Tổ 24 đợt 11 chuyên đề hsg hình học không gian

Tính giá trị biểu thức a Xác định thiết diện khi cắt hình chóp .S ABCD bởi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC.. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABC là hình vuông cạnh a và có các cạnh

Trang 1

SP ĐỢT 11 - TỔ 24 - STRONG TEAM CHUYÊN ĐỀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Câu 1. Trong không gian cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là điểm

di động trên cạnh SC , M không trùng với S và C Gọi   là mặt phẳng chứa AM và song

song với BD Tìm các giao điểm H và Kcủa   với SB và SD Tính giá trị biểu thức

a) Xác định thiết diện khi cắt hình chóp S ABCD bởi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC

b) Tính diện tích thiết diện ở câu a)

Câu 4. Cho hình chóp S ABC. có SA SB SC  1 và ASBASC CSB 30 Mặt phẳng ( ) thay

đổi luôn đi qua A và cắt các cạnh SB SC thứ tự ở ,, M N Khi chu vi tam giác AMN nhỏ nhất,hãy tính diện tích tam giác AMN

Câu 5. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     Trên cạnh AB lấy điểm M khác hai điểm A và B Gọi

 P là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng ACD.

a) Xác định thiết diện của hình chóp đã cho với mặt phẳng  P

.b) Giả sử AB  , AM k1  , 0 k 1 Tính diện tích thiết diện nói trên theo k Xác định vị trí của điểm M để thiết diện đó có diện tích lớn nhất.

Câu 6. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC là hình vuông cạnh a và có các cạnh bên đều bằng a D

Gọi M là điểm nằm trên SB sao cho

13

b E là một điểm thay đổi trên cạnh AC Xác định vị trí E để ME vuông góc với CD

Câu 7. Cho hình chóp S ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E ; AD và BC cắt nhau tại F

; AC và BD cắt nhau tại G  P là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A, B, C.

a) Tìm giao điểm D của SD với  P .

b) Tìm điều kiện của  P để A B C D    là hình bình hành.

TỔ 24

Trang 2

AA vuông góc với mặt phẳng đáy và AA  a

a) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với D C b) Tính diện tích thiết diện

Câu 9. Cho hình chóp S.ABC Từ một điểm M thuộc miền trong tam giác ABC, vẽ tia Mx song song với

SA, tia My song song với SB, tia Mz song song với SC Các tia này cắt các mặt bên của hìnhchóp S.ABC lần lượt tại P, Q, R Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng SM luôn đi qua trọng tâm G của tam giác PQR

b) Tỷ số

SG

GM không phụ thuộc vào cách chọn điểm M

Câu 10. Cho tứ diện ABCD có AB CD a  , BCAD b , ACBD c Gọi ,E F lần lượt là trung

điểm của AB và CD Hai điểm M N lần lượt trên các cạnh , BC và AD sao cho MBNA

a Chứng minh rằng EF cắt MN tại trung điểm của MN

b Tính diện tích tứ giác EMFN biết 3

b

BM 

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có SD = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a.

a Chứng minh rằng AC vuông góc với mặt phẳng SBD

a Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

b Chứng minh rằng cos coscos 3

Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng

Trang 3

Câu 15. Cho hình chóp S ABDC. có đáy ABCD là hình thangBC AD// 

, BC2 ,a AD a , AB b Mặtbên SAD là tram giác đều Mặt phẳng   đi qua điểm M trên cạnh AB và song song với các

cạnh SA BC cắt , ,, CD SC SB lần lượt tại , , N P Q Đặt AM x0 x b

Tính giá trị lớn nhấtcủa diện tích tạo bởi  

và hình chóp S ABDC.

Câu 16. Cho hình chóp .S ABCD đáy , ABCD là hình bình hành Gọi A là điểm trên SA sao cho

1.2

SB SD SC

Câu 17. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có độ dài mỗi cạnh bằng a Gọi M N P, , lần lượt là trung

điểm của các đoạn thẳng AD, BB , C D  Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng MNP vớihình lập phương ABCD A B C D.     Tính theo a diện tích thiết diện đó.

Câu 18. Cho hình chóp S ABCD đáy là hình thang cân (AD BC/ / ), BC=2 ,a AB=AD=DC=a Mặt

bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và BD SD vuông góc với AC

biết MD = Tìm x để diện tích thiết diện lớn nhất x

Câu 19. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang AD BC , / / AD2a , AB BC CD a   ,

c) Tính diện tích của thiết diện tạo bởi mặt phẳng AMI

với hình chóp S ABCD

Câu 20. Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tâm BCD , G là trung điểm của AG Mặt phẳng   đi

qua Gcắt các cạnh AB AC AD, , lần lượt tại B C D, ,  Tính

AB ACAD

Câu 21. Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD M là điểm

thuộc miền trong của tam giác BCD Kẻ qua M đường thẳng d song song với AB.

a Chứng minh rằng (EFG) // (BCD).

b Tính diện tích của tam giác EFG theo diện tích của tam giác BCD.

c Xác định giao điểm B của đường thẳng d và mặt phẳng (ACD).

d Kẻ qua M các đường thẳng lần lượt song song với AC và AD, cắt các mặt phẳng (ABD), (ABC)

Trang 4

Câu 22. Cho hình hộp ABCD A B C D.    có tất cả các cạnh bằng nhau Điểm M di động trên cạnh AB ,

điểm N di động trên cạnh A D sao cho A N 2AM Gọi ( ) là mặt phẳng chứa MNvà songsong với AC Dựng thiết diện của hình hộp bởi ( ) và chứng minh rằng ( ) luôn chứa mộtđường thẳng cố định

Câu 23. Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng ( AB+CD)2+( AD+BC)2

b Tính cos với  là góc giữa hai đường thẳng BH và AC.

Câu 25. Cho hình chóp .S ABCD , có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a 3, BC a và

2

SA SB SC SD    a Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên AC và H là hình chiếuvuông góc của K trên SA

a Tính độ dài đoạn HK theo a

b Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng HK và SO Mặt phẳng   di động, luôn đi qua I

và cắt các đoạn thẳng SA , SB , SC , SD lần lượt tại A, B , C và D Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức P SA SB SC SD . . . 

Câu 26. Cho tứ diện đều ABCD có đường cao AH.Mặt phẳng ( )P chứa AHcắt ba cạnh BC CD BD, ,

lần lượt tại M N P, , Gọi    là các góc hợp bởi , , AM AN AP, , với mặt phẳng (BCD).Chứng minh rằng tan2 tan2 tan212

Câu 27. Cho hình hộp ABCD A B C D.     Gọi G là trọng tâm BC D 

a Xác định thiết diện của hình hộp ABCD A B C D.     khi cắt bởi mặt phẳng ABG Thiết diện làhình gì?

b Hai điểm M , N lần lượt thuộc hai đoạn thẳng AD , A C  sao cho MN song song với mặt

phẳng BC D 

, biết

14

AM  AD

Tính tỉ số

CN CA.

Câu 28. Cho hình chóp .S ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a H là trung điểm AB,

Trang 5

Câu 30. Cho tứ diện S ABC có SA SB SC   Mặt phẳng 1   thay đổi luôn đi qua trọngtâm G của

tứ diện và cắt các cạnh SA SB, , SC lần lượt tại các điểm A B C, ,  Chứng minh rằng biểu thức

T

SA SB SC

   có giá trị không đổi

Câu 31. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Một điểm M di động trên cạnh đáy

BC ( M khác B , C ) Mặt phẳng   đi qua M đồng thời song song với hai đường thẳng SB

và AC Xác định thiết diện của hình chóp S ABCD cắt bởi   và tìm vị trí của điểm M để

thiết diện đó có diện tích lớn nhất

Câu 32. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a Cạnh SA a và vuông góc với

ABCD

.a) Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông

b) Gọi M là điểm di động trên đoạn BC và BM  , x K là hình chiếu của S trên DM Tính độ dài đoạn SK theo a và x Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn SK

Câu 33. Cho tứ diện ABCD có ABC đều cạnh bằng a và tam giác BCD cân tại D với

52

Câu 35. Trong không gian cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD 600,

SA SB SC b   và SD2b Gọi M là trung điểm của BC, điểm P trên SD sao cho SD4SP.Mặt phẳng  

qua M, P và song song với AC Tính theo a, b diện tích thiết diện tạo bởi mặtphẳng   và hình chóp S.ABCD?

Câu 36. Cho hình chóp S ABCD. có đáy là hình chữ nhật, AD2 ,a AB a Gọi O là giao điểm của AC

với BD SO vuông góc với mặt phẳng , ABCD

Trang 6

Câu 37. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Một mặt phẳng không qua S cắt các

cạnh SA SB SC SD, , , lần lượt tại M N P Q, , , thỏa mãn SA 2SM

, SC 3SP

Tính tỉ số

SB SN

khi biểu thức

2 2

Câu 38. Cho hình lăng trụ ABCD A B C D Một mặt phẳng ' ' ' ' ( ) thay đổi và luôn song song với đáy, cắt

các đoạn AB BC CD DA', ', ', ' lần lượt tại M N P Q, , , Hãy xác định vị trí của mặt phẳng (α) sao) saocho diện tích MNPQ nhỏ nhất

Câu 39. Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, cạnh AB a , AD2a Gọi M , N

lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC Biết SA SB SC  SD và góc giữa MN và mặtphẳng ABCD

là 60

a Tính diện tích tam giác SBM theo a

b Tính sin của góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng SBD

(với t.k 0  ) Tính độ dài MN theo a khi MN song song với B D

Câu 41. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có tâm O và độ dài cạnh bằng 1 Gọi M P, là hai điểm

sao cho

34

CP CC

Mặt phẳng   thay đổi, đi qua M và P đồng thời cắt hai

cạnh BB DD,  lần lượt tại N và Q Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của chu vi tứ giácMNPQ.

Câu 42. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang cân AB CD//  nội tiếp đường tròn tâm O

và SBA SCA  90 Gọi M là trung điểm của cạnh SA

a Chứng minh rằng MOABCD

b Gọi  là góc giữa hai đường thẳng AB và SC Chứng minh rằng cos

BC SA



Câu 43 Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C.    có đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết độ dài các

cạnh AB a , AC2a, CC 2a Gọi M I, lần lượt là trung điểm của A B  và BC Tính góc

giữa hai đường thẳng IM và AC

Câu 44 Cho hình chóp S ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a , biết SA vuông góc với mặt phẳng

ABCD

Biết góc giữa hai mặt phẳng SBC

và SAD

bằng 45 Gọi E M, lần lượt là trung

điểm của SC và SA Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và BE

Câu 45. Cho hình chóp S.ABC, M là một điểm nằm trong tam giác ABC Các đường thẳng qua M song

song với SA, SB, SC cắt các mặt phẳng (SBC), (SAC), (SAB) lần lượt tại A’, B’, C’.

a) Chứng minh rằng

ABC

S MA

Trang 7

c) Tìm vị trí của M trong tam giác ABC để

MA MB MC

SA SB SC đạt giá trị lớn nhất.

Câu 46. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     cạnh a Các điểm H , K lần lượt là trung điểm của AD,

C D  Điểm M thuộc đoạn BC, N thuộc đoạn AB Đường thẳng MN tạo với mặt phẳng

ABCD một góc 45

a Chứng minh rằng AK BH

b Chứng minh rằng MN2 2a

Câu 47 Cho đoạnAB vuông góc với mặt phẳng ( )P tại điểm B Trong ( )P lấy điểm H thỏa mãn

BH BA a (a 0) Vẽ đường thẳng d nằm trong ( )P và qua H , d vuông góc với BH Haiđiểm M N, di động trên d và thỏa mãn góc MAN 90o Đường thẳng qua A và vuông góc với

mặt phẳng (AMN) cắt ( )P tại điểm K

a) Chứng minh rằng B là trực tâm của KMN

b) Gọi ,  lần lượt là số đo các góc tạo bởi BM với mặt phẳng (AKN), BN với mặt phẳng

Câu 48. Cho hình lăng trụ tam giác ABC A B C.    Gọi G , G, I lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC ,

A B C   và ABB Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BB và CC Một đường thẳng d đi qua G cắt AB tại H và cắt EF tại K

Câu 49. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có cạnh bằng 1 Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm E

thuộc cạnh DD sao cho AI D E x  0 x 1

a Chứng minh rằng IEA C

b Tìm x để góc giữa hai đường thẳng AC và DI bằng 600

c Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB A D,   Xác định giao điểm K của mặt

Câu 50. Cho hình chóp có đáy là hình thoi cạnh a, góc , vuông góc với

đáy, tạo với đáy một góc Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng và

S ABCD ABCD BAD  120 SA

Trang 8

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI HÌNH HỌC KHÔNG GIAN LỚP 11

Câu 1. Trong không gian cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O ; M là điểm

di động trên cạnh SC , M không trùng với S và C Gọi   là mặt phẳng chứa AM và song

song với BD Tìm các giao điểm H và Kcủa   với SB và SD Tính giá trị biểu thức

+) Khi đó : H và Klà giao điểm của  

Trang 9

FB tác giả: Nguyễn Quang Hoàng

GV phản biện: NguyễnPhan Bảo Khánh Nguyên - Tuan Anh

Phần dựng: (tính góc giữa hai mặt phẳng dựa vào khoảng cách.)

Gọi O=AC1ÇA C1 , khi đó (ABC1) (Ç BCA1)=BO

Trong tam giác A BC kẻ CH BO1 ^

Gọi M là trung điểm của AB , trong tam giác C CM kẻ 1 CK^C M1 , khi đó

Trong tam giác BCA ta có: 1 A B1 =A C1 =a 2;BC=a

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

a a

A I = A B - BI = a - =

Trang 10

2 1

3

774

a CK

a) Xác định thiết diện khi cắt hình chóp S ABCD bởi mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC

b) Tính diện tích thiết diện ở câu a)

Lời giải

FB tác giả: Tuan Anh

GV phản biện: Nguyễn Quang Hoàng – Nguyễn Duy Tân

a) Trong mặt phẳng SAC

kẻ AH SC  H  Gọi M N, lần lượt là hình chiếu của A lên hai cạnh SB SC,  M N, lần lượt là trung điểm của SB SC,

(vì SAB,SAC vuông cân tại S )

Trang 11

Từ 1, 2

ta có AM SBC AM SC  M 

Tương tự ta chứng minh được AN SC  N 

Vậy thiết diện tạo thành là tứ giác AMHN

Câu 4. Cho hình chóp S ABC. có SA SB SC  1 và ASBASC CSB 30 Mặt phẳng ( ) thay

đổi luôn đi qua A và cắt các cạnh SB SC thứ tự ở ,, M N Khi chu vi tam giác AMN nhỏ nhất,hãy tính diện tích tam giác AMN

Lời giải

FB tác giả: Nguyễn Duy Tân

GV phản biện: Tuan Anh, Hà Vĩ Đức

Trải các mặt bên của hình chóp trên một mặt phẳng như hình vẽ

Khi đó ta có: AM MN NA AD 

Mặt khác do ASBASC CSB 30  ASD90

 AD SA SD  và tam giác SAD vuông cân tạiS.

Suy ra chu vi tam giác AMN nhỏ nhất khi M H N, K

Xét tam giác SAH ta có: SHA 180  ASH SAH  180  30  45 105

Tương tự với tam giác SKD ta có:

Trang 12

Gọi I là trung điểm HK

Xét tam giác AIK ta có:

.b) Giả sử AB  , AM k1  , 0 k 1 Tính diện tích thiết diện nói trên theo k Xác định vị trí của điểm M để thiết diện đó có diện tích lớn nhất.

Lời giải

FB tác giả: Hà Vĩ Đức

GV phản biện: Nguyễn Duy Tân

a) Dựng thiết diện tạo bởi mặt phẳng  P

như sau:

Lấy điểm N BC sao cho MN AC nên // MN//ACD Do đó MN  P

Lấy điểm P C C  sao cho NP BC BC AD//  //  nên  NP//ACD

Do đó NP P

Trang 13

Lấy điểm Q C D   sao cho PQ CD// nên PQ//ACD

cắt các mặt của hình lập phương ABCD A B C D.     theo các đoạn giao tuyến lầnlượt là MN NP PQ QR RS SM, , , , , nên có thiết diện là lục giác MNPQRS

b) Gọi E MN BD F QR,  B D  Mặt phẳng BDD B  cắt hai mặt phẳng song song   P

và ACD tại hai giao tuyến là EF và ID nên EF ID Đồng thời // FD EI// nên EID F là

FQ k

.Vậy QR2QF 2.k

Ta lại có: TEI D ID  (hai góc đồng vị) nên

k  , tức là M là trung điểm của cạnh AB

Cách khác tính diện tích thiết diện

Trang 14

Câu 6. Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC là hình vuông cạnh a và có các cạnh bên đều bằng a D

Gọi M là điểm nằm trên SB sao cho

13

GV phản biện: Hà Vĩ Đức – Thanh Nam

a Trong tam giác SAB , kẻ MN SA//  N P

 Thiết diện tạo bởi mặt phẳng  P và hình chóp S ABCD là tam giác MNC

a

b Giả sử AE k AC 

Trang 15

AE AC

Câu 7. Cho hình chóp S ABCD. Tứ giác đáy có AB và CD cắt nhau tại E ; AD và BC cắt nhau tại F

; AC và BD cắt nhau tại G  P là mặt phẳng cắt SA, SB, SC lần lượt tại A, B, C.

a) Tìm giao điểm D của SD với  P .

b) Tìm điều kiện của  P để A B C D    là hình bình hành.

FB tác giả: Thanh Nam

GV phản biện: Ngát Nguyễn – Nguyễn Văn Đương

C' B'

Trang 16

Trong SAC, gọi I SG A C  , suy ra IA C .

Trong SBD, gọi DIBSD Mà IBA B C   hay IB  P

Vậy D SD P

b) Tìm điều kiện của  P để A B C D    là hình bình hành.

Giả sử tứ giác A B C D    là hình bình hành Suy ra A B C D //   và A D //B C 

Chứng minh tương tự, suy ra SF// P .

Vậy để tứ giác A B C D    là hình bình hành thì  P song song với SE và SF .

AA vuông góc với mặt phẳng đáy và AA  a

a) Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi mặt phẳng ( ) qua A và vuông góc với D C b) Tính diện tích thiết diện

Lời giải

Fb tác giả: Nguyễn Văn Đương

GV phản biện: Thanh Nam,Nguyễn Hà

Trang 17

K

I

C'

D' A'

C

D A

B B'

Do ( ) qua A và vuông góc với D C nên ( ) phải cắt mặt phẳng CDD C 

theo giao tuyến song

Từ đó ta xác định được thiết diện là hình thang AIKB.

a

AI 

(đường cao trong tam giác đều ACD ).

Diện tích thiết diện cần tìm là

Câu 9. Cho hình chóp S.ABC Từ một điểm M thuộc miền trong tam giác ABC, vẽ tia Mx song song với

SA, tia My song song với SB, tia Mz song song với SC Các tia này cắt các mặt bên của hìnhchóp S.ABC lần lượt tại P, Q, R Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng SM luôn đi qua trọng tâm G của tam giác PQR

Trang 18

a) Gọi MC cắt AB tại F

MP // SA, MQ // SB  mp(MPQ) // mp(SAB)

mp (MPQ) cắt SC tại J, PQ cắt MJ tại H,

mp (MPQ) cắt mp (SBC) theo giao tuyến JP,

mp (SAB) cắt mp (SBC) theo giao tuyến SB,

 HR là giao tuyến của mp (SCF) và mp (PQR), mà SM  mp (SFC)

 G là giao điểm của SM và HR (2)

Từ (1) và (2) suy ra G thuộc trung tuyến từ R của tam giác PQR

Tương tự G thuộc trung tuyến từ Q của tam giác PQR

Vậy G là trọng tâm tam giác PQR

b) Ta có MPQ // SAB Mà SFC  MPQ MJ

, SFC  SAB SF

 MJ // SF, MR // SC  MRSJ là hình bình hành

1.MJ

Câu 10. Cho tứ diện ABCD có AB CD a  , BCAD b , ACBD c Gọi ,E F lần lượt là trung

điểm của AB và CD Hai điểm M N lần lượt trên các cạnh , BC và AD sao cho MBNA

Trang 19

i/ , , ,E F M N đồng phẳng.

Gọi K là giao điểm của EN và DB ; F là giao điểm của KM và DC ta chứng minh F F

Áp dụng định lý Menelaus trong tam giác ABD ta được . . 1

ii/ EF cắt MN tại trung điểm của MN

Ta có tam giác BCDADC c c c    nên BCD ADC suy ra MCF NDF c g c   

do

đó FM FN hay F nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN

Chứng minh tương tự ta cũng được E nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng MN

Vậy EF là trung trực của đoạn thẳng MN hay EF cắt MN tại trung điểm của MN

(độ dài đường trung tuyến của tam giác)

Vì EF là trung tuyến của tam giác FAB nên

Trang 20

Khi đó ta được tứ diện ABCD

có độ dài các cạnh thỏa giả thiết của bài toán

Qua các điểm M N, kẻ các đường thẳng song song với OD cắt các cạnh của hình hộp chữ nhật

tại các điểm như hình vẽ

Vì AN BM và NAK MBH nên AK B H NAKM H B  do đó AKBH là hình bình hành, mà E là trung điểm AB nên E là trung điểm của KH Tương tự F cũng là trung điểm của PQ nên M N E F, , , đồng phẳng

Lại có NK H M NAK M B H

nên EN EM Tương tự NF MF nên EF là đường

trung trực của MN Vậy EF cắt MN tại trung điểm I của MN

b

BM 

Trang 21

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có SD = x, tất cả các cạnh còn lại đều bằng a.

a Chứng minh rằng AC vuông góc với mặt phẳng SBD

a Gọi  O ACBD Do tam giác SAC cân tại S nên ACSO

Mặt khác do tứ giác ABCD là hình thoi nên ACBD

Trang 22

b Tìm giá trị nhỏ nhất của tích .

SP SQ

SB SD theo k

Lời giải

FB tác giả: Nga Nga Nguyen

GV phản biện: Quý Nguyễn, Le van Nhan

Trang 23

Vậy giá trị nhỏ nhất của tích .

a Chứng minh rằng tam giác ABC có ba góc nhọn.

b Chứng minh rằng cos coscos 3

Lời giải

FB tác giả: Levannhan Phản biện: Nga Nga Nguyen _Vương Quang Minh

a Áp dụng định lí cosin cho ABC ta có:

cos

AB AC BC OA OB OA OC OB OC BAC

OA

AB AC

Suy ra BAC  90o

CA CB

.Suy ra ABC90 , o ACB90o

Suy ra ABC là tam giác nhọn

b Gọi M N P, , lần lượt là hình chiếu vuông góc của O lên các cạnh BC BA AC, , Suy ra

AM BC hay AMO 

ABC

S S



Ta có:

Mặt khác ta có: ON2 NH NC.  ON AB2. 2 NH AB NC AB. . .  S2OAB SHAB.SABC

Tương tự: S2OBC SHCB.SABC, S2OAC SHCA.SABC

Suy ra: S2OBCS2OCAS2OAB S2ABC

Trang 24

Suy ra cos coscos 3 (đpcm)

Câu 14. Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng

FB tác giả: Vương Quang Minh

GV phản biện: Le Van Nhan – Vạn Kiếm Sầu

Trang 25

cạnh SA BC cắt , ,, CD SC SB lần lượt tại , , N P Q Đặt AM x0 x b

Tính giá trị lớn nhấtcủa diện tích tạo bởi   và hình chóp S ABDC.

Lời giải

FB tác giả: Vạn Kiếm Sầu

GV phản biện: Vương Quang Minh, Minh Hiệp

Mặt phẳng   qua điểm M song song với SAvà BC nên thiết diện của mặt phẳng   với hình chóp S ABCD. là tứ giác MNPQ

Ta có MN QP và mặt bên // SAD là tam giác đều nên tứ giác MNPQ là hình thang cân.

Gọi F là trung điểm của BC , E là giao điểm của MN và AF

Áp dụng định lí Ta - lét trong tam giác ABF

Trang 26

Câu 16. Cho hình chóp .S ABCD đáy , ABCD là hình bình hành Gọi A là điểm trên SA sao cho

1.2

SB SD SC

Lời giải

FB tác giả: Minh Hiệp

GV phản biện: Lê Minh Tâm

Gọi O là giao điểm của AC và BD Khi đó SO A C B D,     đồng quy tại I ,

SB SD SC SA T

SB SD SC SA

Câu 17. Cho hình lập phương ABCD A B C D.     có độ dài mỗi cạnh bằng a Gọi M N P, , lần lượt là trung

điểm của các đoạn thẳng AD, BB , C D  Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng MNP vớihình lập phương ABCD A B C D.     Tính theo a diện tích thiết diện đó.

Lời giải

FB tác giả: Lê Minh Tâm Phản biện: Hà Thanh

Trang 27

▪ Gọi E là trung điểm của AB Khi đó: ME DB  MEDBC và EN DC

với G là trung điểm của DD.

▪ Vậy thiết diện cắt bởi mặt phẳng MNP

với hình lập phương ABCD A B C D.     là lục giác đều

MENFPG cạnh

22

MENFPG

a

Câu 18. Cho hình chóp S ABCD đáy là hình thang cân (AD BC/ / ), BC=2 ,a AB=AD=DC=a Mặt

bên SBC là tam giác đều Gọi O là giao điểm của AC và BD SD vuông góc với AC

Trang 28

a) Gọi E là trung điểm của BC.

Suy ra SE^BC (do SBCD đều) (1).

Từ đề bài cho ABCD là hình thang cân và BC=2 ,a AB=AD=DC=a nên EC song song và

SD^ACÞ GN^GQ

GNPQ BCD

Trang 29

S = a Û x= a

Trang 30

K

O B

, gọi Q MI SO Trong SAC

, gọi N AQSC Khi đó N AMISC.Cách 1

Xét tam giác SAD ta có

Trang 31

x 

Do đó

35

Trang 32

Câu 20. Cho tứ diện ABCD , gọi G là trọng tâm BCD , G là trung điểm của AG Mặt phẳng   đi

qua Gcắt các cạnh AB AC AD, , lần lượt tại B C D, ,  Tính

AB ACAD

Lời giải

FB tác giả: Anh Thư

GV phản biện: Trần Xuân Thành, Huỳnh Văn Khánh

Ta có bài toán: “Cho ABC , trung tuyến , không mất tính tổng quát, giả sử Một

AB AC AM

AB AC  AM

Trang 33

Thật vậy, kẻ lần lượt song song với

Áp dụng bài toán vào ta có

Áp dụng bài toán vào , ta có:

Áp dụng bài toán vào , ta có

Câu 21. Cho tứ diện ABCD Gọi E, F, G lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, ACD, ABD M là điểm

thuộc miền trong của tam giác BCD Kẻ qua M đường thẳng d song song với AB.

a Chứng minh rằng (EFG) // (BCD).

b Tính diện tích của tam giác EFG theo diện tích của tam giác BCD.

c Xác định giao điểm B của đường thẳng d và mặt phẳng (ACD).

Trang 34

d Kẻ qua M các đường thẳng lần lượt song song với AC và AD, cắt các mặt phẳng (ABD), (ABC)

FB tác giả: Huỳnh Văn Khánh

GV phản biện: Anh Thư – Kim Ngọc Nguyễn

a Hình vẽ 1

F

G E

N M

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.

Theo tính chất của trọng tâm tam giác, ta có EF // MN.

Trang 35

I

H

B' A

B

C

D K

Câu 22. Cho hình hộp ABCD A B C D.    có tất cả các cạnh bằng nhau Điểm M di động trên cạnh AB ,

điểm N di động trên cạnh A D sao cho A N 2AM Gọi ( ) là mặt phẳng chứa MNvà songsong với AC Dựng thiết diện của hình hộp bởi ( ) và chứng minh rằng ( ) luôn chứa mộtđường thẳng cố định

Lời giải

FB tác giả: Nguyễn Thị Kim Ngọc

GV phản biện: Huỳnh Văn Khánh

Tiêu đề	Chuyên đề hình học không gian
Trường học	Trường Trung Học Phổ Thông
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	71
Dung lượng	5,96 MB