94 HSG 17 XUYEN MOC DE 1 HOANG SANH

Gọi E là giao điểm của AM vàOK.. a Chứng minh OE OK.. không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.. b Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM tạiN.. Gọi F

PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO

TẠO

HUYỆN XUYÊN MỘC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2016 - 2017

Môn: Toán

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian

giao đề) Khóa thi, ngày 10 tháng 01 năm 2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1: (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng các số A 6  2015 1 và B 6  2016 1đều là bội của 7.

b) So sánh

2016 2017

10 1 A

10 11





 và

2016 2017

10 1 B

10 9







Câu 2: (5,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

P

    với x 0;x 4;x 9    .\

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

2016 2 2016 Q

1

x

 





c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6 x2 5 y2  74.

Câu 3: (3,5 điểm)

a) Trên mặt phẳngOxy, cho đường thẳng   d có phương trình

 m  4   x  m  3  y  1 (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ

đến đường thẳng   d

là lớn nhất

b) Cho các số dương a b c, , Chứng minh rằng: 1 2

a b b c c a

Câu 4: (5,5 điểm)

Cho nửa đường tròn( )O , đường kính AB2R Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khácA và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn ( )O cắt nhau ở K Gọi E là giao điểm của AM vàOK.

a) Chứng minh OE OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

b) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM

tạiN Chứng minh:IN  IO.

c) Vẽ MH vuông góc với AB tại H Gọi F là giao điểm của BK và MH Chứng minh:EF // AB.

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O R ;  Một điểm P chạy trên

cung nhỏ »AB (P khác A và B) Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ

P đến A và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn  O R ; 

HẾT

-PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9

(Hướng dẫn chấm có ……… trang)

Câu 1: (3,0 điểm)

a) Chứng minh rằng các số A 6  2015 1 và B 6  2016 1đều là bội của 7.

b) So sánh

2016 2017

10 1 A

10 11





 và

2016 2017

10 1 B

10 9







Lời giải

a) Ta có: A 6  2015 1 6 1 7 7 M   M và 2016  2 1013 2

B 6    1  M 6 1 35 7   M.

b) Ta có: 10

2016 2017

10.(10 1) 10 11 1 1

10

2016 2017

10.(10 1) 10 9 1 1

Ta thấy 2017

1

10 11 2017

1

10 9 nên từ (*) và (**)  10A > 10BA > B.

Câu 2: (5,5 điểm)

a) Rút gọn biểu thức:

P

    với x  0; x  4; x  9.\

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

2 2

2016 2 2016 Q

1

x

 





c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6 x2 5 y2  74.

Lời giải

a) Rút gọn

2 x 9 2 x 1 x 3 P

x 5 x 6 x 3 2 x

2 x 9 (2 x 1)( x 2) ( x 3)( x 3) P

( x 2)( x 3)



x x 2 ( x 2)( x 1) x 1 P

( x 2)( x 3) ( x 2)( x 3) x 3

2 2 2

2016 2 2016 (2017 2017) ( 2 1) Q

2017( 1) ( 1) ( 1)

Vì

2 2

( 1) 1

x x



  0 nên từ (*) Q 2017

Dấu “=” xảy ra

2 2

( 1)

1

x

x





Vậy max Q = 2017   x 1

c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 6 x2 5 y2  74.

Cách 1:

Ta có: 6 x2 5 y2  74  6 x2 24 50 – 5  y2  6( x2   4) 5(10 – y2)(*)

Từ (*) suy ra: 6( x2 4) 5 M , Mà UCLN(6,5) 1 nên x2 M4 5

Đặt x2 4 5t ( t ¥)  x2  5t 4 thay vào (*)  y2   10 6 t

Vì

4

3

t

t

  





0

t

  hoặc t  1

 Khi t = 0 thì y2  10 (loại vì y¢)

 Khi t = 1 thì

2 2

2 4

y y

   

   

 (vì nghiệm nguyên dương nên lấy

0, 0

x y )

Cách 2:

Ta có: 6 x2 5 y2  74  6 x2 24 50 – 5  y2  6( x2  4) 5(10 – y2) (*)

Từ (*) suy ra: 6( x2 4) 5 M , Mà UCLN(6,5) 1 nên x2 M4 5

 x2 4  5 5

     M 2

1 5

x

  M (**)

Từ bài ra 0 6 x2 74 0x2 12, Kết hợp (**) x2 4hoặc x2 9

 Khi x2 4 thì y2  10 (loại vì y¢)

 Khi x2 9 thì y2  4  (x3, y 2 ) (vì x0,y0)

Câu 3: (3,5 điểm)

a) Trên mặt phẳngOxy, cho đường thẳng   d có phương trình

 m  4   x  m  3  y  1 (m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ

đến đường thẳng   d

là lớn nhất

b) Cho các số dương a b c, , Chứng minh rằng: 1 a b c 2

a b b c c a

Lời giải

a) Xét pt:  m  4   x  m  3  y  1

Ta thấy:  m  4 0    m  3 0 0 1    nên   d không thể đi qua O   0;0

y 1  .

x    1 1 .

+ Với m3; m4 thì   d cắt Ox tại

1 , 0 4

A m

  

1 0, 3

B

m

  

 .

  0;0

O là OH

2

2

OH

 

 

 

7 2

m

b)Vì a b c, , là các số dương (gt) nên ta có:

(1)

a b c a b a b c



    

(2)

a b c b c b c a



 

    

Cộng từng vế (1), (2) và (3), ta có: 1 a b c 2

a b b c c a

Câu 4: (5,5 điểm)

Cho nửa đường tròn( )O , đường kính AB2R Lấy điểm M bất kỳ trên nửa đường tròn (M khácA và B); các tiếp tuyến tại A và M của nửa đường tròn ( )O cắt nhau ở K Gọi E là giao điểm của AM vàOK.

a) Chứng minh OE OK không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.

b) Qua O kẻ đường vuông góc với AB cắt BK tại I và cắt đường thẳng BM

tạiN Chứng minh:IN  IO.

c) Vẽ MH vuông góc với AB tại H Gọi F là giao điểm của BK và MH Chứng minh:EF // AB.

M

I E

H O F

Lời giải

đổi.

b) Chứng minh được: OK // BN (AM)

Chứng minh được:AOK  OBN(g.c.g)  OK  BN.

Suy được OBNK là hình bình hành từ đó suy được: IN  IO.

c) Chứng minh được  AOK ∽  HBM 

AO  OK  AO  OK

(1) Chỉ ra được MB2 HB AB. và OA2 OE.OK (câu a) (2)

Từ (1) và (2) suy được

2

2

.

(3) Chứng minh được

FB BK

HB

AB 

(4)

FB  OE

Câu 5: (2,5 điểm)

Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn O R ;  Một điểm P chạy trên

cung nhỏ »AB (P khác A và B) Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ

P đến A và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn  O R ; 

Lời giải

A

P

Q

1

O

1

3

- Vì  ABCđều, P AB  » nên AP PC  Lấy điểm Q trên PC sao choPQ PA .

Ta thấy APQ cân có · µ 0

1 APQ P   60 (chắn cung 120o

) nên APQ đều 

AP AQ PQ

- Chứng minh được APB AQC c g c ( ) PB QC .

Từ đó  PA PB PQ QC PC    Mà PC là một dây của  O R ; 

nên PC  2 R.

Chứng tỏ tổng các khoảng cách từ P đến A và từ P đến B không lớn hơn đường kính của đường tròn  O R ; 

(đpcm)

HẾT