Đại 11 chương 3 dãy số cấp số cộng cấp số nhân

Chứng minh rằng nếu trong túi có một số tiền nguyên nghìn không ít hơn 8000 đồngthì luôn luôn có thể tiêu hết bằng cách mua vé xổ số loại 5000 đồng và 3000 đồng.. 2 SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ •

• 4n+ 15n − 1 chia hết cho 9, với mọi số tự nhiên n.

b) 42n− 32n− 7 chia hết cho 84, với mọi n ∈ N∗

Ví dụ 3 Chứng minh với mọi n nguyên dương thì:

| Dạng 4 Phương pháp quy nạp trong một số bài toán khác và toán

tổng hợp

Các bài toán có thể sử dụng phương pháp quy nạp rất phong phú đa dạng và có nhiều bài toánkhó Một dấu hiệu để sử dụng phương pháp quy nạp là đề toán có liên quan đến các tập số tựnhiên, tập số nguyên

ccc BÀI TẬP DẠNG 4 ccc

Ví dụ 1 Chứng minh rằng nếu trong túi có một số tiền nguyên (nghìn) không ít hơn 8000 đồngthì luôn luôn có thể tiêu hết bằng cách mua vé xổ số loại 5000 đồng và 3000 đồng

Ví dụ 2 Với n = 1, 2, , kí hiệu n! = 1.2 n (đọc là n giai thừa) Chứng minh rằng với n là

số nguyên dương thì (4n)! chia hết cho 24n

a) 1, 2, 3, 4, (dãy các số nguyên dương).

b) 2, 4, 6, 8, (dãy các số nguyên dương chẵn)

c) 0, 1, 4, 9, 16, 25, (dãy các số là bình phương của các số tự nhiên)

d) 10, 10, 10, 10,

e) 1, −1, 1, −1, 1, −1,

2 SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ

• Các số trong một dãy gọi là số hạng

• Số hạng đầu tiên ký hiệu là u1, số hạng thứ 2 là u2, thứ 3 là u3, (các ký hiệu có thể thay đổi)

• Một dãy số có dạng tổng quát là u1, u2, u3, u4,

3 SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

• Số hạng thứ n (bất kỳ) của một dãy là un còn gọi là số hạng tổng quát

• Số hạng tổng quát cho ta một công thức để tính được bất kỳ số hạng nào trong dãy bằng cáchthay n bằng thứ tự của số hạng cần tính

! b) Cần lưu ý phân biệt hai khái niệm: dãy số và số hạng tổng quát của dãy số, trong đó kýa) Một dãy số có thể có vô số số hạng hoặc hữu hạn số hạng.

hiệu dãy số “có dấu ngoặc” và ký hiệu số hạng tổng quát “không có dấu ngoặc”

Ví dụ 2 (un) là dãy số có số hạng tổng quát là un

4 CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT DÃY SỐ

Có ba cách cho (cách xác định) một dãy số:

• Cách 1: Liệt kê vài số hạng đầu: u1, u2, u3, u4,

• Cách 2: Cho quy tắc tính un, dãy được ký hiệu là (un)

• Cách 3: Cho kiểu “truy hồi”: Cho vài số hạng đầu và một hệ thức giữa un và các số hạngđứng trước nó hay sau nó

Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n ∈ N∗ ta có un < un+1

Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu với mọi n ∈ N∗ ta có un > un+1

6 DÃY SỐ BỊ CHẶN

Định nghĩa

• Dãy số (un) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

| Dạng 1 Dự đoán công thức và chứng minh quy nạp công thức tổng

quát của dãy số

Phương pháp:

• Tìm vài số hạng đầu (u1, u2, u3, u4)

• Từ các giá trị u1, u2, u3, u4 dự đoán công thức tính un

• Chứng minh un đúng ∀n ≥ 1 bằng phương pháp quy nạp

ccc BÀI TẬP DẠNG 1 ccc

Ví dụ 1 Cho dãy số (un) được xác định bởi un = n

2+ 3n + 7

n + 1 .a) Viết năm số hạng đầu của dãy

b) Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên

Ví dụ 2 Cho dãy số (un) xác định bởi:

(

u1 = 1

un = 2un−1+ 3 ∀n ≥ 2.a) Viết năm số hạng đầu của dãy

Ví dụ 4 Cho dãy số (un) với u1 = 1

un+1 = un+ (−1)2n Tìm công thức số hạng tổng quát un củadãy và chứng minh bằng phương pháp quy nạp

Ví dụ 5 Cho dãy số (un) biết:

u1 = 10, un+1= 2una) Tính u2, u3, u4, u5

b) Dùng quy nạp để chứng minh un = 10.2n−1, ∀n ≥ 1

Ví dụ 6 Cho dãy số (un) có u1 = 3 và un+1= un+ 5 với mọi n ≥ 1

a) Tìm 5 số hạng đầu của dãy số trên

b) Dự đoán công thức và chứng minh quy nạp công thức tổng quát của dãy số trên

Ví dụ 7 Cho dãy số (un), được xác định bởi un= 2n + 1

3n với n ≥ 1a) Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy

a) Chứng minh: u2

n− 2v2

n= 1 và un−√2vn =Ä√2 − 1ä2

nvới ∀n ≥ 1

b) Tìm công thức tổng quát của hai dãy (un) và (vn)

| Dạng 2 Xét sự tăng giảm của dãy số

a) Phương pháp 1: Xét dấu của hiệu số un+1− un

• Nếu un+1− un> 0, ∀n ∈ N∗ thì (un) là dãy số tăng

• Nếu un+1− un< 0, ∀n ∈ N∗ thì (un) là dãy số giảm

b) Phương pháp 2: Nếu un> 0, ∀n ∈ N∗ thì ta có thể so sánh thương un+1

Ví dụ 5 Xét sự tăng giảm của dãy số (un) với un = (−1)n

Ví dụ 6 Xét tính tăng giảm của dãy số (un) với un=√

n −√

n + 3

| Dạng 3 Xét tính bị chặn của dãy số

• Để chứng minh dãy số (un) bị chặn trên bởi M , ta chứng minh un≤ M, ∀n ∈ N∗

• Để chứng minh dãy số (un) bị chặn dưới bởi m, ta chứng minh un ≥ m, ∀n ∈ N∗

• Để chứng minh dãy số bị chặn ta chứng minh nó bị chặn trên và bị chặn dưới

• Nếu dãy số (un) tăng thì bị chặn dưới bởi u1

• Nếu dãy số (un) giảm thì bị chặn trên bởi u1

Ví dụ 4 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 0 và un+1 = 1

2un+ 4, ∀n ≥ 1.

a) Chứng minh dãy (un) bị chặn trên bởi số 8

b) Chứng minh dãy (un) tăng, từ đó suy ra dãy (un) bị chặn

Ví dụ 5 Cho dãy số (un) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = un+ 2

un+ 1, ∀n ≥ 1 Chứng minh rằng dãy(un) bị chặn trên bởi số 3

2 và bị chặn dưới bởi số 1.

Để chứng minh dãy số (un) là một cấp số cộng ta chứng minh un+1 = un + d với n ∈ N∗ hoặc

un+1− un= d với d là số không đổi

Đặc biệt: Để chứng minh ba số a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng ta có thể chứng minh

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC có số đo ba góc lập thành một cấp số cộng và một góc có số đobằng 25◦ Tính số đo hai góc còn lại.

Ví dụ 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2x3− 18x2+ mx − 6 = 0 có banghiệm phân biệt tạo thành một cấp số cộng

§4 CẤP SỐ NHÂN

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA CẤP SỐ NHÂN

Định nghĩa Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai trở

đi, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng liền trước với một số không đổi q Số không đổi q đóđược gọi là công bội của cấp số nhân Từ định nghĩa, ta có: Nếu (un) là một cấp số nhân với công bội

q, ta có công thức truy hồi un+1 = un.q, n ∈ N∗

!

Đặc biệt

a) Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).b) Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, 0, , 0,

c) Khi u1 = 0 thì với mọi q cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, , 0,

Định lí 1 Số hạng tổng quát của cấp số nhân

Nếu cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi côngthức: un= u1qn−1, ∀n ≥ 2

Hệ quả 1 Cho cấp số nhân (un) với các số hạng khác 0 Khi đó ta có:

! Một cách tổng quát, ta có: Nếu (un) là cấp số nhân thì u2m = um−k.um+k, k < m

Định lí 3 Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân

Cho một cấp số nhân (un) với công bội q 6= 1 Đặt Sn = u1+ u2+ + un Khi đó:

| Dạng 1 Chứng minh một dãy số là cấp số nhân

a) Để chứng minh dãy số (un)là một cấp số nhân, chúng ta cần phải chỉ tồn tại một số khôngđổi q sao cho un+1 = un.q, ∀n ≥ 1

b) Trong trường hợp un 6= 0, ∀n ≥ 1 để chứng minh (un) là một cấp số nhân, chúng ta cầnphải chỉ ra tỷ số un+1

un là một số không đổi với mọi số nguyên dương n.

c) Để chỉ ra một dãy số không phải là cấp số nhân, chúng ta cần chỉ một dãy số gồm 3 sốhạng liên tiếp của dãy số đã cho mà không lập thành cấp số nhân

n.d) Dãy số (wn), với wn = 3

Ví dụ 2 Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân (un), biết :

(

u4 − u2 = 72,

u5− u3 = 144

Ví dụ 3 Cho cấp số nhân (un), biết u1+ u4 = 27; u2.u3 = 72 Tìm u7

Ví dụ 4 Cho cấp số nhân (un) với un = 12.2n−1

a) Tìm số hạng đầu u1 và công bội q

b) Tính tổng của 10 số hạng đầu tiên

Ví dụ 7 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số nhân (un), biết:





u1+ u2+ u3 = 21,1

Ví dụ 10 Tồn tại hay không một cấp số nhân mà trong đó có ba số hạng bằng 2, 3, 5 ?

| Dạng 3 Tính tổng liên quan cấp số nhân

2n+ 1

2n

ã2

| Dạng 4 Các bài toán về cấp số nhân có liên quan đến hình học

Để giải bài toán cấp số nhân liên quan hình học, ngoài vận dụng các tính chất của cấp số nhân,tính chất hình học thuần túy như vuông, cần vận dụng linh hoạt các hệ thức lượng trong tamgiác, các công thức lượng giác Ta chú ý các tính chất sau

a) Tổng các góc ở đỉnh đa giác lồi bằng 360◦

b) Định lí Cô-sin trong tam giác: Cho tam giác 4ABC với a = BC, b = AC, c = AB, ta có

| Dạng 6 Cấp số nhân liên quan đến nghiệm của phương trình

a) Định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba:

Nếu phương trình bậc ba ax3 + bx2 + cx + d = 0 có ba nghiệm x1, x2, x3 thì:

a là hằng số thì điều kiện cần để phương trình bậc ba nóitrên có ba nghiệm lập thành một cấp số nhân là x = 3

Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số a để phương trình x3 + x2+ 2ax + a = 0 có

ba nghiệm lập thành cấp số nhân

| Dạng 7 Phối hợp giữa cấp số nhân và cấp số cộng

Để làm các bài toán dạng này học sinh cần nằm vững và vận dụng linh hoạt định nghĩa và cáctính chất cấp số nhân và cấp số cộng

ccc BÀI TẬP DẠNG 7 ccc

Ví dụ 1 Tìm 4 số hạng đầu của một cấp số nhân, biết rằng tổng 3 số hạng đầu là 148

9 , đồngthời, theo thứ tự, chúng là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ tám của một cấp số cộng

Ví dụ 2 Tìm 4 số trong đó ba số đầu là ba số hạng kế tiếp của một cấp số nhân, còn ba sốsau là ba số hạng kế tiếp của một cấp số cộng; tổng hai số đầu và cuối bằng 32, tổng hai số giữabằng 24

| Dạng 8 Các bài toán thực tế liên quan cấp số nhân

ccc BÀI TẬP DẠNG 8 ccc

Ví dụ 1 Một khu rừng có trữ lượng gỗ là 4.105 mét khối Biết tốc độ sinh trưởng của các cây

ở khu rừng đó là 4% mỗi năm Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ

Ví dụ 2 Một người gửi số tiền 100 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 7% năm Biếtrằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốnban đầu (người ta gọi đó là lãi kép) Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền

ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau 10 năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhậnđược gần với số tiền nào trong các số tiền dưới đây?

Ví dụ 3 Một người gửi ngân hàng 150 triệu đồng theo thể thức lãi kép, lãi suất 0, 58% mộttháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi được tính theo phần trăm của tổng tiền lãi tháng trước đó vàtiền gốc của tháng trước đó) Sau ít nhất bao nhiêu tháng, người đó có 180 triệu đồng?

Ví dụ 4 Một của hàng kinh doanh, ban đầu bán mặt hàng A với giá 100 (đơn vị nghìn đồng).Sau đó, cửa hàng tăng giá mặt hàng A lên 10% Nhưng sau một thời gian, cửa hàng lại tiếp tụctăng giá mặt hàng đó lên 10% Hỏi giá của mặt hàng A của cửa hàng sau hai lần tăng giá là baonhiêu?

Ví dụ 5 Tỷ lệ tăng dân số của tỉnh M là 1, 2% Biết rằng số dân của tỉnh M hiện nay là 2 triệungười Nếu lấy kết quả chính xác đến hàng nghìn thì sau 9 năm nữa số dân của tỉnh M sẽ là baonhiêu?

§5 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Định nghĩa Dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |un| có thể nhỏ hơn một sốdương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

3 TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Định nghĩa Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q thoả mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi

vô hạn

Định lí 3 Cho cấp số nhân lùi vô hạn (un), ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là

u1

| Dạng 1 Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn

Để chứng minh lim un= L ta chứng minh lim (un− L) = 0

| Dạng 2 Tính giới hạn dãy số dạng phân thức

Tính giới hạn limf (n)

g (n) trong đó f (n) và g (n) là các đa thức bậc n.

• Bước 1: Đặt nk, ni với k là số mũ cao nhất của đa thức f (n) và i là số mũ cao nhất của

đa thức g (n) ra làm nhân tử chung

• Đơn giản Sau đó áp dụng kết quả lim 1

nk = 0

ccc BÀI TẬP DẠNG 2 ccc

| Dạng 3 Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa an

• Bước 1: Đưa biểu thức về cùng một số mũ n

• Bước 2: Chia tử và mẫu số cho an trong đó a là số có trị tuyệt đối lớn nhất

• Bước 3: Áp dụng kết quả "Nếu |q| < 1 thì lim qn = 1"

| Dạng 4 Dãy số dạng Lũy thừa - Mũ

! • lim un= +∞, lim vn= a > 0 ⇒ lim unvn= +∞;

• lim un= +∞, lim vn= a < 0 ⇒ lim unvn= −∞;

! • lim un= −∞, lim vn= a > 0 ⇒ lim unvn= −∞;

• lim un= −∞, lim vn= a < 0 ⇒ lim unvn= +∞

| Dạng 5 Giới hạn dãy số chứa căn thức

Ta thường gặp hai dạng sau:

Ví dụ 2 Tính giới hạn của dãy số sau: un=… 2n + 9

n + 2 , n ∈ N∗

§6 GIỚI HẠN HÀM SỐ

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa

Định nghĩa Cho khoảng K chứa điểm x0 và hàm số y = f (x) xác định trên K hoặc trên K \ {x0}

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x dần tới x0 nếu với dãy số (xn) bất kỳ, xn∈ K \ {x0}

Giới hạn một bên

Định nghĩa

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (x0; b)

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f (x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất

kì, x0 < xn< b và xn → x0, ta có f (xn) → L

Kí hiêu: lim

x→x+0

f (x) = L

• Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; x0)

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f (x) khi x → x0 nếu với dãy số (xn) bất

x2− 3 nếu x < 1.Tìm lim

2 GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Định nghĩa a) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞)

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và

xn→ +∞, ta có f (xn) → L

Kí hiệu: lim

x→+∞= L hay f (x) → L khi x → +∞

b) Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (−∞; a)

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là số L khi x → −∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn < a và

Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f (x) có giới hạn là −∞ khi x → +∞ nếu với dãy số (xn) bất kì, xn > a và

Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

a) Quy tắc tìm giới hạn của tích f (x).g(x)

Giả sử f (x) = (x − x0) · f1(x) và g(x) = (x − x0) · g1(x) Khi đó:

lim

x→x 0

f (x)g(x) = limx→x 0

Khử dạng vô định bằng cách nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp tương ứng của biểu thứcchứa căn thức để trục các nhân tử x − x0 ra khỏi các căn thức, nhằm khử các thành phần có giớihạn bằng 0 Lưu ý có thể nhân liên hợp một hay nhiều lần để khử dạng vô định

3x2+ 1.

Ví dụ 5 Tính giới hạn lim

x→−4

√2x + 9 − x − 53

| Dạng 2 Giới hạn dạng vô định

Dạng 1: I = lim

x→∞

P (x)Q(x) với P (x), Q(x) là đa thức hoặc các hàm đại số Phương pháp: Gọi p = deg P (x), q = deg Q(x) và m = min(p, q) Chia cả tử và mẫu cho

xm ta có kết luận (deg P (x) là bậc cao nhất của đa thức P (x))

+ Nếu p ≤ q thì tồn tại giới hạn

+ Nếu p > q thì không tồn tại giới hạn

Dạng 2: Giới hạn ∞ − ∞

Phương pháp sử dụng các biểu thức liên hợp đưa về dạng ∞

∞Dạng 3: Giới hạn 0.∞

Phương pháp sử dụng các biểu thức liên hợp đưa về dạng ∞

√8x3+ x2+ 1

| Dạng 3 Tính giới hạn hàm đa thức, hàm phân thức và giới hạn một

− ∞ nếu L và lim

x→x 0g(x) trái dấu

+ ∞ nếu lim

x→x 0g(x) = 0 và L · g(x) > 0

− ∞ nếu lim

x→x 0g(x) = 0 và L · g(x) < 0

§7 HÀM SỐ LIÊN TỤC

A TÓM TẮT LÍ THUYẾT

1 HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Định nghĩa Cho hàm số y = f (x) xác định trên khoảng K và x0 ∈ K Hàm số y = f (x) được gọi làliên tục tại x0 nếu lim

x→x 0

f (x) = f (x0)

! Hàm số y = f (x) không liên tục tại x0 được gọi là gián đoạn tại điểm đó

2 HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Định nghĩa Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên một khoảng nếu nó liên tục tại mọi điểmcủa khoảng đó

Định nghĩa Hàm số y = f (x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng(a; b) và lim

x→a +f (x) = f (a), lim

a) Hàm số đa thức liên tục trên toàn bộ tập số thực R

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) và các hàm số lượng giác liên tục trên từngkhoảng của tập xác định của chúng

Định lí 2 Giả sử y = f (x) và y = g(x) là hai hàm số liên tục tại điểm x0 Khi đó

a) Các hàm số y = f (x) + g(x), y = f (x) − g(x) và y = f (x).g(x) liên tục tại x0

b) Hàm số y = f (x)

g(x) liên tục tại x0 nếu g(x0) 6= 0.

! Nếu hàm số y = f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f (a)f (b) < 0 thì phương trình f (x) = 0 có ítnhất một nghiệm nằm trong khoảng (a; b).

B CÁC DẠNG TOÁN

| Dạng 1 Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f (x) xác định trên tập D Để xét tính liên tục của hàm số y = f (x) tại điểm

x0 ∈ D, ta thực hiện các bước sau:

2 − x nếu x 6= 2

1 nếu x = 2

tại điểm x0 = 2