174 đề hsg toán 8 2018 2019

Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương.. Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P.. Gọi Q là trung điểm của BP.. Chứng minh: QH là

PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

Mơn: Tốn 8 Thời gian: 120 phút (khơng kể thời gian phát đề) Khĩa thi: Ngày 2/05/2019

Bài 1 (6,0 điểm)

a Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 3 2

A = x  2019x  2019x 2018

b Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: x 2 y2  4x 2y  5 0

c Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1

 59

Bài 2 (4,0 điểm)

a Chứng minh a2 b2 c2  2abbcca với mọi số thực a, b, c

b Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương

x+5 x+7    9  11 + 16.

Bài 3 (3.0 điểm):

P

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P cĩ giá trị.

b) Rút gọn biểu thức P.

Bài 4 (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuơng tại A AC AB  Vẽ đường cao AH H BC  Trên tia đối của tia BC lấy điểm K sao cho KH = HA Qua K kẻ đường thẳng song song với AH, cắt đường thẳng AC tại P

a.Chứng minh: Tam giác ABC Đồng dạng với tam giác KPC

b Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK

Bài 5 (2.0 điểm):

Cho tam giác ABC cĩ A Bˆ  ˆ Trên cạnh BC lấy điểm H sao cho HACˆ ABCˆ Đường phân giác của gĩc BAHˆ cắt BH ở E Từ trung điểm M của AB kẽ ME cắt đường thẳng AH tại

F Chứng minh rằng: CF // AE

Hết

\

Đề chính thức

ĐÁP ÁN

Câu 1: a Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: A = x 3  2019x2  2019x 2018

A = x  2019x  2019x 2018

A = x   1 2019(x  x 2019)

A = (x - 1)(x  x 1) 2019(  x  x 1)

A = x  x 1 (x  1 2019)

2

A = (x + x + 1 )(x 2018)

b Tìm các giá trị x và y thỏa mãn: 2 2

x y  4x 2y  5 0

2 2 4 2 5 0 ( 2 4 4) ( 2 2 1) 0

x  y  x y   x  x  y  y 

(x 2) (y 1) 0

2

x

  và y 1

c Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì : A = 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1

 59

5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1 = 25.5 n + 26.5 n + 8.8 2n = 5 n (59 – 8) + 8.64 n = 59.5 n + 8(64 n – 5 n )

59.5 n

 59 và 8(64 n – 5 n )  (64 – 5) = 59

vậy 5 n+2 + 26.5 n + 8 2n+1

 59 Câu 2:

a Chứng minh a2 b2 c2  2abbcca với mọi số thực a, b, c

Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên ta cĩ:

0 a b c    a2 ab ca ; 0 b c a    b2 bc ab

0 c a b    c2 ca bc

Do đĩ, suy ra: a2 b2 c2  2(ab bc ca  )

b Chứng minh rằng với mọi số nguyên x thì biểu thức P một số chính phương

Ta cĩ: Px+5 x+7   x 9 x 11 + 16.

( 5)( 11)( 7)( 9) + 16.

( 16 55)( 16 63)+ 16.

( 16 55) 8( 16 55)+ 16.

( 16 55) 2( 16 55).4+ 4

( 16 59)

    Vơi x là số nguyên thì P là một số CP

Bài 4 (3.0 điểm):

P

a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P cĩ giá trị.

b) Rút gọn biểu thức P

a) Tìm điều kiện đúng: x 0; x 1; x 2; x 3; x 4; x 5

b) Rút gọn đúng:

P

=x11 1x   x12 x11   x13 x12   x14 x13   x15 x14

 

x x x x

Câu 4

1

1

Q

I

K

H

B

P

Chứng minh:



ABC



KPC ( G.G)

b Gọi Q là trung điểm của BP Chứng minh: QH là đường trung trực của đoạn thẳng AK

Ta có:

2

PB

Lại có: HK HA (Giả thiết) Do đó: QH là đường trung trực của AK

5

(2đ)

Ta có: CEA B BAE HAC EAH CAEˆ  ˆ ˆ  ˆ  ˆ  ˆ

 CAEcân ở C  CA = CE (1)

0,5đ Qua H kẽ đường thẳng song song với AB cắt MF ở K Ta có:

BE MB MA FA (2)

AE là phân giác của ABH BE AB (3)

EH AH

đ

CAH và CBA đồng dạng AB CA CE

AH CH CH

   (theo (1)) (4)

0,25 đ

Từ (2), (3), (4) FA CE

FH CH

FH CH   (đpcm) 0,5đ

S

S