Bài 3 Cấp số cộng A Các câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số Biết bốn số hạng đầu của một dãy số là 1, 3, 7, 11 Từ đó chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng c[.]
Trang 1Bài 3: Cấp số cộng
A Các câu hỏi hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số: Biết bốn số hạng đầu của một
dãy số là -1, 3, 7, 11 Từ đó chỉ ra một quy luật rồi viết tiếp năm số hạng của dãy
theo quy luật đó
Năm số hạng tiếp của dãy theo quy luật đó là: 15; 19; 23; 27; 31
Hoạt động 2 trang 93 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho (un) là một cấp số cộng có
Hoạt động 3 trang 94 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mai và Hùng chơi trò xếp các
que diêm thành hình tháp trên mặt sân Cách xếp được thể hiện trên Hình 42
Hỏi: Nếu tháp có 100 tầng thì cần bao nhiêu que diêm để xếp tầng đế của tháp?
Lời giải:
Xây 1 tầng cần 2 que diêm để xếp tầng đế Xây 2 tầng cần 4 que diêm để xếp tầng đế (4 = 2 + 1.2) Xây 3 tầng cần 6 que diêm để xếp tầng đế (6 = 2 + 2.2) Xây 100 tầng cần 200 que diêm để xếp tầng đế (200 = 2 + 99.2)
Hoạt động 4 trang 96 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cấp số cộng gồm tám số hạng
-1, 3, 7, 1-1, 15, 19, 23, 27 được viết vào bảng sau:
Trang 2Bài tập 1 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số (un) sau đây, dãy
số nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nó
un+1 – un = 3 – 3 = 3 3 – 3 = 2.3Vậy (un) không là cấp số cộng
Cách khác:
un = 3n suy ra u1 = 3 Giả sử n 1 , xét hiệu sau:
un+1 – un = 3n+1 – 3n = 3 3n – 3n = 2.3n
un – un-1 = 3n – 3n-1 = 3 3n-1 = (3 – 1).3n-1 = 2.3n-1 Suy ra un 1+ – unu – un n 1− (vì 3n3n 1−, ) nVậy (un) không là cấp số cộng
Trang 3của cấp số cộng
Bài tập 3 trang 97 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các bài toán về cấp số cộng,
ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un, Sn
a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó Cần phải biết ít nhất mấy đại
lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống:
120 15.u= +105 −4
Suy ra u15 = u1 + 14d = 36 + 14.(−4) = −20 Dòng 3: Biết u1 = 3; d = 4
27; un = 7 Tìm n và tính Sn
Ta có u = u + (n − 1)d
Trang 4Bài tập 4 trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Mặt sàn tầng một của một ngôi nhà
cao hơn mặt sân 0,5 m Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc
cao 18 cm
a) Viết công thức để tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân
b) Tính độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân
Lời giải:
a) Mỗi bậc thang cao 18cm = 0,18m
Suy ra n bậc thang cao 0,18n (m)
Vì mặt sàn cao hơn mặt sân 0,5 m nên công thức tính độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân sẽ là :
hn = 0,5 + 0,18n b)Độ cao của sàn tầng hai so với mặt sân ứng với n = 21 là:
h21 = 0,5 + 0,18.21 = 4,28 (m)
Bài tập 5 trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ
đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng số giờ?
Lời giải:
Lúc 1 giờ đồng hồ đánh 1 tiếng chuông
Lúc 2 giờ đồng hồ đánh 2 tiếng chuông
Lúc 12 giờ trưa đồng hồ đánh 12 tiếng chuông
Do đó, từ 0 giờ đến 12 giờ trưa, đồng hồ đánh số tiếng chuông là:
S = 1 + 2 + 3 + + 12 Đây là tổng của 12 số hạng của cấp số cộng có u1 = 1, u12 = 12
Trang 5Bài 4: Cấp số nhân
A Các câu hỏi hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 98 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tục truyền rằng nhà vua Ấn Độ
cho phép người phát minh ra bàn cờ Vua được lựa chọn một phần thưởng tùy theo
sở thích Người đó chỉ xin nhà vua thưởng cho số thóc bằng số thóc được đặt lên
64 ô của bàn cờ như sau: Đặt lên ô thứ nhất của bàn cờ một hạt thóc, tiếp ô thứ hai
hai hạt, … cứ như vậy, số hạt thóc ở ô sau gấp đôi số hạt thóc ở ô trước cho đến ô
Hoạt động 4 trang 101 SGK Toán lớp 11 Đại số: Tính tổng số các hạt thóc ở 11
ô đầu của bàn cờ nêu ở hoạt động 1
Trang 61 13
u 1 qS
1
3
+ +
.25
Trang 7n
1u
Trang 82 1
Bài tập 4 SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Tìm cấp số nhân có sáu số hạng,
biết rằng tổng của năm số hạng đầu là 31 và tổng của năm số hạng sau là 62
u 1 qS
Bài tập 5 SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là
1,4% Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là 1,8 triệu người Hỏi với mức tăng như
vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?
Vậy nếu N = 1,8 triệu người
Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì:
Sau 5 năm số dân của tỉnh là
Trang 9Vậy sau 10 năm số dân của tỉnh là u11 101, 4 1,8 2,1
100
Bài tập 6 SGK trang 104 Toán lớp 11 Đại số: Cho hình vuông C1 có cạnh bằng
4 Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các
điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (h.44) Từ hình vuông C2 lại
tiếp tục như trên để được hình vuông C3,… Tiếp tục quá trình trên, ta nhận được
Ta tính cạnh hình vuông an+1 như sau:
Xét tam giác BEF vuông tại B có:
Trang 10Ôn tập chương 3 Bài tập 1 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng,
dãy số giảm?
Lời giải:
Xét cấp số cộng (un) với un+1 = un + d,
Ta có: un+1 - un = d
Nếu d > 0 thì un+1 > un, n *, khi đó (un) là dãy số tăng
Nếu d < 0 thì un+1 < un, n *, khi đó (un) là dãy số giảm
Bài tập 2 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân có u 1 < 0 và công bội q
Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau:
Vậy nếu q < 0, u < 0 thì các số hạng thứ chẵn dương và các số hạng thứ lẻ âm
Bài tập 3 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số cộng có cùng số số hạng
Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số cộng không? Vì sao?
Cho một ví dụ minh họa
Xét dãy (an) với an = un + vn
Ta có: an + 1 – an = (un + 1 + vn + 1) – (un + vn)
= (un+1 – un ) + (vn+1 - vn)
= d1 + d2 = const Vậy (an) là cấp số cộng có số hạng đầu là a1 = u1 + v1 và công sai là d1 + d2
Ví dụ:
1, 3, 5, 7, là cấp số cộng có u1 = 1 và d1 = 2
0, 5, 10, 15, là cấp số cộng có v1 = 0 và d2 = 5 Suy ra (an): 1, 8, 15, 22, là cấp số cộng có
a1 = 1 + 0 = 1 và d = d1 + d2 = 2 + 5 = 7
Bài tập 4 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho hai cấp số nhân có cùng số các số
hạng Tích các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì
sao? Cho một ví dụ minh họa
Trang 111, 2, 4,… là cấp số nhân có công bội q1 = 2
3, 9, 27,… là cấp số nhân có công bội q2 = 3
Suy ra: 3, 18, 108 là cấp số nhân có công bội: q = q1.q2 = 2.3 = 6
Bài tập 5 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi n *, ta
Vậy 3n3 + 15n chia hết cho 9 với mọi n *
Bài tập 6 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Cho dãy số (u n), biết u 1 = 2, u n +1 = 2u n−
1 (với n 1 )
a) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy
b) Chứng minh u n= 2n –1 + 1 bằng phương pháp quy nạp
Ta chứng minh công thức cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là ta phải chứng minh:
uk+1 = 2(k+1)−1 + 1 = 2k + 1
Trang 12Ta có: uk+1 = 2uk – 1 = 2(2 + 1) – 1 = 2.2 + 2 – 1 = 2 + 1 (điều phải chứng
minh)
Vậy un = 2n−1 + 1 với mọi n *
Bài tập 7 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng giảm và bị chặn của các
Vậy un là dãy số bị chặn dưới
Khi n càng lớn thì un càng lớn nên un là dãy số không bị chặn trên
Vậy un là dãy số tăng và bị chặn dưới
Trang 13Suy ra un 1 1
Suy ra un là là dãy số bị chặn trên
Vậy un là là dãy số giảm và bị chặn
Bài tập 8 trang 107 Toán lớp 11 Đại số: Tìm số hạng đầu u 1 và công sai d của các
6 1
2 2 1
Trang 14Bài tập 10 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Tứ giác ABCD có số đo (độ) của các
góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D Biết rằng góc C gấp 5 lần
góc A Tính các góc của tứ giác
Lời giải:
Theo giả thiết ta có: A, B, C, D là một cấp số cộng và C 5A=
Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: d
Bài tập 11 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Biết rằng ba số x, y, z lập thành một cấp
số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng Tìm công bội của cấp số nhân
q 1
q3
=
+ =
2.xq – x = 3.xq2 – 2.xq x(2q – 1) = x.(3q2 – 2q) x.(3q2 – 4q + 1) = 0 Nếu x = 0 suy ra y = z = 0 Suy ra q không xác định (loại)
Trang 15Nếu x 0 thì 3q2 – 4q + 1 = 0
q 11q3
Vậy cấp số nhân có công bội q = 1 hoặc q 1
3
=
Bài tập 12 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Người ta thiết kế một cái tháp gồm 11
tầng Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt trên của tầng
ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng một bằng nửa diện tích đế tháp
Biết diện tích mặt đế tháp là 12288 m2 Tính diện tích mặt trên cùng
Theo giả thiết diện tích của bề mặt trên mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của
tầng ngay bên dưới
Do đó (Sn) là cấp số nhân có số hạng đầu S1 = 6144 m2 công bội q 1
2
= Diện tích tầng 11 là
10 10
Trang 16Bài tập 15 trang 108 Toán lớp 11 Đại số: Hãy cho biết dãy số (un) nào dưới đây
là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát un của nó là:
kết quả đúng trong các kết quả sau:
(A) x = −6; y = −2 (B) x = 1; y = 7 (C) x = 2; y = 8 (D) x = 2; y = 10
Trang 17Bài tập 17 trang 109 Toán lớp 11 Đại số: Cho cấp số nhân −4, x, −9 Hãy chọn
đáp án đúng trong các kết quả sau:
truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân:
uuu
Trang 18Chọn đán án B
Bài 1: Phương pháp quy nạp toán học
A Câu hỏi hoạt động trong bài Hoạt động 1 trang 80 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét hai mệnh đề chứa biến P(n):
“3n < n + 100” và Q(n): “2n > n” với n * a) Với n = 1, 2, 3, 4, 5 thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
b) Với n * thì P(n), Q(n) đúng hay sai?
Lời giải:
a) Với n = 1 thì P(1): “31 < 1 + 100” đúng, Q(1): “21 > 1” đúng
Hoạt động 2 trang 81 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n *
Trang 19Hoạt động 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hai số 3n và 8n với n *
Giả sử bất đẳng thức đúng với n= , nghĩa là: 3k 3 k > 8k
Ta phải chứng minh rằng bất đẳng thức cũng đúng với n = k + 1, tức là:
3k+1 > 8(k + 1) Thật vậy, từ giả thiết quy nạp ta có: 3k+1 = 3k.3 > 8k.3 = 24k = 8k + 16k Với k suy ra 16k 16.3 48 83 =
Suy ra 3k+1 > 8k + 8 = 8(k + 1) Vậy bất đẳng thức đúng với mọi n 3
B Bài tập Bài tập 1 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n *, ta có các đẳng thức:
Trang 20Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, hệ thức (1) đúng với mọi n *
+
−
=Thật vậy, từ giả thiết quy nạp, ta có:
− +
2
+ +
−
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (2) đúng với mọi n *
S = 12 + 22 + 32 + … + k2 + (k + 1)2 = S + (k + 1)2
Trang 21( )( ) ( )2
k k 1 2k 1
k 16
Vậy theo nguyên lí quy nạp toán học, hệ thức (3) đúng với mọi n *
Bài tập 2 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với n * ta có:
Đặt Sn = 4n + 15n – 1 Với n = 1, S1 = 41 + 15.1 – 1 = 18 nên S 91
k
n= k 1,S = 4 +15k 1 9−
Ta phải chứng minh Sk 1+ 9
Trang 22Vậy n3+11n n n – 1 n 1= ( )( + +) 12n 6 với mọi n *
Bài tập 3 trang 82 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng với mọi số tự
nhiên n2, ta có các bất đẳng thức:
a) 3n > 3n + 1
Trang 23Bài tập 4 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho tổng
b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp
Ta sẽ chứng minh đẳng thức (1) bằng phương pháp quy nạp
Trang 24Vậy đẳng thức (1) đã được chứng minh
Bài tập 5 trang 83 SGK Toán lớp 11 Đại số: Chứng minh rằng số đường chéo
của một đa giác lồi n cạnh là n(n 3)
2
−
Xét đa giác lồi k + 1 cạnh
Đa giác k cạnh A1A2 Ak có k k( 3)
2
− đường chéo (giả thiết quy nạp) Nối Ak + 1với các đỉnh A2, ,Ak−1, ta được thêm k − 2 đường chéo
Ngoài ra A1Ak cũng là một đường chéo
Vậy số đường chéo của đa giác k + 1 cạnh là
Vậy bài toán đã được chứng minh
Trang 25Bài 2: Dãy số
A Các câu hỏi hoạt động trong bài
Hoạt động 1 trang 85 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho hàm số
Hoạt động 3 trang 86 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu và số
hạng tổng quát của các dãy số sau:
a) Dãy nghịch đảo của các số tự nhiên lẻ;
b) Dãy các số tự nhiên chia cho 3 dư 1
Số hạng tổng quát của dãy số: 3n + 1 (n )
Hoạt động 4 trang 87 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết mười số hạng đầu của dãy
Phi-bô-na-xi
Lời giải:
Mười số hạng đầu của dãy Phi-bô-na-xi là: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55
Hoạt động 5 trang 88 SGK Toán lớp 11 Đại số: Cho các dãy số (un) và (vn) với
Trang 26Bài tập 1 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Viết năm số hạng đầu của các dãy
số hạng tổng quát un cho bởi công thức
a) un nn
=
−b)
=+
4u
Trang 27a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un = 3n – 4
Do u1 = – 1 = 3.1 – 4 nên (*) đúng với n = 1 Giả sử (*) đúng với n k,k 1= , tức là chứng minh uk+1 = 3(k + 1) – 4 Thật vậy, từ giả thiết un+1 = un + 3, suy ra:
uk+1 = uk + 3 = 3k – 4 + 3 = (3k + 3) – 4 = 3(k + 1) – 4 Hay uk+1 = 3(k + 1) – 4
Do đó (*) đúng với n = k + 1 Vậy hệ thức đúng với mọi n *
Bài tập 3 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Dãy số (un) cho biết:
2
u =3, u+ = 1 u , n 1+ a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức đó bằng
Trang 28Vậy năm số hạng đầu của dãy số là: u1 = 3, u2= 10, u3= 11,u4= 12,
Từ trên ta dự đoán un= n+ , với n8 *(1)
Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp:
Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1
Vậy công thức (1) được chứng minh
Bài tập 4 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Xét tính tăng, giảm của các dãy số
1
Trang 29Vậy (un) là dãy số giảm
Bài tập 5 trang 92 SGK Toán lớp 11 Đại số: Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn?
a) un = 2n2 – 1
=+c) un 21
=
−d) un = sin n + cos n
Lời giải:
a) Ta có n 1 suy ra n2 suy ra 1 2n2 2Suy ra 2n2− 1 1
Suy ra un 1, n *
Do đó (un) bị chặn dưới bởi 1 Ngoài ra (un) không bị chặn trên vì không tồn tại số M nào để
2
2n − 1 M, n * b) Dễ thấy un 0, n *
Trang 30Suy ra − 2sin n+cos n 2, n *
Vậy − 2un 2 n *, tức là dãy số là dãy số bị chặn