Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d là lớn nhất.. Gọi E là giao điểm của AM và OK.. 1 Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.. 2 Qua O kẻ đường
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO
HUYỆN XUYÊN MỘC
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN
NĂM HỌC 2016 - 2017
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Khóa thi, ngày 10 tháng 01 năm 2017
ĐỀ CHÍNH THỨC
Bài 1:(3,0 điểm)
1) Chứng minh rằng các số A 6 2015 1 và B 6 2016 1đều là bội của 7
2) So sánh A 1020172016 1
và
2016 2017
B
Bài 2: (5,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: 2 x 9 2 x 1 x 3
P
với x 0;x 4;x 9 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 2016 2 22 2016
1
x
3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 + 5y2 = 74
Bài 3: (3,5 điểm)
1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m 4 x m 3 y 1 (m
là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất
2) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng : 1 a b c 2
a b b c c a
Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K Gọi
E là giao điểm của AM và OK
1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn
2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N
Chứng minh: IN = IO
3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H Gọi F là giao điểm của BK và MH
Chứng minh: EF//AB
Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Một điểm P chạy trên cung nhỏ »AB (P khác A và B) Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn (O)
HẾT
-Họ và tên thí sinh: ……… Chữ ký giám thị số 1: ………
Số báo danh: ………
Trang 2UBND HUYỆN XUYÊN MỘC
PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9
(Hướng dẫn chấm có ……… trang) Bài 1:(3,0 điểm)
1) Chứng minh rằng các số A 6 2015 1 và B 6 2016 1đều là bội của 7
2) So sánh A 1020172016 1
và
2016 2017
B
1.1
(1,0đ)
2016 2 1013 2
1.2
(2,0đ)
Ta có: 10
2016 2017
Và: 10
2016 2017
Ta thấy 2017
1
10 11 2017
1
10 9 nên từ (*) và (**) 10A > 10B A > B
( Trong 2 ý đầu, ý nào chứng minh trước đúng cho 0,75; ý sau tương tự cho
0,5đ)
0,75
Bài 2: (5,5 điểm)
1) Rút gọn biểu thức: P 2 x 9 2 x 1 x 3
với x 0;x 4;x 9 2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Q 2016 2 22 2016
1
x
3) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6x2 + 5y2 = 74
2.1
(2,0đ)
2)
2 x 9 (2 x 1)( x ( x 3)( x 3)
P
x )( x
P
0,75
0,5x2 +0,25
2.2
(2,0đ)
a) Ta có:
Q
0,5 0,5
Vì ( 2 1)2
1
x x
Dấu “=” xảy ra ( 2 1)2 0 1 0 1
1
x
x
0,5
Trang 3Vậy max Q = 2017 x 1 0,25
2.3
(1,5đ)
Cách 1:
Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2
6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*)
Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4)M 5 Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) M5 0,250,25 Đặt x2 – 4 = 5t ( t¥ ) x2 = 5t + 4 Thay vào (*) y2 = 10 – 6t
Vì
4
3
t
t
0
t
hoặc t = 1
0,25
0,25
Khi t = 0 thì y2 = 10 (loại vì y ¢)
Khi t = 1 thì
2 2
2 4
y y
(vì x > 0; y > 0)
0,5
Cách 2:
Ta có : 6x2 + 5y2 = 74 6x2 – 24 = 50 – 5y2 6(x2 – 4) = 5(10 – y2) (*)
Từ (*) suy ra: 6(x2 – 4)M 5 Mà (6;5) = 1 nên (x2 – 4) M5
[(x2 – 4) +5] M5(x2 +1) M5 (**)
Từ bài ra 0 < 6x2 < 740 < x2 12 Kết hợp (**)x2 = 4 hoặc x2 = 9
Khi x2 = 4 thì y2 = 10 (loại vì y ¢)
Khi x2 = 9 thì y2 = 4 (x = 3 y = 2) (vì x > 0; y > 0)
0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25
Bài 3: (3,5 điểm)
1) Trên mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình m 4 x m 3 y 1 (m
là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) là lớn nhất
2) Cho các số dương a, b, c Chứng minh rằng : 1 a b c 2
a b b c c a
3.1
(2,0đ)
Xét pt: m 4 x m 3 y 1
Ta thấy: m 4 .0 m 3 .0 0 1 nên (d) không thể đi qua O(0;0)
0,25 + m = 4 ta được y = 1 nên K/c từ (d) đến O bằng y 1
+ m = 3 ta được x = - 1 nên K/c từ (d) đến O bằng x 1 1 0,25x2 +m 3; m 4 thì (d) cắt Ox tại A 1 ,0
m 4
và cắt Oy tại B 0,
1
m 3
Kẻ OH vuông góc với (d) tại H; ta có K/c từ O đến (d) là OH
Dựa vào ΔOAB vuông tại O chỉ ra được
2
2
OH
Suy ra được: OH 2
0,5 0,25
Suy được khoảng cách từ O đến (d) lớn nhất OH = 2 khi m = 7
2
0,25 Vì a, b, c là các số dương (gt) nên ta có:
(1)
a b c a b a b c
0,5
Trang 4(1,5đ) a b c b b c b b c a b a (2)
0,25
(3)
a b c c a c a b
0,25
Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có: 1 a b c 2
a b b c c a
Lưu ý: HS chứng minh đúng một vế cho 0,75đ
0,5
Bài 4:(5,5 điểm) Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB = 2R Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khác A và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn (O) cắt nhau ở K Gọi
E là giao điểm của AM và OK
1) Chứng minh OE.OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn
2) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tại N
Chứng minh: IN = IO
3) Vẽ MH vuông góc với AB tại H Gọi F là giao điểm của BK và MH Chứng minh: EF//AB
M
I E
H O F
4.1
(1,75đ)
Chứng minh được OK AM tại E
Dựa vào OAK vuông tại A chỉ ra được OE.OK = OA2 = R2 không đổi 0,750,75
4.2
(1,75đ)
Chứng minh được: OK // BN (AM)
Chứng minh được:AOK = OBN (g.c.g) OK = BN 0,25x20,5 +
0,25 Suy được OBNK là hình bình hành từ đó suy được: IN = IO 0,5
Chứng minh được AOK đồng dạng HBM
2 2
AO OK AO OK (1) Chỉ ra được MB2 = HB.AB và OA2 = OE.OK (cma) (2)
0,5 0,25
Trang 5(2,0đ) Từ (1) và (2) suy được
2
2
HB HB AB HB AB HB OE
OK OE OK OE OK AB OK (3) 0,5
Chứng minh được FB
BK
HB
AB (4)
Từ (3) và (4) suy ra FB OE
KB OK EF // OB //AB (đl Ta let)
0,25 0,5
Bài 5:(2,5 điểm) Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O; R) Một điểm P chạy trên cung
nhỏ »AB (P khác A và B) Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn (O)
A
P
Q
1
O 1
3
5
(2,5đ)
Vì ABCđều, P AB» nên AP < PC Lấy điểm Q trên PC sao cho PQ = PA 0,25
APQ
1 APQ P 60 (chắn cung 1200) nên APQ đều
- Chứng minh được APB = AQC (c.g.c) PB = QC
Từ đó PA + PB = PQ + QC = PC Mà PC là 1 dây của (O)
nên PC 2R (đường kính)
1,0
Chứng tỏ tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn
Chú ý: 1 Nếu thí sinh làm bài bằng cách khác đúng thì GK vẫn cho điểm tương đương.
2 Điểm toàn bài không được làm tròn.