To 7 dot 9 chuyen de min max hhkg

Gọi V , 1 V lần2 lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN.. Tính sin để thể tích của khối chóp .S ABCD lớn nhất?. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA

CHUYÊN ĐỀ MIN-MAX TRONG HÌNH KHÔNG GIAN

MÔN TOÁN THỜI GIAN: 90 PHÚT

Câu 1. [Mức độ 4] Cho tứ diện ABCD có M trung điểm của BC và I là trung điểm của AM

Đường thẳng a qua I cắt cạnh AB AC, lần lượt tại E và F Đặt

AEFD ABCD

V k V

Câu 3 [ Mức độ 3] Cho chóp S ABCD có SA x và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm xđể thể

tích của khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn nhất

Câu 4 [ Mức độ 3] Một người cần làm một cái lăng kính hình lăng trụ tam giác đều từ tấm mica để

có thể tích là 6 3 cm3 Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụtam giác đều này bằng bao nhiêu?

A Cạnh đáy bằng 4 3 cm và cạnh bên bằng

1 cm

A

3272

a

V 

D

32432

a

V 

Câu 6 [ Mức độ 3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có A D  2, A B  x x,( 0) Góc giữa

đường thẳng AC và mặt phẳng ABB A  bằng 60 Tính giá trị lớn nhất  Vmaxcủa thể tíchkhối hộp chữ nhật ABCD A B C D.    

A max

43

B max

83

C max

103

D Vmax  2

Câu 7 [ Mức độ 3] Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có S ABC4 3, mặt phẳng ABC

tạovới mặt đáy góc a Khi thể tích khối lăng trụ ABC A B C    lớn nhất, giá trị của cosa là

Câu 8 [ Mức độ 3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm

của SA , N là điểm trên đoạn SB sao cho SN2NB Mặt phẳng  R chứa MN cắt đoạn

SD tại Q và cắt đoạn SC tại P Tỉ số

.

Câu 9 [ Mức độ 3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có đáy ABCD là một hình vuông Biết ' ' ' '

tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 50 Tính thể tích lớn nhất V của khối hộp đãmaxcho

A max

125 3

.9

B max

80 3.9

C max

70 3.9

D max

64 3.9

Câu 10. [ Mức độ 3] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt

thuộc cạnh BC , BD sao cho AMN luôn vuông góc với mặt phẳng BCD Gọi V , 1 V lần2

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN Tính V V1 2

Câu 11 [ Mức độ 4] Cho khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A AB, 1, AC2

Các mặt bên SBC , SCA , SAB

lần lượt tạo với đáy các góc 90 ; ;   sao cho   90 Thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn nhất bằng

Câu 12 [Mức độ 3] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có độ dài cạnh bên bằng 2 Gọi  là góc

giữa cạnh bên của hình chóp và mặt đáy Tính sin để thể tích của khối chóp S ABCD lớn

nhất?

A

3sin

3

 

6sin

3

 

5sin

3

 

D

3sin

2

 

Câu 13. Cho hình chóp S ABC có tất cả các cạnh đều bằng a Trên cạnh AB lấy điểm M sao

cho AM x0 x a, mặt phẳng   qua M và song song với AC SB, cắt

a

34

a

38

a

34

a

Câu 15. Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài ' ' ' '

đường chéo AC bằng 6 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp?'

A 8 B 8 2 C 16 2 D 24 3

Câu 16. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật biết AB2a Tam giác SAD cân tại

Svà nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SC6a Đặt AD x x  0 Tính x theo

a sao cho thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất

A x4a B x6a C x10a D x8a

Câu 17. Cho hình chóp S ABCD có ABCD là hình bình hành, Gọi M là trung điểm SC, N nằm trên

cạnh SB sao cho

SN x

A

2sin

2

 

2sin

3

 

3sin

2

 

3sin

3

 

Câu 19 [ Mức độ 4] Khối tứ diện ABCD có AB x x  1 và có tất cả các cạnh còn lại có độ dài

không vượt quá 1 Tính x khi thể tích của khối tứ diện đó lớn nhất.

A

2 33

x 

62

x 

3 22

x 

2 63

x 

Câu 20. Cho khối chóp S ABCD có thể tích là V và đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm của

cạnh SA , N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB, mặt phẳng ( ) di động đi quacác điểm M N và cắt các cạnh ,, SC SD lần lượt tại hai điểm phân biệt , K Q Tính giá trị lớn

V

D

2.3

V

Câu 21. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V Điểm P là trung điểm

của SC Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N Gọi V là thể1tích của khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ nhất của

a

3144

a

3145

a

3112

a

Câu 23. Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có tổng diện tích của tất cả các mặt là 36 , độ dài

đường chéo AC bằng 6 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp.

Câu 25 [Mức độ 4] Cho tam giác ABC đều cạnh a Đường thẳng  vuông góc với ABC

tại A.

Điểm M thay đổi trên đường thẳng  M A

Đường thẳng đi qua các trực tâm của các tam

giác ABC và MBC cắt đường thẳng  tại N Tìm GTNN của thể tích khối tứ diện MNBC

A

3 66

a

36

a

312

a

3 612

a

Câu 26. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của SA , N

là điểm trên đoạn SB sao cho SN 2NB Mặt phẳng  R

chứa MN cắt đoạn SD tại Q và

cắt đoạn SC tại P Tỉ số

.

Câu 27. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a và SA vuông góc với

mặt phẳng đáy Gọi M và N lần lượt là hai điểm di chuyển trên các cạnh BC và DC sao cho

 45

MAN   Tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp S AMN

A

3( 2 1)

.3

a



B

3.6

a

C

3( 3 1)

.3

a



D

32.3

a

Câu 28 [ Mức độ 3] Cho hình trụ ( )T có thiết diện qua trục của hình trụ ( )T là hình chữ nhật có chu vi

là 16cm Tìm diện tích của thiết diện đó khi biết thể tích khối trụ có giá trị lớn nhất

A

216

cm

2128cm

225

cm 9

Câu 29 [Mức độ 3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là giao điểm của

hai đường chéo Mặt phẳng  

song song với đáy và cắt các cạnh SA SB SC, , , SD lần lượt tại

Câu 30. [Mức độ 4] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt

thuộc cạnh BC , BD sao cho AMN

luôn vuông góc với mặt phẳng BCD

Gọi V , 1 V lần2lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN Tính . V V1 2

Câu 31 [Mức độ 3] Cho hình chóp S ABC. có SA x , BCy các cạnh còn lại bằng 2 Thể tích khối

chóp S ABC. đạt giá trị lớn nhất khi tổng x y bằng

Câu 32 [Mức độ 3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Hai điểm M , N lần

lượt thuộc các đoạn thẳng AB và AD (M và N không trùng với A) sao cho

SM

23

SM

34

SM

12

SM

SA 

Câu 34. [Mức độ 4] Cho hình chóp hình tứ giác đều SABCD cạnh bên SA 600 (mét), ASB 15O

Chọn trên các cạnh bên SA SB SC SD, , , lần lượt các điểm Q M N P, , , sao cho độ dài đường gấp

khúc AMNPQ ngắn nhất Tính tỉ số

AM MN k

Câu 35 [Mức độ 3] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có khoảng cách từ A đến mặt phẳng SCD

bằng 4 Gọi V là thể tích khối chóp S ABCD , giá trị lớn nhất của V là

16 3

3

Câu 36. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O ,các cạnh bên và cạnh đáy của

hinh chóp đều bằng a , E là trung điểm SB Lấy I trên đoạn OD với DI  Gọi x   làmặt phẳng qua I và song song mp EAC

Giá trị x sao cho thiết diện của hình chóp và mặt

phẳng   có diện tích lớn nhất là 2

m a

n với m n   ; , * m n ,  1 Khi đó m n bằng

Câu 37. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc,

cạnh BC BD sao cho mặt phẳng , (AMN)luôn vuông góc với mặt phẳng (BCD) Gọi V V lần1, 2

lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện ABMN Tính V V1 2

17 2

2.12

Câu 38. Cho khối chóp tứ giác đều S ABCD có tất cả các cạnh bằng 1.Gọi ,M N lần lượt thuộc các

Câu 39. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2, SA  và SA vuông góc2

với mặt phẳng đáy ABCD

Gọi M , N là hai điểm thay đổi trên hai cạnh AB, AD sao cho

54

T 

2 34

T  

D

139

R

x 

105

R

x 

2 3015

R

x 

D

2 1015

R

x 

Câu 41. Cho khối tứ diện ABCD có cạnh AC BD, thỏa mãn AC2BD2 16 và các cạnh còn lại đều

bằng 6 Thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất bằng

Câu 42. Cho hai đường thẳng a và b cố định và chéo nhau Gọi AB là đoạn vuông góc chung của a

và b ( A thuôc a và B thuộc b ) Trên đường thẳng a lấy điểm M (khác A), trên đường

thẳng b lấy điểm N (khác B ) sao cho AM x BN, y x y,  8 Biết AB  , góc giữa hai6đường thẳng a và b bằng 600 Khi thể tích tứ diện ABNM đạt giá trị lớn nhất thì độ dài đoạn

thẳng MN nhỏ nhất là

A MN 2 13 B MN 5 13 C MN 4 3 D MN 6 2

BẢNG ĐÁP ÁN

11.D 12.A 13.D 14.C 15.B 16.D 17.D 18.A 19.B 20.B21.A 22.B 23 24.A 25.D 26.D 27.A 28.B 29.D 30.A31.A 32.A 33.B 34.A 35.C 36.C 37.A 38.D 39.B 40.C41.B 42.A

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu 1. [Mức độ 4] Cho tứ diện ABCD có M trung điểm của BC và I là trung điểm của AM

Đường thẳng a qua I cắt cạnh AB AC, lần lượt tại E và F Đặt

AEFD ABCD

V k V

Câu 2 [ Mức độ 3] Cho hình chóp S ABC có SAABC, SB a 2 Hai mặt phẳng SAB và

Câu 3 [ Mức độ 3] Cho chóp S ABCD có SA x và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1.Tìm xđể thể

tích của khối chóp S ABCD đạt giá trị lớn nhất

FB tác giả: Thu Hương

Tứ giác ABCD có các cạnh bằng nhau nên ABCD là hình thoi do đó AC cắt BD tại trung điểm O của mỗi đường và AC đường trung trực của đoạn thẳng BD

Gọi H là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng ABCD

Ta có :SB SD  1 HB HD suy ra H thuộc đường trung trực AC của đoạn thẳng BD

Xét hai tam giác cân SBD và CBD có SB SD CB CD    ; 1 BD chung

Suy ra: SBDBCD SO OC

SAC

 có đường trung tuyến

12

Trong tam giác vuông OBC

x 

Câu 4 [ Mức độ 3] Một người cần làm một cái lăng kính hình lăng trụ tam giác đều từ tấm mica để

có thể tích là 6 3 cm3 Để ít hao tốn vật liệu nhất thì cần tính độ dài các cạnh của khối lăng trụtam giác đều này bằng bao nhiêu?

3.S

Theo giả thiết

2

2

6 34

2

x

trên x 0; , ta được  min f x  tại x2 3 h 2

Câu 5 [ Mức độ 4] Cho hình chóp .S ABC có SA SB SC a   , ASB   , 60 BSC   ,90

a

V 

D

32432

2

32

a a

Vậy chọn C.

Câu 6 [ Mức độ 3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D.     có A D  2, A B  x x,( 0) Góc giữa

đường thẳng AC và mặt phẳng ABB A  bằng 60 Tính giá trị lớn nhất  Vmaxcủa thể tíchkhối hộp chữ nhật ABCD A B C D.    

A max

43

B max

83

C max

103

Ta có AC,ABB A AC AB,  B AC 60

Xét tam giác AB C  vuông tại B có

2.cot 60

Câu 7 [ Mức độ 3] Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C.    có S ABC4 3, mặt phẳng ABC

tạovới mặt đáy góc a Khi thể tích khối lăng trụ ABC A B C    lớn nhất, giá trị của cosa là

Gọi M là trung điểm AB Þ góc giữa ABC và ABC là ·C MC a¢ = Theo công thức diệntích hình chiếu ta có S ABC S ABC.cos 4 3.cos

Câu 8 [ Mức độ 3] Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm

của SA , N là điểm trên đoạn SB sao cho SN2NB Mặt phẳng  R chứa MN cắt đoạn

SD tại Q và cắt đoạn SC tại P Tỉ số

.

Đặt

SP x

3max

.

Câu 9 [ Mức độ 3] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D có đáy ABCD là một hình vuông Biết ' ' ' '

tổng diện tích tất cả các mặt của khối hộp bằng 50 Tính thể tích lớn nhất Vmax của khối hộp đãcho

A max

125 3

.9

B max

80 3.9

C max

70 3.9

D max

64 3.9

Lời giải

FB tác giả: Thu Huyền

Đặt a là độ dài cạnh của hình vuông đáy, b là chiều cao của khối hộp với a b , 0.

f a f  

 Vậy chọn đáp án A.

Câu 10. [ Mức độ 3] Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 1 Gọi M , N là hai điểm thay đổi lần lượt

thuộc cạnh BC , BD sao cho AMN

luôn vuông góc với mặt phẳng BCD

FB tác giả: Hữu Quốc

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ,

Ta có

33

1 61

V 

+ BM BN nhỏ nhất khi . MN CD khi //

23

V V 

Câu 11 [ Mức độ 4] Cho khối chóp S ABC có đáy là tam giác vuông tại A AB, 1, AC2

Các mặt bên SBC , SCA , SAB

lần lượt tạo với đáy các góc 90 ; ;   sao cho   90 Thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn nhất bằng

Tam giác ABC vuông tại

là đường cao của SBC , theo giả thiết SBC ABC  SH ABC



SMH SNH

Vậy thể tích khối chóp S ABC có giá trị lớn nhất bằng

2

6

Câu 12 [Mức độ 3] Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có độ dài cạnh bên bằng 2 Gọi  là góc

giữa cạnh bên của hình chóp và mặt đáy Tính sin để thể tích của khối chóp S ABCD lớn

nhất?

A

3sin

3

 

6sin

3

 

5sin

3

 

3sin

y   t

.Bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta tìm được

33

t 

thì hàm số y đạt giá trị lớn nhất

Như vậy

3sin

N M

H

C

B A

S

Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng   là tứ giác MNPQ Vì MN/ /PQ/ /AC

thì diện tích thiết diện là lớn nhất

Câu 14 [ Mức độ 3] Xét các hình chóp S ABC có SA SB SC AB BC a     Giá trị lớn nhất của

khối chóp S ABC bằng

A

3

3 34

a

34

a

38

a

34

Gọi M H, lần lượt là trung điểm của AC và SB Khi đó ta có AC SBM và

a x

.2

2 1 3

 

Vậy giá trị lớn nhất của khối chóp S ABC là

38

a

.

Câu 15. Cho khối hộp chữ nhật ABCD A B C D có tồng diện tích của tất cả các mặt là 36, độ dài ' ' ' '

đường chéo AC bằng 6 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối hộp ?'

Lời giải

FB tác giả: Lê Hiền

Đặt , ,a b c là kích thước của khối hộp thì ta có hệ

Câu 16. Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình chữ nhật biết AB2a Tam giác SAD cân tại

Svà nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Biết SC6a Đặt AD x x  0 Tính x theo

a sao cho thể tích khối chóp S ABCD lớn nhất

A x4a B x6a C x10a D x8a

Lời giải

FB tác giả: Hang tuyet

Gọi H là trung điểm AD

Tam giác SAD cân và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy nên ta có SH ABCD

Khi đó: .

1 .3

Hay

3

643

x 

Câu 18 [ Mức độ 4] Cho hình chóp S ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, SA(ABC),

2

 

2sin

3

 

3sin

2

 

3sin

3

 

Lời giải

FB tác giả: Huyền Đào

Ta có BC AC SC  cos acos ; SA SC sin asin 

2

 Cách 2:

x 

62

x 

3 22

x 

2 63

Tứ diện ABCD có AB x 1, các cạnh còn lại đều không lớn hơn 1 Đặt CD y y , 0;1

Gọi M là trung điểm của BC , K là hình chiếu của B lên CD và H là hình chiếu của A trên

42

ABCD

Xét hàm số f y y4 y2,y0;1 f y'( ) 4 3  y2 0, y 0;1  f y( )

là hàm đồng biến nên    1 3 1

Câu 20. Cho khối chóp S ABCD có thể tích là V và đáy là hình bình hành Gọi M là trung điểm của

cạnh SA , N là điểm nằm trên cạnh SB sao cho SN 2NB, mặt phẳng ( ) di động đi quacác điểm M N và cắt các cạnh ,, SC SD lần lượt tại hai điểm phân biệt , K Q Tính giá trị lớn

V

D

2.3

V

Lời giải Chọn B

Ta có ba mặt phẳng ( ), SAC , SBD lần lượt cắt nhau theo ba giao tuyến MK NQ SO có, ,

MK cắt SO nên ba giao tuyến này đồng quy tại I .

SMI SIK SMK SMI SIK SMK

SAO SOC SAC SAC SAC SAC

Câu 21. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành và có thể tích là V Điểm P là trung điểm

của SC Một mặt phẳng qua AP cắt hai cạnh SB và SD lần lượt tại M và N Gọi V là thể1

tích của khối chóp S AMPN Tìm giá trị nhỏ nhất của

O

D A

S

M

Đặt

SM x SB

,

SN y SD

, 0x y,  1

Ta có

1 V S AMP V S ANP V

Suy ra 1  3

4 x y 4xy  x y 3xy 3 1

x y x

x 

Thay vào (2) ta được tỉ số thể tích

2

1 3

4 3 1

V  x