Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên xthì biểu thức 5 A x= −x luôn chia hết cho 30.. Tìm giá trị nhỏ nhất đó.. Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a.Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của AB
Trang 1PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC
TRƯỜNG THCS BƯNG RIỀNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 MÔN: TOÁN
Năm học: 2017-2018
Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên xthì biểu thức
5
A x= −x
luôn chia hết cho 30
Bài 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) a x( 2 + −1) (x a2 +1)
2)
3 2
6x +13x +4x−3
3) ( 2 ) (2 2 )
x +x − x + −x
Bài 3
a) Tìm giá trị nguyên của xđể biểu thức
3 2
x x x B
x
=
−
nhận giá trị nguyên b) Tìm giá trị của avà b để biểu thức
2 4 5 2 2 6
C a= − ab+ b − b−
đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 4 Chứng minh rằng: (x−1) ( x−3) ( x−4) (x− + ≥6) 10 1
Bài 5 Cho hình vuông ABCDcó cạnh bằng a.Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm
của AB
và BC
a) Tính diện tích tứ giác AMND.
b) Phân giác góc CDM cắt BC tại E.Chứng minh DM = AM CE+
Bài 6 Cho tam giác ABCcó ba góc nhọn, BD CE,
là hai đường cao của tam giác cắt
Trang 2a) HD HB HE HC. = .
b) ∆HDE: ∆HCB
c)
2
BH BD CH CE BC+ =
ĐÁP ÁN Bài 1.
A x= − =x x x − =x x − x + = x− x x+ x +
Vì ( x−1) (x x+1)
là tích ba số nguyên liên tiếp nên
AM
+) Nếu xM5⇒ AM5
+)Nếu x:5dư 1 thì ( x−1 5)M⇒ AM5
+)Nếu x:5dư 4 thì (x+1 5)M⇒ AM5
+)Nếu x:5dư 2 hoặc 3 thì
2:5
x
dư 4⇒(x2+1 5)M⇒ AM5
Vậy AM5
với mọi x và ( )5,6 =1
(2)
Từ (1) và (2) suy ra AM30
Bài 2.
1) a x( 2 + −1) (x a2 + =1) ax2 + −a a x x ax x a2 − = ( − − −) (x a) (= ax−1) (x a− )
2)
6x +13x +4x− =3 6x +6x +7x +7x−3x−3
Trang 3( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
Bài 3.
2
Để B nhận giá trị nguyên thì (2x− ∈1) U(3)= −{ 1;1; 3;3− } ⇒ ∈x {0;1; 1;2− }
b C a= − ab+ b + −b b+ − = −a b + −b − ≥ −
Vậy tại
thì MinC = −7
Bài 4.
Ta có: ( x−1) ( x−3) ( x−4) ( x− + = −6) 10 ( x 1) (x−6) (x−4) ( x− +3) 10
( 2 )2
x − x+ ≥ ∀x
Trang 4Nên ( 2 )2
x − x+ + ≥
với mọi x
Trang 5Bài 5.
a) AMND ABCD BMN NCD
S =S −S −S
Ta có: ∆BMN
a
BM =BN = =CN
NCD
∆
vuông tại C có DC a=
2 2 2
AMND
b) Trên tia đối của tia CB lấy điểm K sao cho CK = AM.
Dễ dàng chứng minh được
ADM CDK c g c AM CK DM DK
ADM CDK=
Trang 6Ta có:
·ADE ADM MDE EDC CDK=· +· =· +· =EDK ViMDE EDC· ( · =· )
Mặt khác
ADE DEK=
(so le trong)
EDK DEK
Vậy ∆DKE
cân tại K
(2)
DK KE CK CE
Từ (1) và (2) suy ra DM = AM CE+
Bài 6.
a) Chứng minh ∆BHE : ∆CHD
vì
E D= = EBH =DCH
(cùng phụ góc A)
HE HB
HD HB HE HC
HD HC
b) Từ
HE HB HE HD
HD = HC ⇒ HB = HC
và
EHD CHB=
(đối đỉnh)⇒ ∆HDE : ∆HCB c) Vì H là giao điểm của hai đường cao BD
và CEnên H là trực tâm của tam giác
AH
⇒
là đường cao thứ ba Gọi F là giao điểm của AH
với BC.
Trang 7Ta có: AF ⊥BC
BHF BCD g g BH BD BF BC
BC BD
( )
CHF BCE g g CH CE CF BC
CB CE
Cộng theo vế ( ) ( )* , ** :BH BD CH CE BC BF CF + = ( + ) =BC2