8 điểm Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB có độ dài bằng 2 .a Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia , Ax By cùng vuông góc với AB.. Gọi I là giao điểm của AC và
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
HUYỆN TRỰC NINH
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN
NĂM HỌC 2018-2019 MÔN: TOÁN LỚP 8 Bài 1 (4 điểm)
Cho biểu thức :
:
P
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm giá trị nguyên lớn nhất của xđể P
có giá trị là một số nguyên
Bài 2 (3 điểm)
Giải phương trình sau:
2010 2010 2010 2010 2011
Bài 3 (3 điểm)
a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a b c− +b c a− +c a b− b) Cho a b,
thỏa mãn
2 2 8
a + ≤b
Chứng minh − ≤ + ≤4 a b 4
Bài 4 (8 điểm)
Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB
có độ dài bằng 2 a Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB
vẽ hai tia
,
Ax By
cùng vuông góc với AB Trên tia Axlấy điểm D bất kỳ, qua O vẽ hai dường thẳng vuông góc với DOtại O cắt By tại C
a) Chứng minh
2
BC AD a=
b) Chứng minh DOvà CO lần lượt là tia phân giác của ·ADC
và ·BCD
c) Vẽ OH ⊥CD H CD( ∈ )
Gọi I là giao điểm của AC và BD, E là giao điểm của AH và DO, F là giao điểm của BH và CO Chứng minh ba điểm E I F, , thẳng hàng
Trang 2d) Xác định vị trí của điểm D trên tia Axđể tích DO CO. có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 5 (2 điểm)
Cho hai số
,
x y
thỏa mãn điều kiện ( 2 2)2 2 2 2 2
x − y + x y +x − y =
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
A x= + y
Trang 3ĐÁP ÁN Bài 1.
a) Tìm được ĐKXĐ của P là :
5 0; 5;
2
x ≠ x ≠ ± x≠
2 2
:
:
5 2 5 2
P
+
b)
( )
5 2
5
x
−
¢
¢
¢
Ta có:
5 2 15
2
x
Vì x∈ ⇒ − ∈¢ x 5 U(15)= ± ± ± ±{ 1; 3; 5; 15}
Mà xlớn nhất nên x−5
lớn nhất Do đó x− = ⇔ =5 15 x 20
(thỏa mãn ( )*
) Vậy giá trị nguyên lớn nhất của x =20
để P
có giá trị là một số nguyên
Bài 2.
2010 2010 2010 2010 2011
(1)
Trang 4Ta có:
Điều kiện xác định của phương trình (1) là : x≠0
Ta có: x4 +x2 + =1 x4 +2x2 + −1 x2 =(x2 − +x 1)(x2 + +x 1)
Quy đồng mẫu hai vế và khử mẫu:
( )1 ⇒2010x x( +1) (x2 − + −x 1) 2010x x( −1) (x2 + + =x 1) 2011
2010 1 2010 1 2011
2010 1 1 2011
2011
2010 2 2011 ( )
4020
Bài 3.
a) a b c4( − +) b c a4( − +) c a b4( − =) a b c4( − −) b a c4( − +) c a b4( − )
3 2 2 3 3 2 2 3
2 2 2
a b c b a b b c c a b
a b c b a b b b c c a b
b c a b a b b c
b c a b a b a b a b b c b c b c
a b b c a ab a b b b bc b c c
a b b c a c a ac c b a c b a c a c
a b b c a c a b c ab bc ca
b) Ta có:
a b− ≥ ⇔a + ≥b ab
mà
2 2 8
a + ≤b
nên 2ab≤8
Trang 5( )2 2 2
2 8 8 16
a b dfcm
⇒ − ≤ + ≤
Trang 6Bài 4.
a) Chứng minh
·ADO BOC= ·
(cùng phụ với
· )
AOD
Chứng minh
BC OB
b) Chứng minh
OB OD
BC = OC
Từ đó chứng minh ∆ODC : ∆BOC c g c( )
Suy ra và kết luận CO là tia phân giác của ·BCD
Chỉ ra ∆ADO: ∆ODC
(cùng đồng dạng với
)
BOC
∆
Chứng minh DOlà tia phân giác của ·ADC
c) Chứng minh ∆
vuông OBC = ∆
vuông OHC (cạnh huyền – góc nhọn)
Trang 7CB CH
Chứng minh OClà đường trung trực HB
Tương tự chứng minh AD DH=
và OD là trung trực của HA
Chứng minh EF là đường trung bình ∆AHB⇒EF / /AB
Chỉ ra
/ / DE DH AD
EH OC
EO HC BC
/ / AD DI
AD BC
BC IB
Suy ra
DE DI
EO = IB
Áp dụng định lý Ta let đảo cho ∆DOB⇒EI / /OB
Theo tiên đề Oclit kết luận E I F, ,
thẳng hàng d) Chỉ ra 2S DOC =OC OD OH DC a DC. = . = .
nhỏ nhất
DC
⇔
nhỏ nhất ⇔DC ⊥ Ax⇔ ABCD
là hình chữ nhật⇔ AD BC CD AB= ; =
Mà
BC AD a= ⇔ AD =a ⇔ AD a=
Xét tam giác vuông AHB
có HOlà đường trung tuyến thuộc cạnh huyền 2
AB
Suy ra GTNN của OD OC. bằng
2
2a
khi và chỉ khi D Ax∈
và AD a= .
Bài 5.
2
2
2
Trang 8Ta có: 2 ( 2 2 )2 2 2
2 2
0
0
x
x y
=
Vậy
2
A
Vậy
2
0 max 2
2
x A
y
=