Đề+Đáp án thi hsg toán 9 lâm đồng 2022 2023

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi TOÁN Thời gian làm bài 150 phút Ngày thi 03/3/2023 Câu 1 (4[.]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÂM ĐỒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 03/3/2023

Câu 1 (4,0 điểm)

1.1 Tính giá trị biểu thức ( 3 )2023

6 5

P= x - x

tại x=3 2+3 4.

1.2 An mua một chiếc laptop cũ đã qua sử dụng 1 năm tại cửa hàng X với số tiền là

29,6 triệu đồng Sau khi sử dụng được thêm 3 năm nữa, An mang chiếc laptop đó ra cửa hàng

X để bán, cửa hàng mua lại với số tiền 17 triệu đồng An thắc mắc về sự chênh lệch nhiều giữa giá mua và giá bán nên được nhân viên cửa hàng giải thích về mối liên hệ giữa giá tiền của một chiếc laptop với thời gian sử dụng biểu thị dưới dạng một hàm sốy ax b   (x là số năm sử dụng, y là giá tiền) Hãy tính giá tiền ban đầu của chiếc laptop nêu trên khi chưa qua sử dụng.

Câu 2 (4,0 điểm)

2.1 Hưởng ứng phong trào viết thư gửi các bạn thiếu nhi tại huyện đảo Trường Sa nhân

dịp Tết Nguyên đán, hai bạn Lâm và Đồng mua số tờ giấy trắng bằng nhau và mua số phong bì bằng nhau Lâm sử dụng một tờ giấy cho mỗi bức thư trong khi đó Đồng sử dụng ba tờ giấy cho mỗi bức thư Biết rằng, Lâm dùng hết số phong bì đã mua còn dư 10 tờ giấy, Đồng dùng hết số giấy đã mua còn dư 10 phong bì Tìm số tờ giấy mỗi bạn đã mua

2.2 Số nhà bạn Bình là một số có hai chữ số mà hiệu bình phương của số đó với bình

phương của số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương Tìm số nhà của bạn Bình

Câu 3 (4,5 điểm)

3.1 Một bức tường trang trí có hình dạng là một tam giác đều

được ghép bởi 36 tam giác đều bằng nhau, mỗi tam giác đều đó có

cạnh là 2 mét (minh họa bởi hình bên) Hãy tính diện tích của phần sơn

trang trí (phần tô đậm).

3.2 Giải phương trình: x6 x 3 1   x2 3x 18 9

Câu 4 (4,5 điểm)

4.1 Cho ABCD vuông tạiA AB( <AC), lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho AD=AB.

Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC tại E Chứng minh 2 2 2

BE +BC =AB

4.2 Cho tứ giác ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của BD và AC Đường

thẳng MN cắt AD và BC lần lượt tại E và F Chứng minh AE BF. =DE CF. .

Câu 5 (3,0 điểm)

5.1 Một cửa hàng bán giày thể thao mỗi tuần bán được 50 đôi giày với giá là 500 nghìn

đồng một đôi Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi đôi 1 nghìn đồng thì số giày mỗi tuần bán tăng thêm được 1 đôi Xác định giá bán để mỗi tuần cửa hàng giày thể thao thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi đôi giày thể thao là 300 nghìn đồng

5.2 Cho đường tròn tâm O , đường kính BC và một điểm A cố định trên BC Vẽ tiếp

tuyến xy tại C và trên xy lấy điểm H di động Vẽ đường tròn (H HA; )

cắt đường ( )O

tại D và

E Chứng minh rằng đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

Hết

-Họ tên thí sinh:……… Số báo danh: ……….……….

…

Giám thị 1: ……… Ký tên ……… Giám thị 1: : ……… Ký tên

………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LÂM ĐỒNG

(Hướng dẫn chấm gồm có 05 trang)

KỲ THI CHỌN HOC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2022 – 2023 Môn thi: TOÁN 9

Ngày thi: 03/3/2023

ĐÁP ÁN, HƯỚNG DẪN CHẤM

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1.1

(2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức ( 3 )2023

tại x=3 2+34 Biến đổi x=3 2+3 4

3 6 3 2 43 3 32 34

0,75 điểm

điểm

Câu 1.2

(2,0 điểm) An mua một chiếc laptop cũ đã qua sử dụng 1 năm tại cửa hàng X với sốtiền là 29,6 triệu đồng Sau khi sử dụng được thêm 3 năm nữa, An mang

chiếc laptop đó ra cửa hàng X để bán, cửa hàng mua lại với số tiền 17 triệu đồng An thắc mắc về sự chênh lệch nhiều giữa giá mua và giá bán nên được nhân viên cửa hàng giải thích về mối liên hệ giữa giá tiền của một chiếc laptop với thời gian sử dụng biểu thị dưới dạng một hàm sốy ax b   (x là

số năm sử dụng, y là giá tiền) Hãy tính giá tiền ban đầu của chiếc laptop nêu

trên khi chưa qua sử dụng

Lập luận suy ra được hệ phương trình:

29,6

a b

a b

ì + = ïï

íï + = ïî

0,5 điểm

29,6 4, 2

0,5 điểm Tìm được hàm số: y=- 4, 2x+33,8

điểm Kết luận: Giá tiền ban đầu của chiếc laptop khi chưa qua sử dụng là 33,8

điểm Câu 2.1

(2,0 điểm ) Hưởng ứng phong trào viết thư gửi các bạn thiếu nhi tại huyện đảo Trường

Sa nhân dịp Tết nguyên đán, hai bạn Lâm và Đồng mua số tờ giấy trắng bằng nhau và mua số phong bì bằng nhau Lâm sử dụng một tờ giấy cho mỗi bức thư trong khi đó Đồng sử dụng ba tờ giấy cho mỗi bức thư Biết rằng, Lâm dùng hết số phong bì đã mua còn dư 10 tờ giấy, Đồng dùng hết số giấy

đã mua còn dư 10 phong bì Tìm số tờ giấy mỗi bạn đã mua

Gọi x là số tờ giấy, ylà số phong bì mỗi bạn mua (x y N x y, Î *; , >10) 0,5

điểm

Lập luận: Lâm dư 10 tờ giấy nên x- y=10 0,5

điểm

Lập luận: Đồng dư 10 phong bì nên 3 10 3 30

x

điểm

Giải hệ pt:

ï- + = ï =

và trả lời mỗi bạn mua 30 tờ giấy

0,5 điểm Câu 2.2

(2,0 điểm ) Số nhà bạn Bình là một số có hai chữ số mà hiệu bình phương của số đó

với bình phương của số viết theo thứ tự ngược lại là một số chính phương Tìm số nhà của bạn Bình

Gọi số nhà bạn Bình là: ab=10a b+ Suy viết theo thứ tự ngược lại là ba=10b a+ với a b N , Î ; 0 < a b , £ 9 Theo bài ta có:

0,5 điểm

Từ giả thiết: 2 2 ( 2 2) ( 2 2)

là số chính phương

Lập luận được: (a2- b2)= -(a b a b)( + M) 11

0,5 điểm

Lập luận được: < -0 a b£ 8;0< + £a b 18

Tìm được: a=6,b= và trả lời số nhà bạn Bình là: 655 0,5

điểm Câu 3.1

(2,5 điểm ) Một bức tường trang trí có hình dạng là một

tam giác đều được ghép bởi 36 tam giác đều bằng nhau, mỗi tam giác đều đó có cạnh là 2

mét (minh họa bởi hình bên) Hãy tính diện tích của phần sơn trang trí (phần tô đậm).

Chứng minh được:

=

ADE

ABE

;

=

ABE

ABC

ADE

ABC

0,75 điểm

Chứng minh tương tự ta có:

= =1 5. = 5

BDF ABC

= =2 5 10. =

CEF ABC

0,75 điểm

Tính được:

2

2

12 3

36 3 4

ABC

điểm

Tính được: =17 =17 3 2

36

điểm Câu 3.2

(2,0 điểm ) Giải phương trình  x 6 x 3 1   x23x18 9

E A

C

D

B F

ĐKXĐ: x 3,

Đặt x6  a 0; x 3  b 0 a2 b2 9

a b  1ab a2 b2

0,5 điểm

0

1

1

a b

ab a b







Với a b , ta có: x6 x 3. Phương trình vô nghiệm

0,5 điểm

1

b





          



0,5 điểm

Giải được:

4

3 1

x x







Đối chiếu với ĐKXĐ, kết luận S ={ }4

0,5 điểm

Câu 4.1

(2,5 điểm ) Cho ABCD vuông tạiA AB( <AC), lấy điểm D thuộc cạnh AC sao cho

AD=AB Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt BC tại E Chứng

BE +BC =AB

Kẻ BH ^BC (HÎ AC); EK ^AB tại K.

0,75 điểm

điểm

Chứng minh được: 2 2 2

điểm

Kết luận: 2 2 2

điểm Câu 4.2

(2,0 điểm ) Cho tứ giác ABCD có M và N lần lượt là trung điểm của BD và AC

Đường thẳng MN cắt AD và BC lần lượt tại E và F Chứng minh

AE BF=DE CF.

0,5 điểm

Kẻ AH // BD(HÎ MN);CK // BD(K MNÎ );

điểm

điểm

AE CF

AE BF DE CF

điểm Câu 5.1

(1,5 điểm ) Một cửa hàng bán giày thể thao mỗi tuần bán được 50 đôi giày với giá là

500 nghìn đồng một đôi Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cứ giảm giá bán mỗi đôi 1 nghìn đồng thì số giày mỗi tuần bán tăng thêm được

1 đôi Xác định giá bán để mỗi tuần cửa hàng giày thể thao thu được lợi nhuận cao nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu cho mỗi đôi giày thể thao là

300 nghìn đồng

Gọi giá bán thực tế mỗi đôi giày để thu lợi nhuận cao nhất là: x (nghìn

đồng) (300< £x 500)

Suy ra số tiền giảm so với ban đầu là 500 x- (nghìn đồng)

0,5 điểm Lập luận được:

Giảm 500 x- (nghìn đồng) thì bán được 500 x (đôi) -Khi đó, tổng số đôi giày bán được là: 500- x+50 550= - x

Lập được biểu thức lợi nhuận thu được: (550- x x) - (550- x).300

0,5 điểm

Lập luận được để lợi nhuận lớn nhất thì ( 550 - x x ) - ( 550 - x ) 300

đạt giá trị lớn nhất

( - ) - ( - )

850 165000

0,25 điểm

=- x - 425 2+ 15625 15625 £

Dấu “=” xảy ra khi = 425x

Vậy để thu lợi nhuận lớn nhất thì giá bán mỗi đôi giày là 425 nghìn đồng

0,25 điểm

Câu 5.2

(1,5 điểm ) Cho đường tròn tâm O , đường kính BC và một điểm A cố định trên BC

Vẽ tiếp tuyến xy tại C và trên xy lấy điểm H di động Vẽ đường tròn

(H HA; )

cắt đường ( )O

tại D và E Chứng minh rằng đường thẳng DE

luôn đi qua một điểm cố định

F S

E

D

C A

H

Gọi S là giao điểm của BC và DE,

F là giao điểm thứ hai của BC với

đường tròn( ) H

0,5 điểm

Lập luận được: Độ dài AB và AC không đổi

Nên để chứng minh DE đi qua điểm cố định, ta chứng cần chứng minh S

cố định suy ra cần chứng minh SA không đổi.

Chứng minh được: SD SE SB SC = (đối với đường tròn tâm O)

Chứng minh được: SA SF SD SE = (đối với đường tròn tâm H)

Suy ra SA SF SB SC =

0,5 điểm

Chứng minh được: CA=CF

Lập luận được:SF=2AC SA- ;SC AC SA SB AB SA = - ; = + điểm0,25

Biến đổi được:

( - ) (= + ) ( - )

Û 2 .SA AC SA- 2 =AB AC AB SA AC SA SA - + - 2

SA AC AB SA AB AC

AB AC SA

AB AC

+ không đổi (vì AB và AC không đổi) Vậy DE luôn đi qua điểm S cố định

0,25 điểm

(Lưu ý: Học sinh giải cách khác đúng, giám khảo phân bước cho điểm tương ứng)

…………Hết…………