1631024485974-T11-ĐS Chuyên đề 3-Dãy số - CSC và CSN (a)

Lí thuyết và bài tập tự luận Dãy số Lớp 11 Thầy Võ Hoàng Nghĩa, Cô Nguyễn Thị Hồng Loan Nghị lực và bền bỉ có thể chinh phục mọi thứ Trang 77 BÀI 1 PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC  Tóm Tắt Lí Thuyết 1 P[.]

BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC  Tóm Tắt Lí Thuyết

1 Phương pháp quy nạp toán học

Để chứng minh mệnh đề chứa biến A n là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương   n  *, ta thực hiện như sau:

 Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n  1

 Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n tùy ý k k 1, chứng minh rằng mệnh

đề cũng đúng với n   k 1

Nếu phải chứng minh mệnh đề A n đúng với mọi số nguyên dương n   p thì:

+ Ở bước 1: Ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n p

+ Ở bước 2: Ta giả thiết mệnh đề đúng với một số nguyên dương bất kì nk p, chứng minh rằng mệnh đề cũng đúng với n   k 1

 Các Dạng Bài Tập

Bài 1: Chứng minh rằng với n  *, ta có các đẳng thức:

1 2 3

2

n n

6

n n n

c

1

1

n

n a

a a a a

a





3 1

2

n n

n



n

n n n

3

n n n

2

n n

n   

k 1.4 2.7   n n(3 1)n n( 1)2

Bài 2: Chứng minh rằng với *

n   , ta có các đẳng thức:

a n2 n 2

b n3 n 3

Bài 3: Chứng minh rằng với n  *, ta có:

n

  chia hết cho 9

e 7.22n232n1 chia hết cho 5 f 13n chia hết cho 6 1

g 32n12n2 chia hết cho 7

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n  , ta có các bất đẳng thức: 2

c

n







g Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là ( 3)

2

n n 

BÀI 2: DÃY SỐ

 Tóm Tắt Lí Thuyết

1 Dãy số

ĐN: Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là

dãy số) Kí hiệu:

 

*

:

u



Trong đó: u n u n  hoặc viết tắt là  u n

1

u là số hạng đầu

n

u là số hạng thứ n (và là số hạng tổng quát của dãy số)

Mỗi hàm số u xác định trên tập M 1; 2;3; ;m với m  * được gọi là một dãy số hữu hạn

Dạng khai triển:  u m u u1, 2, ,u m

2 Dãy số tăng, dãy số giảm

  u n là dãy số tăng u n1u n với *

n

   (u n1u n  với 0 *

n

   hay n 1 1

n

u u

n

   ,u  n 0)

  u n là dãy số giảm u n1u n với *

n

  

(u n1u n  với 0 *

n

   hay n 1 1

n

u u

n

   ,u  n 0)

3 Dãy số bị chặn

  u n là dãy số bị chặn trên  M:u n M, n  *

  u n là dãy số bị chặn dưới   m :u n M, n  *

  u n là dãy số bị chặn  m M, :mu n M, n  *

 Các Dạng Bài Tập

Dạng 1: Số hạng của dãy số

Bài 5: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi số:

a

2

2

1

n

n

u

n







n n

n u

n

 



1 1

n

n u n







3

n n

u   

2 cos

n

2

n

u  

Bài 6: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un) cho bởi:

3

u  u   u  b u115,u29, u n2 u nu n1

2

2 0,

1

n n

u u

u



 d u11,u2  2,u n2u n12u n

Bài 7: Số hạng tổng quát của dãy số này là:

a 5;10;15; 20; 25; b 8;15; 22; 29;36; c 1;1; 1;1; 1;  

d 1 1 1; ; ; 1 ;

1 2 3 4 0; ; ; ; ;

2 3 4 5

Bài 8: Hãy viết 5 số hạng đầu của dãy số (un), dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng qui nạp:

a u11,u n12u n 3 b u13, u n1 1u n2 c u13,u n12u n

d u1 1,u n12u n 1 e u11,u n1u n 7 e 1 5

4

u  ,

2

1

1







n n

u

Dạng 2: Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn

Bài 9: Xét tính tăng, giảm của các dãy số (un) cho bởi:

n

n

u

n





n



2

n n

u n





d

2

2

1 1

n

u

n

 





n

n u

n



Bài 10: Xét tính bị chặn trên, bị chặn dưới, bị chặn của các dãy số (un) cho bởi:

2

n

n

u

n





1

n

u

n n



2 4

n

u n 

d

2

2

2 1

n

u





 

n

n u

n n n



2

n n

u

n

BÀI 3: CẤP SỐ CỘNG

 Tóm Tắt Lí Thuyết

1 Định nghĩa:  u n là cấp số cộng u n1 u n d, *

n

   Trong đó: Số d được gọi là công sai

2 Số hạng tổng quát: u n u1n1d với n  2

Trong đó: u là số hạng đầu, d là công sai 1

2

k

 với k  2

1 2

n

n u n d

n u u

S u u  u       

 Các Dạng Bài Tập

Dạng 1: Xác định cấp số cộng và các yếu tố của cấp số cộng

Phương pháp:

+ Dãy số  u n là một cấp số cộng u n1u n d không phụ thuộc vào n và công sai d

+ Ba số a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng a c 2b

+ Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai Do đó ta thường biểu diễn giả thiết của đề bài qau u và 1 d

Bài 11: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là cấp số cộng, khi đó cho biết số hạng đầu và công sai của nó:

5

n

n

u   c u n n2

2

n

n

2

n

n

u  

Bài 12: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng, biết:

a 3

14

15 18

u

u







10 26

u u u

u u





10 17

u u u

u u





8

u u

u u







60 1170







1 2 3

12 8

u u u

u u u







Bài 13:

a Giữa các số 7 và 35 hãy đặt thêm 6 số nữa để được một cấp số cộng

b Giữa các số 4 và 67 hãy đặt thêm 20số nữa để được một cấp số cộng

Bài 14:

a Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng là 27 và tổng các bình phương của chúng là 293

b Tìm 4 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng, biết tổng của chúng bằng 22 và tổng các bình phương của chúng bằng 66

Bài 15:

a Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng Tìm số đo các góc đó

b Số đo các góc của một đa giác lồi có 9 cạnh lập thành một cấp số cộng có công sai d 3o Tìm số

đo của các góc đó

c Số đo các góc của một tứ giác lồi lập thành một cấp số cộng và góc lớn nhất gấp 5 lần góc nhỏ nhất Tìm số đo các góc đó

Bài 16:

Người ta trồng 3003 cây theo một hình tam giác như sau: hàng thứ nhất có 1 cây, hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ ba có 3 cây, … Hỏi có bao nhiêu hàng?

Dạng 2: Tìm điều kiện để dãy lập thành cấp số cộng

Phương pháp: Ba số a b c, , theo thứ tự lập thành cấp số cộng   a c 2b

Bài 17: Tìm x để ba số 1x x; 2;1 theo thứ tự lập thành một cấp số cộng x

Bài 18: Tìm x để 3 số a, b, c lập thành một cấp số cộng, với:

a a10 3 ; x b2x23;c 7 4x b ax1; b3x2;cx2 1

Bài 19: Chứng minh rằng nếu 3 số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì các số x, y, z cũng

theo thứ tự lập thành một cấp số cộng, biết:

a.xb2bc c 2; yc2ca a 2;z a 2ab b 2

b xa2bc y; b2ca z c;  2ab

Bài 20: Tìm các nghiệm của phương trình x315x271x105 0 , biết rằng các nghiệm số phân biệt

và tạo thành một cấp số cộng

BÀI 4: CẤP SỐ NHÂN

 Tóm Tắt Lí Thuyết

1 Định nghĩa:  u n là cấp số nhân u n1u q n , *

n

  

Trong đó: Số q được gọi là công bội

2 Số hạng tổng quát: u n u q1 n1 với n  2

Trong đó: u là số hạng đầu, q là công bội 1

3 Tính chất: u k2 u k1.u k1 với k  2

4 Tổng n số hạng đầu tiên:  

1 1

1

1 1

víi víi

n

n

n

q











 Các Dạng Bài Tập

Dạng 1: Xác định cấp số nhân và yếu tố của cấp số nhân

Bài 21: Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân, biết:

72 144

u u

u u





90 240

u u

u u





65 325

u u u

u u





1 2 3

14

u u u

u u u







21

12







30 340

u u u u

u u u u







Bài 22:

a Giữa các số 160 và 5 hãy chèn vào 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân

b Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân

Bài 23: Tìm 3 số hạng liên tiếp của một cấp số nhân biết tổng của chúng là 19 và tích là 216

Bài 24:

a Tìm số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng công bội là 3, tổng số các số hạng là 728 và số

hạng cuối là 486

b Tìm công bội của một cấp số nhân có số hạng đầu là 7, số hạng cuối là 448 và tổng số các số hạng

là 889

Bài 25:

a Tìm 4 góc của một tứ giác, biết rằng các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối gấp 9 lần góc thứ hai

b Độ dài các cạnh của ABC lập thành một cấp số nhân Chứng minh rằng ABC có hai góc không quá 60o

Bài 26: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, trong đó số hạng thứ hai nhỏ hơn số hạng thứ

nhất 35, còn số hạng thứ ba lớn hơn số hạng thứ tư 560

Bài 27: Số số hạng của một cấp số nhân là một số chẵn Tổng tất cả các số hạng của nó lớn gấp 3 lần tổng các số hạng có chỉ số lẻ Xác định công bội của cấp số đó

Bài 28: Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là 148

9 , đồng thời, theo thứ

tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng

Bài 29: Tìm 3 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng khi tăng số thứ hai thêm 2 thì các số đó tạo thành một cấp số cộng, còn nếu sau đó tăng số cuối thêm 9 thì chúng lại lập thành một cấp số nhân

Bài 30: Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba số sau là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữa bằng 24

Dạng 2: Tìm điều kiện để dãy lập thành cấp số nhân

Bài 31: Tìm x y, biết các số x5 ; 5y x2 ;8y xy lập thành cấp số cộng và các số y1 ;2 xy1;x12 lập thành cấp số nhân

Bài 32: Tìm các số dương a và b sao cho a a, 2 , 2b a b lập thành một cấp số cộng và

b1 ;2 ab5;a12 lập thành một cấp số nhân

Bài 33: Chứng minh rằng nếu 3 số 2 ;1; 2

yx y yz lập thành một cấp số cộng thì 3 số x y z lập thành , , một cấp số nhân

BÀI TẬP LÀM THÊM VÀ MỞ RỘNG Bài 34: Tính tổng : S1.2 2.3 (   n n1)

Bài 35: Dãy số ( )u n xác định bởi công thức: 1

1

1

u

u  u









với n  Chứng minh dãy số tăng bằng 1 phương pháp quy nạp

Bài 36: Cho dãy số (u n) xác định bởi:

4

5

1 

2

1

1







n n

u

a Bằng phương pháp quy nạp, chứng minh với mọi n1 ta có 1

2

1

1 

 n

n

b Chứng minh rằng dãy số (u n) là dãy giảm và bị chặn

Bài 37: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u n)với:

4

n

n

Bài 39: Cho dãy số (u n) xác định bởi u  và 1 2 u n1 u n với mọi 2 n  Chứng minh 1 u  với n 2 mọi n  Có nhận xét gì về dãy số này ? 1

Bài 40: Cấp số cộng:

a Cho một cấp số cộng biết tổng ba số hạng đầu tiên bằng 6 và tổng các bình phương của chúng bằng 30 Hãy tìm cấp số cộng đó

b Cho phương trình x4–(3m4)x2 (m1)2 0 Định m dể phương trình có bốn nghiệm phân

biệt lập thành một cấp số cộng

c Cho các số a b c thoả mãn , , 1 , 1 , 1

a b a c b c tạo thành một cấp số cộng Chứng minh rằng

2, 2, 2

a b c cũng tạo thành một cấp số cộng

d Nếu số thứ p , thứ q và thứ r của một cấp số cộng lần lượt là , , a b c Chứng minh rằng:

( – ) ( – ) ( – ) 0

e Cho hai cấp số cộng lần lượt có tổng n số hạng là S n 7n1 và T n 4n7 Tìm tỉ số 11

11

u

v của 2

số hạng thứ 11 của hai cấp số đó

Bài 41: Cấp số nhân:

a Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số nhân, biết số hạng thứ hai là 16 và tổng ba số hạng đầu bằng 56

b Một cấp số nhân (u n)có 5 số hạng, biết công bội 1

4

q  và u1u4 24 Tìm các số hạng của cấp số

nhân này

Bài 42:

a Các số x6 , 5y x2 , 8y xy, theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng Đồng thời x1, y2, x3y

theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân Hãy tìm x và y

b Cho ba số có tổng bằng 28 lập thành cấp số nhân Tìm cấp số nhân đó biết nếu số thứ nhất giảm 4 thì ta được 3 số lập thành cấp số cộng

c Tìm hai số a và b biết ba số 1;a8;b theo thứ tự lập thành một cấp số cộng và ba số 1, , a b theo thứ tự lập thành một cấp số nhân

d Ba số có tổng là 217 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một CSN, hoặc là các số hạng thứ 2 , thứ

9 và thứ 44 của một CSC Hỏi phải lấy bao nhiêu số hạng đầu của CSC để tổng của chúng là 280?

e Một CSC và một CSN có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của CSC lớn hơn số hạng thứ 2 của CSN là 10, còn các số hạng thứ 3 bằng nhau Tìm các cấp số ấy?

Bài 43: Cho dãy số  u n với 2 5

n n

u  

S

Bài 44: Cho dãy số  u n , kí hiệu tổng n số hạng đầu tiên của nó là S , được xác định n

2

3

S n  

a Tính u u u 1, 2, 3

b Chứng minh dãy số trên là một cấp số cộng và xác định số hạng tổng quát của nó