Gọi a là độ dài đoạnOI.. Chứng minh: a Tam giácAMI và tam giácKCH đồng dạng... a Chứng minh tam giác QMN đồng dạng với tam giácQFE.. b Tìm vị trí của đường kính MN đểEF có độ dài
Trang 1UBND HUYỆN XUYÊN MỘC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 9 THCS
PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC NĂM HỌC 2016 – 2017
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài thi 150 phút
ĐỀ DỰ BỊ Câu 1: (2,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên( m n , )
sao cho
3 2 2
2n −mn −3n +14n−7m− =5 0
Câu 2: (7,5 điểm)
a) Rút gọn biểu thức:
3
b)
x 2014 − + − x 2016 + − y 2016 + = x 2016
c) Tìm GTNN của biểu thức:
3 4 x A
x 1
−
= + d) Cho
, ,
x y z
là các số không âm và x + y + z = 1
.CMR:
x + y + y + z + z + x ≤ 6
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho tam giácABC
có chu vi 2 p a b c= + +
(a b c, , là độ dài ba cạnh của tam giác)
Chứng minh rằng :
2
Câu 4: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC
nội tiếp đường tròn( O R ; )
Gọi( ) I r ;
là đường tròn nội tiếp tam giácABC
, M là tiếp điểm củaAB với đường tròn ( ) I r ;
; H là giao điểm củaAI với đường tròn( O R ; )
(H khácA), HK là đường kính của đường tròn ( ) O
Gọi a
là độ dài đoạnOI
Chứng minh:
a) Tam giácAMI và tam giácKCH
đồng dạng
b) HB = HI
Trang 2
c)
2 2
IA IH =R − a
d)
2 2 2
R − Rr a=
Câu 5: (3,0 điểm)
Cho đường tròn
( )C
đường kính
2
PQ= R
cố định và một đường kínhMN
của đường tròn thay đổi (MN
khácPQ
) Qua P vẽ đường thẳng ( ) d
là tiếp tuyến của đường tròn, ( ) d
cắt
QM
và
QN
lần lượt ở E vàF a) Chứng minh tam giác QMN
đồng dạng với tam giácQFE
b) Tìm vị trí của đường kính MN
đểEF có độ dài nhỏ nhất và tính GTNN
đó theoR
HẾT
-PHÒNG GD&ĐT XUYÊN MỘC
ĐỀ DỰ BỊ
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 – 2017 MÔN THI TOÁN LỚP 9
(Hướng dẫn chấm có ……… trang) Câu 1: (2,5 điểm)
Tìm tất cả các cặp số nguyên( m n , )
sao cho
3 2 2
2n −mn −3n +14n−7m− =5 0
Lời giải:
Ta có:
3 2 2
2
16
7
n
+ (1)
Vì
,
m n∈¢
nên n2+ ∈ 7 U (16) ⇒ n2+ ∈ 7 { 8;16 } ⇒ ∈ n2 { } 1;9 ⇒ ∈ ± ± n { 1; 3 }
(2)
Từ (1) và (2) suy được: ( , ) m n = { (1;1),( 3; 1);(4;3), ( 8; 3) − − − − }
Câu 2: (7,5 điểm)
Trang 3a) Rút gọn biểu thức:
3
b)
x 2014 − + − x 2016 + − y 2016 + = x 2016
c) Tìm GTNN của biểu thức:
3 4 x A
x 1
−
= + d) Chox y z, , là các số không âm và
x + y + z = 1
.CMR:
x + y + y + z + z + x 6
Lời giải:
a)Rút gọn
3
3
b)
2014 2016 2016 2016
x − + − x + − y + = x
(1)
Ta có:
2016 2016 2016 2016
x − + = x − + x x ≥ x + − = x
(2) Chỉ ra được dấu « = » xảy ra khi
0 ≤ ≤ x 2016
(*)
Từ (1) và (2) suy được:
2014 2016 0
x − + − y =
Lập luận suy được:
2014 0 2014
2016
2016 0
y y
Đối chiếu ĐK (*) và kết luận được nghiệm
c) Tìm GTNN của biểu thức:
3 4 x A
x 1
−
= +
ĐK: x 0 ≥ 2
1 1
A
(vì x 0 ≥
)
Trang 4Chỉ ra được: minA= −1
khi x = 4
(tmđk) d) Áp dụng BĐT Bunhiakopski có
2 1 1 1
A = x + y + y + z + z + x
2 2 2
1 1 1 x y y z z x
3.2( x y z ) 6 vì x y z 1
Suy được A ≤ 6
khi
1 3
Câu 3: (2,0 điểm)
Cho tam giácABC
có chu vi 2 p a b c= + +
(a b c, ,
là độ dài ba cạnh của tam giác)
Chứng minh rằng :
2
Lời giải:
Chỉ ra được:
2
b c a
p a− = + − > p b− > p c− >
Áp dụng BĐT Cô si ta có :
( )( )
Suy được:
p a + p b ≥ p a p b = c
Tương tự:
;
p b + p c ≥ a p c + p a ≥ b
Suy được:
p a p b p c a b c
Suy được đpcm và dấu “=” xảy ra khi a b c = =
Câu 4: (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC
nội tiếp đường tròn( O R ; )
Gọi( ) I r ;
là đường tròn nội tiếp tam giácABC
, M là tiếp điểm củaAB với đường tròn ( ) I r ;
; H là giao điểm
Trang 5củaAI với đường tròn( O R ; )
(H khácA), HK là đường kính của đường tròn ( ) O
Gọi a
là độ dài đoạnOI
Chứng minh:
a) Tam giácAMI và tam giácKCH
đồng dạng
b) HB = HI
c)
2 2
IA IH =R − a
d)
2 2 2
R − Rr a=
Lời giải:
A
I
H
K
M
F O
E
1 2
1 3 1
a) Chứng minh được các tam giác ∆AMI
và ∆ KCH
là các tam giác vuông
- Chứng minh được
µ1 µ2 µ
A = A = K
- Suy ra được tam giác ∆ AMI ∽ ∆ KCH
(đpcm)
b) Chứng minh được
I = A + B ; IBH B = + B = B + A
$
Do đó
· 1
I = IBH ⇒ HB HI =
$
(đpcm)
c) Gọi EF là đường kính của ( ) O
và đi quaI
- Nêu được: IA IH = IE IF
(hệ thức trong đường tròn)
- Suy ra: IA IH = ( R a – ) ( R a + ) = R2− a2
Trang 6d) Vì ∆ AMI ∽ ∆ KCH
(Từ câu a) nên
IA IM
HK = HC⇒
IA HC HK IM = = Rr
(*)
Mà HB HC =
(do
µ1 µ 2
A = A
) ⇒ HC HI =
Kết hợp câu c), thay vào (*) ta có: R2 – a2 = 2Rr ⇒R2−2Rr a= 2
(đpcm)
Câu 5: (3,0 điểm)
Cho đường tròn
( )C
đường kính
2
PQ= R
cố định và một đường kínhMN
của đường tròn thay đổi (MN
khácPQ
) Qua P vẽ đường thẳng ( ) d
là tiếp tuyến của đường tròn, ( ) d
cắt
QM
và
QN
lần lượt ở E vàF a) Chứng minh tam giác QMN
đồng dạng với tam giácQFE
b) Tìm vị trí của đường kính MN
đểEF có độ dài nhỏ nhất và tính GTNN
đó theoR
Lời giải:
M
I E
H O F
P
Q
M
N
C
a) Chứng minh được: QM QE QN QF = (=PQ2) ⇒QM QF = QN QE
Chỉ ra được: ∆QMN∽ ∆QFE c g c( )
b) Xét ∆QFE
vuông tại Q
có PQ⊥EF
(gt) (1) ⇒ PQ2 = PE PF
(hệ thức 2) ( )2 2
PE PF= 2R =4R
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số EP, PF > 0 ta có
2
2 2 4 4
EF = EP PF + ≥ EP PF = R = R
nhỏ nhất bằng 4R khi EP PF=
(2)
Trang 7Từ (1) và (2) ⇒ ∆QEF
cân tại Q
có PQ
là đường cao đồng thời là phân giác Chỉ ra được
PMQN
là hình chữ nhật
là hình vuông ⇒MN ⊥PQ
Vậy khi MN ⊥PQ
thì EF có độ dài nhỏ nhất bằng 4R
-