2, un

2 Cách cho một dãy số

Một dãy số thờng đợc xác định bằng một trong các cách:

Cách 1: Dãy số xác định bởi một công thức cho số hạng tổng quát u n

Thí dụ 1: Dãy số (un) xác định bởi un = 2n + 1 Khi đó, nếu viết dãy sốnày dới dạng khai triển, ta đợc 3, 5, 7, 2n + 1

Cách 2: Dãy số xác định bởi một công thức truy hồi (hay còn nói cho dãy số bằng

quy nạp), tức là:

 Trớc tiên, cho số hạng đầu (hoặc vài số hạng đầu)

 Cho công thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng (hay vài số hạng)

v 1 v v

1 2 n 2 1

.Khi đó, nếu viết dãy số này dới dạng khai triển, ta đợc:

v1 = 1, v2 = 1, v3 = 2, v4 = 3, v5 = 5

Dãy số này đợc gọi là dãy số Phibônaxi

Cách 3: Dãy số xác định bởi một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó.

Thí dụ 3: Cho dãy số (un) với un là chữ số thứ n trong cách viết thậpphân của số , khi đó ta có dãy số:

u1 = 3, u2 = 1, u3 = 4, u4 = 1, u5 = 5Trong trờng hợp này ta không tìm đợc công thức biểu thị số hạng un qua n

3 dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa 2 :

a Dãy số (un) đợc gọi là dãy số tăng nếu n  N * , un < un+1

b Dãy số (u n ) đợc gọi là dãy số giảm nếu n  N * , un > un+1

4 dãy số bị chặn

Định nghĩa 3:

a Dãy số (u n ) đợc gọi là bị chặn trên nếu M  R : un  M, n  N*

b Dãy số (u n ) đợc gọi là bị chặn dới nếu m  R : un  m, n  N*

1

c Dãy số (u n ) đợc gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dới, tức là:

m, M  R : m  un  M, n  N*.III Cấp số cộng

1 1

N n , d u u u u

(u, d là hai số thực cho trớc) đợc gọi là cấp số cộng

N n , q u u u u

(u, q là hai số thực khác 0 cho trớc) đợc gọi là cấp số nhân

Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dơng n

k2  

=

2

4 k

k2 

=

2

)4k3)(

1k

=

2

]1)1k(3)[

1k

, đpcm

Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi số nguyên dơng n

 Nhận xét: Nh vậy, ví dụ trên đã minh hoạ cách sử dụng phơng pháp quy nạp toán

học để chứng minh một mệnh đề

Trong thực tế, ta còn gặp các bài toán với yêu cầu chứng minh mệnh

đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dơng

n ≥ p, trong đó p là một số nguyên dơng cho trớc

Trong trờng hợp này, để giải quyết bài toán đặt ra bằng phơngpháp quy nạp toán học, ở bớc 1 ta cần chứng minh A(n) là mệnh

đề đúng khi n = p và ở bớc 2, cần xét giả thiết quy nạp với k là sốnguyên dơng tuỳ ý lớn hơn hoặc bằng p

3

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có 3 > 3n + 1.

1

+

) 1 n ( n

1

3 2

1

= 1  2

1 = 1 

1 1

1

 ,

S2 =

2 1

1

+ 3 2

1 = 1  2

1 + 2

1  3

1 = 3

2 = 1 

1 2

1

Ta đi chứng minh dự đoán trên bằng quy nạp nh sau:

 Với n = 1, ta thấy (*) do kết quả từ câu a)

 Giả sử (*) đúng với n = k, tức là:

Sk = 1 

1 k

1 k (

1



1 k

1

 +

) 2 k )(

1 k (

1 k (

2 k 1

1



Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dơng n

 Nhận xét: Ví dụ trên đã minh hoạ một công việc rất hay gặp khi thực hiện các bài

toán về dãy số, đó là "Đoán nhận công thức tổng quát của dãy số và

chứng minh công thức đó".

2.3

1)21(

)21)(

21)(

21

1521

F1  21   22  nên công thức đúng

 Giả sử công thức đúng với n = k, tức là:

)12(3

k (1 2 )F

3

1)12(3

1)

21(  2k1 2k1   2k2 

Vậy, công thức (*) đúng với mọi n  N*

Từ đó, suy ra ta cần chứng minh:

1 n 1

2

2.3

1)12(3

Thí dụ 3 Giả sử a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng với

y y

2

= 2x

5

Từ đó bất đẳng thức (*) đợc chứng minh, hay bất đẳng thức:

anb(a – b) + bnc(b – c) + cna(c – a)  0 đợc chứng minh

 Giả sử bất đẳng thức đúng tới n Không mất tính tổng quát, ta giả sử c  b 

a Theo giả thiết quy nạp, ta có:

bnc(b – c)  – anb(a – b) – cna(c – a)

 bn + 1c(b – c)  – anb2(a – b) – cnab(c – a)

Do đó:

an + 1b(a – b) + bn + 1c(b – c) + cn + 1a(c – a)

 an + 1b(a – b) – anb2(a – b) – cnab(c – a) + cn + 1a(c – a)

= anb(a – b)2 + cna(c – a)(c – b)  0

Vậy bất đẳng thức đúng với n + 1

Theo nguyên lý quy nạp bất đẳng thức đã cho đúng với mọi n > 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:

a = b = c hay ABC đều

Đ2 Dãy số

Dạng toán 1: Mở đầu về dãy số

Phơng pháp áp dụng

Với giả thiết cho dãy số (un) dới dạng công thức tổng quát hoặc biểu thức truy hồi

và câu hỏi thờng đợc đặt ra là:

a Hãy viết k số hạng đầu của dãy số hoặc tìm uk Câu hỏi này đợc thực hiệnbằng phép thế

b Xác định xem a là số hạng thứ mấy của dãy số Câu hỏi này đợc thực hiệnbằng việc giải phơng trình ẩn n

…

Thí dụ 1 Cho dãy số (un) với un =

n

1)1( n 

12

1)1( 12 =

61

u2n =

n2

1)1( n 

1)

1( n 1





= 0

b Từ kết quả câu a) ta thấy ngay mọi số hạng lẻ của dãy số đều nhận giá trị bằng 0

Thí dụ 2 Cho dãy số (un) xác định nh sau:

9 u , 15 u

1 n 2 n n

2 1

a Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy số

b Tìm xem 3 là số hạng thứ mấy của dãy số ?

 Giải

a Ta lần lợt có:

u1 = 15; u2 = 9; u3 =  6; u4 =  15; u5 =  9; u6 = 6

b Dễ thấy mọi số hạng của dãy số đều không nhận giá trị bằng 3

Dạng toán 2: Xác định công thức của dãy số (u n )

Phơng pháp áp dụng

Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn và đơn giản biểu thức của un

Cách 2: Sử dụng phơng pháp quy nạp bằng việc thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Viết một vài số hạng đầu của dãy, từ đó dự đoán công thức

cho un

Bớc 2: Chứng minh công thức dự đoán bằng phơng pháp quy nạp

Thí dụ 1 Cho dãy số (un), biết:

Từ các chứng minh trên suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dơng n

 Nhận xét: Nh vậy, ở thí dụ trên chúng ta không cần thực hiện việc dự đoán công

u 1 u 1 n

Giả sử công thức (1) đúng với n = k, tức là uk = 2k  1 Ta đi chứng minh nó cũng

S u S

n 1 n 1

1

 =

1n

1n

1n

1

 =

1n

n

 Vậy, ta có Sn =

1n

Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: (Bớc cơ sở): Chứng minh rằng số hạng u1 thoả mãn tính chất K

Bớc 2: (Bớc quy nạp): Giả sử số hạng uk thoả mãn tính chất K Ta đi chứng

minh số hạng uk+1 cũng thoả mãn tính chất K

Bớc 3: Kết luận dãy số (un) thoả mãn tính chất K

Thí dụ 1 Cho dãy số (un) với un = n3 + 11n Chứng minh rằng mọi số hạng của

dãy số này đều chia hết cho 6.

Thí dụ 2 Cho dãy số (un) xác định nh sau:

2 u , 1 u

1 n 2 n n 2 1

=

1 k

4 25

4

=

1 k

Thí dụ 3 *Cho dãy số nguyên (an) thoả mãn an+2 + an1 = 2(an+1 + an) Chứng tỏ

u  + 4un1.an + 4 2

n

a = 2

1 n

u   4an1.an.Vậy 2

 Nhận xét: Cách giải trên đợc trình bày sau khi đã thực hiện phép nháp để dẫn

xuất đợc tới dãy số un Các em học sinh có thể nhận thấy đợc dãy

un theo kiểu đặt vấn đề nh sau:

Giả sử tồn tại số nguyên M không phụ thuộc vào n sao cho M + 4an+1.an

là số chính phơng với mọi n  0, tức là:

M + 4an+1.an = 2

n

u , n  0 9

 M = u  4an n+1.an, n  0 (1)

Từ (1) bằng việc sử dụng n và n  1, ta đợc:

2 n

u  4an+1.an = 2

1 n

u   4an.an1

 2 n

u = u2n1 + 4an+1.an  4an.an1

gt

 u = 2n 2

1 n

u = (un1 + 2an)2  un = un1 + 2an

 an+2  an + 1  an = an+1  an  an1 + 2an

 an+2 + an1 = 2(an+1 + an),

đó chính là giả thiết của bài toán

Nh vậy, với phép nháp trên, chúng ta đã chỉ đợc ra dãy un thoả mãn

điều kiện đầu bài

Dạng toán 4: Xét tính tăng, giảm của một dãy số (u n )

 Nếu H > 0 với n  N* thì dãy số (un) tăng

 Nếu H < 0 với n  N* thì dãy số (un) giảm

Cách 2: Nếu un > 0 với n  N* ta có thể thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Lập tỉ số P =

n

1 n

u

u , từ đó so sánh P với 1

Bớc 2: Khi đó:

 Nếu P > 1 với  n  N* thì dãy số (un) tăng

 Nếu P < 1 với n  N* thì dãy số (un) giảm

Thí dụ 1 Xét tính tăng, giảm của dãy số (un) với un = nn

Cách 2: Dễ thấy un > 0 với n  N*, xét tỉ số:

P =

n

1 n

Vậy, dãy (un) giảm

Thí dụ 2 Xét tính tăng, giảm của dãy số (un), biết:

u 1 u 1 n 1

 Giải

Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

 Chú ý: Đối với bất đẳng thức chứa các toán tử mang tính đặc thù trong nhiều

tr-ờng hợp chúng ta sử dụng tính đơn điệu của dãy số để chứng minh, cụthể với dãy số {un} để chứng minh uku0ta đi chứng minh dãy {un}

uk + 1 = 4uk  1 =

3

) 1 2

(

4 k1   1 =

3

3 4

 Mọi dãy số (un) giảm luôn bị chặn trên bởi u1.

 Mọi dãy số (un) tăng luôn bị chặn dới bởi u1

Thí dụ 1 Xét tính tăng giảm và bị chặn của các dãy số (un), biết:

a un =

n

1 sin )

 Sử dụng bất đẳng thức Côsi thì:

Thí dụ 3 Chứng tỏ rằng dãy số (un) với un =

1 n

1 n

1 n

2 

  1  n2 1  n  1  n2 + 1  n2  2n + 1

1

+

3.2

1

+ +

) 1 n ( n

1n

1n

1



 = 1 

1n

Câu hỏi thờng đợc đặt ra là:

" Cho ba số a, b, c lập thành cấp số cộng, chứng minh tính chất K "

khi đó, ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta đợc:

a + c = 2b hoặc biểu thức tơng đơng a  b = b  c =

Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số cộng, ta đợc:

1

 ,

a c

1

 ,

b a

1

 +

b a

1

 =

c b

c b



 +

b a

b a





=

b a

c b



 +

b a

b a



 =

b a

b a c b









=

) c a ( 2 1

c a



 =

a c

2



Vậy, ba số

c b

1

 ,

a c

1

 ,

b a

b Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số cộng, điều kiện là:

b 2 c a

bài toán đợc chuyển về việc giải hệ phơng trình

Vậy, với x = 2 hoặc x = 3 thoả mãn điều kiện đầu bài

 Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phơng trình trùng phơng là:

" Tìm điều kiện của tham số sao cho phơng trình:

b

Với x2 = 

a3

b

)2 + c(

a3

b

) + d = 0

Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

Điều kiện đủ: Từ (2) suy ra phơng trình có nghiệm x2 = 

a3

b2

= 2x2

 x1, x2, x3 lập thành cấp số cộng

Vậy, điều kiện cần và đủ để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng là:

15

2b  9abc + 27ad = 0.

Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việcchỉ ra nghiệm cụ thể của phơng trình Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó tacòn phải khẳng định phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt

Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

Điều kiện đủ: Với m=11, ta đợc:

1 x

12 1 x

 Do đó, có kết luận m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài

Tuy nhiên, tồn lại bài toán mà các giá trị của tham số tìm đợc trong điều kiện cầnkhông thoả mãn điều kiện đủ

Bài toán trên có thể đợc giải bằng phơng pháp hằng số bất định, nh sau:

Phơng trình (1) có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng

2 2

0

x d x

m

d x

3 9

x 3 3

1

.Vậy, với m = 11 thoả mãn điều kiện đầu bài

2 Một bài toán rất quen thuộc đối với phơng trình trùng phơng là:

" Tìm điều kiện của tham số để phơng trình

có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng"

Khi đó, ta thực hiện nh sau:

/ c

0 a

/ b 0 '

(3)

và khi đó bốn nghiệm của (1) là - t2 , - t1 , t1 , t2

Bốn nghiệm trên lập thành cấp số cộng khi:

1

1 1

2

t 2 t t

t 2 t

t

 t2 =3 t1  t2 = 9t1 (4) Theo định lí Viét ta có:

t

a / b t

t

2

1

2 1

.(

t

a / b t

9 t

1 1

1 1

a 10 b t

2

1



2 a 10

c

.(5)

Kết hợp (5) và (3) nhận đợc điều kiện của tham số

 Chú ý: Các em học sinh sẽ thấy đợc ví dụ trong phần "Các bài tập chọn lọc".

Dạng toán 4: Tìm các phần tử của một cấp số cộng (u n )

Phơng pháp áp dụng

Thông thờng bài toán đợc chuyển về xác định u1 và công sai d

Thí dụ 1 Cho cấp số cộng (un) thoả mãn u2  u3 + u5 = 10 và u1 + u6 = 17

a Tìm số hạng đầu tiên và công sai.

b Tính tổng số của 20 số hạng đầu tiên.

u

10 u

u u

6 1

5 3 2

10 ) d 4 u ( ) d 2 u ( ) d u (

1 1

1 1

10 d 3 u

1 1

 



 3 d

1

u1

.Vậy, cấp số cộng (un) có u1 = 1 và d = 3

u

60 u

u

2 12 2 15 7

d 11 u ( ) d u

(

60 ) d 14 u ( ) d u

(

2 1

2 1

1 1

30 d 10 u

2 1 2

30

(

d 10 30

u

2 2

d 10 30 u 2

d 10 30

và 5 / 21 d

0 u và 3 d

1

1

17

Vậy, tồn tại hai cấp số cộng (un) có u1 = 0 và d = 3 hoặc u1 = 12 và d =

5

21

thoả mãn

điều kiện đầu bài

Thí dụ 3 Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng

(

16 ) x a ( ) x a ( ) x a ( ) x a

(

2 2

2 2

4

16 a

4 a

 





1 , 3 , 5 , 7

7 , 5 , 3 , 1

.Vậy, bốn số cần tìm là 1, 3, 5, 7

 Chú ý: Nếu không biết biểu diễn bốn số dới dạng đối xứng nh trên thì sẽ phải

giải một hệ bậc hai khá phức tạp, cụ thể:

Gọi d là công sai của cấp số cộng x, y, z, t thoả mãn điều kiện đầu bài, ta có:

14 t z y x

2 2 2

x

14 ) d x ( ) d 2 x ( ) d x

(

x

2 2

2 2

7 d x

Câu hỏi thờng đợc đặt ra là:

" Cho ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, chứng minh tính chất K "

khi đó, ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Từ giả thiết a, b, c lập thành một cấp số nhân, ta đợc:

Dạng toán 3: Tìm điều kiện của tham số để ba số lập thành một cấp số nhân

Phơng pháp áp dụng

a Để ba số a, b, c lập thành cấp số nhân, điều kiện là:

ac = b2, bài toán đợc chuyển về việc giải phơng trình

b Để bốn số a, b, c, d lập thành cấp số nhân, điều kiện là:







 2 2

c bd b ac

,bài toán đợc chuyển về việc giải hệ phơng trình

thoả mãn điều kiện đầu bài

 Chú ý: Một bài toán rất quen thuộc đối với phơng trình bậc ba là:

" Tìm điều kiện của tham số sao cho phơng trình:

x1x2 + x2x3 + x3x1 =

a

c  x1x2 + x2x3 + 2

2

x = a c

 x2(x1 + x2 + x3) =

a

c  x2 = 

b

c

Với x2 = 

b

c thay vào (1) ta đợc:

b

c) + d = 0  ac3 = b3d (2)

Đó chính là điều kiện cần để (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân

Điều kiện đủ: Từ (2) suy ra phơng trình có nghiệm x2 = 

b

c Khi đó:

x2(x1 + x2 + x3) = (

b

c)(

a

b) = a

c = x1x2 + x2x3 + x3x1

Với bài toán một tham số m, trong điều kiện đủ ta có thể khẳng định bằng việcchỉ ra nghiệm cụ thể của phơng trình Hãy nhớ điều này rất quan trọng bởi khi đó tacòn phải khẳng định phơng trình đã cho có 3 nghiệm phân biệt.

1 m

Vậy, không tồn tại m thoả mãn điều kiện đầu bài

Dạng toán 4: Tìm các phần tử của một cấp số nhân (u n )

Phơng pháp áp dụng

Thông thờng bài toán đợc chuyển về xác định u1 và công bội q

Thí dụ 1 Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của các cấp số nhân (un), biết:

u

72 u

u

3 5 2 4

u q

.

u

72 q u q

.

u

2 1 4 1

1 3 1

1 q ( q u

72 ) 1 q ( q u

2 2 1

2 1

a T×m sè h¹ng ®Çu tiªn vµ c«ng béi.

b TÝnh tæng sè cña 10 sè h¹ng ®Çu tiªn

u

72 u

u

3 5

2 4

u q u

72 q u q u

2 1 4 1

1 3 1

q q (

u

72 ) q q (

u

2 4 1

3 1

 4 2

3

q q

q q



 =

a

15 c

a 6 b

ThÝ dô 4 BiÕt r»ng ba sè x, y, z lËp thµnh mét cÊp sè nh©n vµ ba sè x, 2y, 3z lËp

thµnh mét cÊp sè céng T×m c«ng béi cña cÊp sè nh©n.

 Gi¶i

Gäi q lµ c«ng béi cña cÊp sè nh©n

C¸c sè x, 2y, 3z lËp thµnh mét cÊp sè céng, suy ra:

i

¹ lo 0 x

VËy, cÊp sè nh©n cã c«ng béi q = 1 hoÆc q =

3

1

S = 100.2100  (1 + 2 + 22 + … + 299) = 100.2100 

12

1

1

11 }

Suy ra sn lµ tæng n sè h¹ng ®Çu cña cÊp sè nh©n (un), tøc lµ:

sn =

110





n 1 k

k

)110(9

k

9n

1 n 1

a Chøng minh r»ng (un) bÞ chÆn díi bëi 1.

b Chøng minh r»ng (un) gi¶m Suy ra (un) bÞ chÆn.

23

1

1 

= 1, đpcm

Vậy, ta luôn có un > 1, n  N*, tức là (un) bị chặn dới bởi 1

b Ta có thể trình bày theo hai cách sau:

2

u

1 n <

1 <

a

5  – 1 = 7 a k

5 – 1 = ( a k

5 – 1)Atrong đó:

A = 6 a k

5 + a k

5 + … + a k

5 + 1 = u6 + u5 + … + u + 1 với u = a k

i

)1t7(  7 (mod 72)

Từ đó và giả thiết quy nạp suy ra:

1 k