19 hsg8 2018 xuyen moc

Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ.. Goi M là trung điểm cùa BC, AMcắt BDtai Q.. Tính diện tich tứ giácMQDC... Chứng minh rằng tổng của

PHÒNG GD&ĐT HUYỆN MỘC XUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8

NĂM HỌC: 2017 – 2018 Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (3,0 điểm)

Cho biểu thức:

1)Rút gọn biểu thức

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Bài 2: (4,5 điểm)

1) Phân tich đa thức thành nhân tử: x4 64

2)Giải phương trình:

x 58 x 162 x 151 x 110

0

3) Tim số dư trong phép chia đa thức P(x) (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 2015      cho

đa thứcQ(x) x 210x 21

Bài 3: (4,5 điểm)

1) Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn

1 1 1

3

a  b c  và 2

2 1

9

ab c 

Tinh giá tri biểu thứcM (a 3 b c)   2018

2)Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ

M

Hãy so sánh M với 1

Bài 4: (5,0 điểm)

Cho hinh thang cân ABCD(AB / /CD)và AB CD GọiM, N,P,Q lần lượt là trung điểm

CD,AB, DB,CA

1)Chứng minh NM là tia phân giác của PNQ

2)Tính số do các góc của tứ giác MPNQ,biết hinh thang cân ABCD co C D 50   

3)Chưng minh AC2BD2 AD2 BC22AB.CD

Bài 5: (3,0 điểm)

Cho hinh binh hành ABCD có diện tich 12dm2 Goi M là trung điểm cùa BC, AMcắt

BDtai Q Tính diện tich tứ giácMQDC

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =

ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MỘC XUYÊN

Năm học: 2017-2018 HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Bài 1: (3,0 điểm)

Cho biểu thức:

1)Rút gọn biểu thức

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A

Lời giải

2

3 2

:



1 A

2x 5x 4



  ( với x 1 )

2) Ta có

2

2x 5x 4 2 x

       

8 A

7

 

với mọi x Vậy

8 MaxA=

7 khi

5 x 4



Bài 2: (4,5 điểm)

1) Phân tich đa thức thành nhân tử: x464

2)Giải phương trình:

x 58 x 162 x 151 x 110

0

3) Tim số dư trong phép chia đa thức P(x) (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 2015      cho

đa thứcQ(x) x 2 10x 21

Lời giải

1) Ta có:

 2

x 64 x 8 2x 8 2 x 8   

x2 82 (4x)2 x2 4x 8 x  2 4x 8

2)

x 58 x 162 x 151 x 110

0

         

0

7 31 17 10

Vậy x100

3) Ta có (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 2008     x2 10x 16 x   210x 24 2015

2

x2 10x 212 2 x 2 10x 21 2000

Vậy dư của phép chia là 2000

Bài 3: (4,5 điểm)

1) Cho các số a,b,c khác 0 thỏa mãn

1 1 1

3

a  b c  và 2

2 1

9

ab c 

Tinh giá tri biểu thứcM (a 3 b c)   2018

2)Cho hai số chính phương liên tiếp Chứng minh rằng tổng của hai số đó cộng với tích của chúng là một số chính phương lẻ

M

Hãy so sánh M với 1

Lời giải

1)Từ

1 1 1

3

a  b c  và 2

2 1

9

ab c 

ta có

2

1 1 1

9

a b c

2

2

a b c ab c

      

a b c ab bc ca ab c

2 2

0

a c b c

       

a c b

     

Mà

a bc   c    3

Do đó M(a 3 b c)20 8 1  3c 2018 120181

2)

Gọi hai số chính phương liên tiếp đó làk và 2 (k 1) 2 Ta có: k2(k 1) 2k 2

(k 1) k k 2k 1 k  2k k k 2k 3k 2k 1  k k 1 [k(k 1) 1] 

là só chính phương lẻ

3)Ta có

M

    

Ta thấy:

2

1 1

2 1.2

2

3 2.3

2

n (n 1)n

M



M 1

 1

n

   

M 1

Bài 4: (5,0 điểm)

Cho hinh thang cân ABCD(AB / /CD)và AB CD GọiM, N,P,Q lần lượt là trung điểm

CD, AB, DB,CA

1)Chứng minh NM là tia phân giác của PNQ

2)Tính số do các góc của tứ giác MPNQ,biết hinh thang cân ABCD co C D 50   

3)Chưng minh AC2BD2 AD2 BC22AB.CD

Lời giải

O

M

Q

N

P

B A

1) Do N, P là trung điểm của AB, BD nên NP là đường trung bình ABD

1 NP//AD; NP AD

2

(1) Tương tự

1 QM//AD;QM AD

2



(2)

Từ (1) và (2) ta có tứ giác MQNPlà hình bình hành mặt khác

1

2



mà

AD BC PN NQ do đo hình bình hành MQNPlà hình thoi

suy ra MN là phân giác PNQ

2) Ta có QMC ADC 50   0( đồng vị)

PMD BCD 50   0( đồng vị)

PMQ 180  (50 50 ) 80

2



3) Kẻ AHDC;BKDC H,K DC  

=> ABKH là hình chữ nhật

D H K C

B A

(Pytago) (Pytago

)

AB HK

)

AD) C (HC HD

Tương tự:

Cộng vế với vế ta được:

AC2 BD2 AD2 BC2 CD(HC HD KD AC)

CD (HC CC) (KD HQ)] CD(HK KD) CD.2AB 2.AB.CD[

Vậy AC2 BD2 AD2BC22AB.CD

Bài 5: (3,0 điểm)

Cho hinh binh hành ABCD có diện tich 12dm2 Goi M là trung điểm cùa BC, AMcắt

BDtai Q Tính diện tich tứ giácMQDC

Lời giải

O

Q M

D C

Gọi O là giao điểm AC,BDO là trung điểm BC

=> Q là trong tâm tam giác

Ta có: BQM

1

2

  

OBC BQM

Lạ có:

2

2

= = = = = = = = = = HẾT = = = = = = = = = =