Toan 9 ha hoa (22 23)

Biết rằng khi tham số m thay đổi giao điểm của hai đường thẳng này luôn cách một điểm cố định một khoảng cách không đổi.. Một hình hộp chữ nhật có chiều cao 3m, đáy là hình vuông cạnh bằ

PHÒNG GD&ĐT HẠ HOÀ KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2022- 2023 Môn: Toán

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi có 3 trang)

Ghi chú:

- Thí sinh lựa chọn đáp án phần trắc nghiệm khách quan chỉ có một lựa chọn đúng.

- Thí sinh làm bài thi (cả phần trắc nghiệm và tự luận) trên tờ giấy thi (không làm bài trên đề

thi)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm).

Câu 1 Cho các số thức ,x y thỏa mãn  2  2 

x x  y y   Giá trị của

biểu thức A x y  là

Câu 2 Có bao nhiêu giá trị của x để biểu thức 5

1

x P x





 là số nguyên?

Câu 3 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường thẳng  d1 : y mx 2m 1,

 2

1

:  2

m (với m là tham số m0) Biết rằng khi tham số m thay đổi giao điểm của hai đường thẳng này luôn cách một điểm cố định một khoảng cách không đổi Khoảng cách đó là

A. 13  

2 ñv B 13 ñv   C 11  

2 ñv D 2 11 ñv 

Câu 4 Giá trị của m để ba đường thẳng 1 2 3

1

2

d yx d y x d y mx m đồng qui là

A.11

10 11

2



Câu 5 Cho hệ phương trình: 2 3.







mx y

x my Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thỏa mãn x > 0 và y < 0 ?

Câu 6 Cho đường thẳng (d) :y mx  2 và parabol (P): y x 2cắt nhau tại hai điểm phân biệt

A và B Tất cả các giá trị của m để AB = 10 là

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 7 Giá trị của m để phương trình 2

(m 1)x 2(m 1)x m 0 có 2 nghiệm phân biệt đều âm là

A 0m1 B. 0 1

2

m

  C 0 m hoặc 1

2

Câu 8 Tìm m để phương trình x2  m4 x m  3 0 có hai nghiệm x x1, 2 là độ dài hai

cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 26.

A m  hoặc 8 m  2 B. m 2. C m  8 D m  hoặc 8 m  2

Câu 9 Cho hình bình hành ABCD tâm O Gọi M N, lần lượt là trung điểm của BO AO, Lấy điểm F trên cạnh AB sao cho tia FM cắt cạnh BC tại E Tính BA BC

Câu 10 Cho hình thoi ABCD Gọi R1 là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, R2 là

bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Độ dài cạnh hình thoi ABCD theo R1 và R2 là

A 21 2 2

R R

.

2R R

.

2R R

.

1 2

R R

.

Câu 11 Một hình hộp chữ nhật có chiều cao 3m, đáy là hình vuông cạnh bằng 2m Một hình chóp tứ giác đều cũng có chiều cao 3m, diện tích xung quanh bằng diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật Độ dài cạnh đáy của hình chóp là

A 4 3 m2 B 3 3 m2 C. 2 3 m2 D 3 m 2

Câu 12 Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a và tam giác đều BCE ở ngoài hình vuông AE

cắt BC tại I Độ dài BI bằng

A a2 2  B a2 3  C .

4

a

D a2 3 

Câu 13 Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AB CD , đường chéo AC vuông góc với,

cạnh bên BC Biết AD = 6a, AC = 8a Tỉ số sin cos

sin cos



A 3

4

7

Câu 14 Cho tam giác vuông ABC, cạnh huyền BC = a và  B 600 Bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC là

A 3 3

4

a

4

a

2

a

r  D r a  3 1  

Câu 15 Cho O R;  và hai dây AB CD, Biết AB 2CDvà khoảng cách từ O đến dây CD gấp đôi khoảng cách từ O đến dây AB Độ dài dây AB là

A 5

5

R

5

R

5

R

Câu 16 Một sinh viên được gia đình gửi tiết kiệm vào ngân hàng 100000000 đồng với lãi

suất 0,5% tháng Nếu mỗi tháng sinh viên đó rút ra một số tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì hàng tháng anh ta rút ra bao nhiêu tiền (làm tròn đến đồng) để đúng 4 năm sau số tiền vừa hết.

A 2348500 B 2348501 C 2348502 D. 2348503

B PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm).

Câu 1 (3,0 điểm).

a) Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 2xy2y22y3

b) Cho , ,a b c   thỏa mãn: 2 a b b c ;2  và 2c a là các số chính phương

Chứng minh rằng: Nếu 2a b  2b c  2c a 9 thì a b b c c a       27

Câu 2 (4,0 điểm).

a) Cho đa thức P x( )x4ax3bx2cx d Biết P(1) 3, (2) 6, (3) 11 P  P 

Tính giá trị của biểu thức Q4 (4)P P( 1).

b) Giải phương trình: x2+10x+21 3= x+ +3 2 x+ -7 6.

c) Giải hệ phương trình:

3 3( 1)







Câu 3 (4,0 điểm)

Từ điểm P nằm ngoài đường tròn O R kẻ hai tiếp tuyến PA và PB (với A và B là; 

các tiếp điểm) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC của đường tròn (O; R).

a) Chứng minh rằng: PC đi qua trung điểm của AH

b) Cho OP m Tính độ dài AH theo R và  m

c) Đường thẳng d đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d bằng R 2,

đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M Xác định vị trí của điểm P trên

đường thẳng d để diện tích tam giác POM đạt giá trị nhỏ nhất

Tính giá trị nhỏ nhất đó theo ?R

Câu 4 (1,0 điểm)

Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca  3abc

- HẾT

-Họ và tên thí sinh: ……… Số báo danh: ………

Cán bộ coi thị không giải thích gì thêm.

PHÒNG GD&ĐT HẠ HOÀ ĐÁP ÁN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2022- 2023

Môn: Toán

(Đáp án chấm thi có 5 trang)

I PHẦN TRẮC NGHIỆM

Mỗi câu đúng cho 0,5 điểm

II PHẦN TỰ LUẬN

ĐIỂM 1-a Giải phương trình nghiệm nguyên: x2 2xy2y22y3 1,5

Ta có x22xy2y2 2y 3 x y 2y22y 3 0

 y 1 y 3 x y2

     mà  x y 20

nên  y 1  y3 0

    Mà y   nên y = -3; -2; -1; 0; 1 3 y 1

0,5

- Với y = -3, thay vào phương trình ban đầu ta tìm được x = 3

- Với y = -2, thay vào phương trình ban đầu ta tìm được x =  3 2 (loại)

- Với y = -1, thay vào phương trình ban đầu ta tìm được x = 3; x = -1

- Với y = 0, thay vào phương trình ban đầu ta tìm được x =  3 (loại)

- Với y = 1, thay vào phương trình ban đầu ta tìm được x = - 1

0,75

Vậy x y ;   3; 3 , 3; 1 , 1; 1 , 1;1           0,25

1-b Cho , ,a b c   thỏa mãn: 2 a b b c ;2  và 2c a là các số chính phương

Chứng minh rằng: Nếu 2a b  2b c  2c a 9 thì

a b b c c a       27

1,5

a b

c a







 







0,5

Giả sử 2a b 3

Ta có 2a b   2b c   2c a  3a b c  3

2b c 2c a 3

     mà 2b c và 2c a là các số chính phương

0,5

0,5

2-a Cho đa thức P x( )x4ax3bx2cx d Biết P(1) 3, (2) 6, P  P(3) 11 Tính

giá trị của biểu thức Q4 (4)P P( 1). 1,0

Đặt R x( )P x( ) x22 R(1) 0; (2) 0; (3) 0 R  R  0,25

ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC

Vì bậc của P x là 4 và hệ số cao nhất là 1 nên   R x cũng có bậc là 4 và hệ 

số cao nhất là 1 Do đó

( ) ( 1)( 2)( 3)( ) ( ) ( 1)( 2)( 3)( ) 2

0,5

Vậy Q4[3.2 1(4  m) 18] ( 2)( 3)( 4)( 1       m) 3 195  0,25

2-b Giải phương trình: x2+10x+21 3= x+ +3 2 x+ -7 6. 1,5

x + x+ = x+ + x+ - (*)

Điều kiện:

2

x 10x 21 0

x 7 0

ïï

-íï

ï + ³ ïïî

( )* Û (x+3 x 7)( + ) - 3 x+ -3 2 x 7 6+ + =0 0,25

x 1

Û êê + = Û ê =ê

ë

So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x=1 x ; =2 0,25

2-c

Giải hệ phương trình:

3 3( 1)









0,5

Nếu x  , đặt 0

y kx

2

1

1 (1 3 ) 6

4











k

k k

0,25

+ Với 1 3

1 3

x k

y





  



 + Với

4 78

13

x k

y









  

 

0,25

Vậy ( , ) 3;1 ; 3; 1 ;   4 78; 78 ; 4 78; 78

x y          





0,25

3 Từ điểm P nằm ngoài đường tròn O R kẻ hai tiếp tuyến PA và PB; 

(với A và B là các tiếp điểm) Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến

đường kính BC của đường tròn (O; R).

a) Chứng minh rằng: PC đi qua trung điểm của AH

b) Cho OP m Tính độ dài AH theo R và  m

c) Đường thẳng d đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường

thẳng d bằng R 2, đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M

Xác định vị trí của điểm P trên đường thẳng d để diện tích tam giác POM

đạt giá trị nhỏ nhất

Tính giá trị nhỏ nhất đó theo ?R

4,0

d

K L

M

N H C

B

O

A

P

3-a a) Chứng minh rằng: PC đi qua trung điểm của AH 1,5

Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm của AH

Gọi N là giao của AH và PC

OA=OB=R; AP=BP

OP

 là đường trung trực của AB hay OPAB tại K.

0,5

Xét hai tam giác vuông

AHC và POB có

AH CH

PB OB

#

0,5

Xét CPB có AH / /BP

2

0,5

3-b b) Cho OP m Tính độ dài AH theo R và  m 1,5

Xét tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH ta có:

2

2

NH OB

PB

AH OB AH OB

0,5

 AH PB  R PB AH OB AH OB  R PB AH AH R 0,5

2

2

3-c c) Đường thẳng d đi qua P sao cho khoảng cách từ O đến đường thẳng d

bằng R 2, đường thẳng vuông góc với PO tại O cắt tia PB tại M Xác

định vị trí của điểm P trên đường thẳng d để diện tích tam giác POM đạt

giá trị nhỏ nhất

Tính giá trị nhỏ nhất đó theo ?R

1,0

MOP

Mà PB BM R2 suy ra 2

MOP

Dấu “=” xảy ra  PB BM  R PBO vuông cân tại B OP R 2 0,25 Vậy diện tích tam giác OPM nhỏ nhất bằngR2 khi OP R 2

Khi đó P là chân đường vuông góc hạ từ O đến đường thẳng d 0,25

4 Cho , ,a b c là các số thực dương thỏa mãn ab bc ca  3abc

1,0

Từ giả thiết ab bc ca 3abc   ta được 1 1 1 3

a b c   .

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành

1

x 2y  y 2z  z 2x 

0,25

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được

2 2

2 x y

3

Áp dụng tương tự ta được

2

2 2

2 y z

Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được

3

3

0,25

2 2

3

2 2

3

3 2 2

xy xy 1 2xy 1

x y

yz yz 1 2yz 1

y z

zx zx 1 2zx 1

z x

Suy ra

3

Do đó ta được

3

x 2y  y 2z z 2x    Vậy bất đẳng thức được chứng minh Đẳng thức xẩy ra khi

và chỉ khi a b c 1   .

0,25

HẾT