Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC a Chứng minh AD AB.. b Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì nữa để diện tích tứ giác AEHD bằng 1 2 diện tích tam giác ABC?. c Vẽ
Trang 1PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8
NĂM HỌC: 2018 – 2019 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (4,0 điểm)
1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) m x( 21) x m( 21)
b) (x2)(x3)(x4)(x5) 24
2 Cho
1
33 3 55 544 4
A
(nlà số tự nhiên lớn hơn 1) Chứng minh rằng A là số chính phương
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
6
x x x
b) Cho abc 1 Chứng minh
1
1 a ab1 b bc1 c ca
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
2
x x N
x
b) Cho ; ;x y z là các số không âm thoả mãn xyz Chứng minh rằng:1
P
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , trung tuyến AM Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC
a) Chứng minh AD AB. AE AC.
b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì nữa để diện tích tứ giác AEHD bằng
1
2 diện tích tam giác ABC?
c) Vẽ phân giác góc ACB cắt AM tại F và cắt AB tại GChứng minh 1
CF CB
FG CA
Bài 5: (2,0 điểm)
Sáu điểm phân biệt thuộc một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là 3cm và 4cm (Các điểm này có thể nằm trong hoặc trên cạnh của hình chữ nhật) Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong sáu điểm này mà bình phương khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 5cm
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 8 PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG
Năm học: 2018-2019 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (4,0 điểm)
1 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) m x( 21) x m( 21)
b) (x2)(x3)(x4)(x5) 24
1
33 3 55 544 4
n
A
(nlà số tự nhiên lớn hơn 1) Chứng minh rằng A là số chính phương
Lời giải
1 a) b) Học sinh phân tích mỗi bài đúng cho 1,0 điểm, phân tích không hết trừ 0,5 điểm
2 Đặt
11 1
9
n n
a
Ta có 10n 9a và 1
1 11 1
10
n
a
, suy ra:
2 2
1
10
a
a
Vì A lẻ nên
2
2
a
nguyên Suy ra A là số chính phương
Bài 2: (4,0 điểm)
a) Giải phương trình:
6
x x x
b) Cho abc 1 Chứng minh
1
1 a ab1 b bc1 c ca
Lời giải
Trang 31009 3 2017
0
0
1010 1011 1012 2019
a
x x
b) Vì abc 1 nên đặt
x a y
,
y b z
,
z c x
với ; ;x y z 0
Ta có
1
a ab b bc c ca
xy yz zx xy yz zx xy yz zx
Bài 3: (4,0 điểm)
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của
2 2
2
x x N
x
b) Cho ; ;x y z là các số không âm thoả mãn xyz Chứng minh rằng:1
P
Lời giải
a)
3 3
N
Dấu “=” xảy ra khi x 1 Vậy MinN = 3 khi x 1 b) Ta có:
2 2
(y1) z 1 2 yz2y2
2 2
(z1) x 1 2 zx2z2
Trang 4Hay
P
xy x yz y zx z
Dấu “=” xảy ra khi x y z 1
Bài 4: (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , trung tuyến AM Gọi D và E lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC
a) Chứng minh AD AB. AE AC.
b) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện gì nữa để diện tích tứ giác AEHD bằng
1
2 diện tích tam giác ABC?
c) Vẽ phân giác góc ACB cắt AM tại F và cắt AB tại GChứng minh 1
CF CB
FG CA
Lời giải
a) Ta có AEHD là hình chữ nhật nên góc ADE = góc AHE Mà góc AHE = góc C (vì
cùng phụ gócEHC)
Suy ra ADE đồng dạng với ACB (g-g) nên AD AB. AE AC.
b) Ta có
1 2
AEHD ABC
S S
nên
1 4
ADE ABC
S S
Suy ra
2
1 4
DE BC
Suy ra
1 2
DE
BC Suy ra DEAM Khi đó AH AM nghĩa là tam giác ABC vuông cân tại A
c) Kẻ GK/ /AM , ta có
CM CF
MK FG (1) (theo Talet)
BG BK
GA KM (2) (theo Talet)
Mặt khác lại có
BG CB
GA CA (3)
Trang 5Từ (2) và (3) ta có
BK CB
KM CA (4) Từ (1) và (4) lấy vế trừ vế ta có
1
CF CB CM BK CM BK
Bài 5: (2,0 điểm) Sáu điểm phân biệt thuộc một hình chữ nhật có độ dài các cạnh là 3cm và 4cm
(Các điểm này có thể nằm trong hoặc trên cạnh của hình chữ nhật) Chứng minh rằng luôn tồn tại hai điểm trong sáu điểm này mà bình phương khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 5cm
Lời giải
Chia hình chữ nhật đã cho thành 5 phần như hình vẽ Khi đó tồn tại 2 điểm trong 6 điểm nằm trong hoặc trên một hình Ta có khoảng cách lớn nhất của 2 điểm trong một hình theo định lí Pitago: Bình phương khoảng cách giữa hai điểm lớn nhất bằng 12 + 22 = 5 Vậy luôn tồn tại hai điểm mà khoảng cách giữa chúng nhỏ hơn hoặc bằng 5
= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =