Chuyên đề tìm max, min 2

CHUYÊN ĐỀ TÌM MAX, MIN HÀM PHÂN THỨC LỚP 8 TỬ LÀ NHỊ THỨC BẬC NHẤT, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI VÔ NGHIỆM LUÔN DƯƠNG HOẶC LUÔN ÂM.. Các thầy cô và các em học sinh thân mến, bài toán tìm GTLN

CHUYÊN ĐỀ TÌM MAX, MIN HÀM PHÂN THỨC LỚP 8

TỬ LÀ NHỊ THỨC BẬC NHẤT, MẪU LÀ TAM THỨC BẬC HAI VÔ NGHIỆM (LUÔN

DƯƠNG HOẶC LUÔN ÂM)

Các thầy cô và các em học sinh thân mến, bài toán tìm GTLN, GTNN của một biểu thức có rất nhiều pp khác nhau: pp đánh giá dựa vào các các tính chất đặc biệt; sử dụng điều kiện có nghiệm của PT

2

x = a

quen thộc trong pham vi toán lớp 8; sử dụng pp dồn tổng với phạm vi toán

9, toán 10 thì ta có thể sử dụng điều kiện có nghiệm của tam thức bậc hai; các BĐT AM-GM, BĐT B-C-S, các bổ đề quen thuộc; toán 12 ta có thể dùng công cụ đạo hàm, casio, Trong phạm vi toán 8 với bài toán tìm GTLN, GTNN của dạng phân thức thì chúng ta găp một số dạng đơn giản

dễ giải quyết như dạng 1, dạng 2 trong nội dung dưới đây, ngược lại chúng ta cũng gặp trở ngại trong định hướng dạng 3(Tử là nhị thức bậc nhất mẫu là đa thức bậc hai luôn dương (luôn âm)), không ít các câu hỏi tại sao? vì sao? trong việc tiếp cận lời giải; tôi viết chuyên đề này với hiểu biết cá nhân mong và hy vọng được cùng các thầy cô và các em được trao đổi và hoàn thiện, hy vọng chúng ta sẽ cùng góp sức để tìm ra pp chung cho bài toán mà tôi đề cập ở chuyên đề này Với khả năng hạn chế , việc trình bày còn nhiều thiếu xót mong thầy cô và các em cảm thông Xin cảm ơn và mong góp ý từ phía thầy cô và các em học sinh thân yêu

1 NHẮC LẠI ĐỊNH NGHĨA GTLN, GTNN: Cho hàm số y= f x( )

xác định trên K:

+ số M là GTLN của y f x= ( )

nếu 0 0

( ) : ( )





Kí hiệu: Max(f(x)) =M⇔ =x x0

+ số m là GTNN của y f x= ( )

nếu 0 0

( ) : ( )

f x m x K





Kí hiệu: Min(f(x)) =m⇔ =x x0

2 CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP:

2.1 A(x) là một hàm đa thức:

+ PP: dùng pp tam thức bậc hai(pp dồn tổng):

( ) n( ) ( ; , )

A = ∞A +k n∈¥ ∞ ∈k ¤

, khi đó:

2 ( ) ( )

2 ( ) ( )

n

n







2

* Mẹo dùng casio Fx 570Vn- plus hoặc Fx580 Vnx để tìm điểm rơi:

VD1: Tìm Min của

2 4 1

A x= − x+

Bước 1 Chế độ màn hình:

Bước 2 Vào SHIPT + MODE + REPLAY: chọn 5 + chọn 1

Bước 3 Vào MODE chọn 7: TABLE và nhập biểu thức

2 4 1

x − x+

, nhấn =

Bước 4 Nhập giá trị ban đầu(Start) bằng -10, giá trị kết thúc (End) bằng 10, bước nhả(Step) bằng 1

? Ở đây các bạn chú ý GTLN,GTNN của một biểu thức thường đạt được tại giá trị của biến thường

từ -10 đến 10 mà rất hiếm khi là con số lớn

Bước 5 Các bạn thấy GTNN của f(x) = -3 ứng với x = 0

Như vậy ta có mẹo thêm bớt như sau:

Thêm 3 vào và bớt đi 3 biểu thức A =

2 4 1

x − x+

,ta được: A = (

2 4 1

x − x+

+3) – 3

(Chú ý GTNN bằng -3 nên ta tách riêng -3 thành một nhóm)

Do đó A =

(x −4x+ − = −4) 3 (x 2) − ≥ − ∀3 3 x

Suy ra Min A( )= − ⇔ =3 x 2

2.2 A(x) là hàm phân thức hữu tỉ thông dụng:

Dạng 1: Tử thức là hằng số, mẫu thức là đa thức bậc hai luôn dương (luôn âm):

+PP:

B.1 Dùng pp tam thức bậc hai đánh giá mẫu theo 2.1

B.2 Sử dụng tính chất BĐT đánh giá nghịch đảo của bước 1 tìm ra max, min của A(x)

VD:

2

3

A

=

B.1

4x −4x+ =5 (4x −4x+ + = −4) 1 (x 2) + ≥ ∀1 1 x

2

3

1 (x 2) 1 x

Vậy Max(A) = 1⇔ =x 2

Dạng 2: Tử và mẫu là đa thức bậc hai:

*TH1 mẫu là đa thức bậc hai luôn dương (luôn âm):

Bài toán tìm max:

2 2

3 14 4

x A x

+

=

+

;

2 2

3 6 10

2 3

B

=

Cách 1:

B.1 Viết :

3 14 ( 4)

A

B.2 Sử dụng phép đồng nhất tìm k, m từ

3x +14=k x( + +4) m k=3, m=2

B.3 Viết lại A với k, m vừa tìm được ở B.2 và đánh giá tìm max(A):

3 14 3( 4) 2 3 2 3 2 3,5.

4

A

max( ) 3,5A x 0

Cách 2: Sử dụng phép chia đa thức một biến và đánh giá

2

3 14 3 2 3 1 3,5

2

max( ) 3,5 0

x

A

+

Cách 3: Sử dụng điều kiện có nghiệm của pt quen thuộc

2

x =a

2

2

3 14

4

x

A

x

+

=

+

Gọi a là giá trị max, min mà A đạt được, như vậy PT

2 (a−3)x +4a−14 0=

(1) phải

có nghiệm

+a≠3

ta có

2 14 4

3

a x

a

−

=

− (2) có nghiệm khi và chỉ khi

14 4 0 3

a a

−

3a 3,5

⇔ 〈 ≤

Vậy max(A)=3,5 khi x=0

* Mẹo dùng casio Fx 570Vn- plus hoặc Fx580 Vnx để tìm điểm rơi:

VD2: Tìm Max của biểu thức

2 2

3 14 4

x A x

+

=

+ Bước 1: làm như VD 1

Bước 2: làm như VD 1

Bước 3 Bước 3 Vào MODE chọn 7: TABLE và nhập biểu thức

2 2

3 14 4

x x

+ + , nhấn =

Bước 4 làm như VD1

Bước 5 Các bạn thấy GTLN của f(x) =

7 2 ứng với x = 0

Như vậy ta có mẹo thêm bớt như sau:

Thêm vào bớt đi vào A giá trị

7 2 , ta được:

Suy ra

7

2

Max A = ⇔ =x

*TH2 mẫu là đa thức bậc hai có nghiệm kép khuyết b và c:

VD3

2 2

4x 2x 1

B

x

=

HD:

C.1: Dox≠0

chia cả tử và mẫu cho

2

x

:

2

4

B

x

Đặt

1 , 0

x

:

B t= − + = −t t + ≥ ∀t

, Min(B) = 3 , t=1, x=1

C.2: làm như C.2 VD1 với PT:

2 (a−4)x +2x− =1 0

+) TH.1: với a=4

, ta có

1 2

x= +) TH.1: với a≠4

, ta có PT:

2

2

4 ( 4)

a x

ĐK có nghiệm: a− ≥ ⇔ ≥3 0 a 3

Min(B) = 3 , x=1

VD3: Tìm Min (B):

2 2

4x 2x 1

B

x

=

HD: các bước hoàn toàn tương tự như trên, các bạn tìm thấy Min (B) =3, khi x =1 Vậy là các bạn có hướng thêm và bớt đi 3 đơn vị vào B:

( )2

1

−

Suy ra Min (B)=3, khi x= 1.

Dạng 3: Tử là nhị thức bậc nhất mẫu là đa thức bậc hai luôn dương (luôn âm):

2 2( , 0)

ax b

+

±

PP tổng quát:

+) Tìm Min(B):

B.1 Viết

ax b k x c dx e B

B.2 Sử dụng PP đồng nhất thức tìm ra các hệ số k,d,e

B.3

2

2

d

+) Tìm Max(B):

B.1 Viết

ax b k x c dx e B

B.2 Sử dụng PP đồng nhất thức tìm ra các hệ số k,d,e

B.3

2

2

d

* Phân tích cơ sở của pp: Đến đây có nhiều câu hỏi thú vị

Ở tử thức vì sao hạng thức thứ nhất lại là

2 2

k x ±c

mà không phải là hạng thức khác? Vì sao hạng thức thứ hai bắt buộc là đa thức bậc hai

2 (dx e+ )

? Vì sao tìm min thì hạng thức thứ hai bắt buộc là

2 (dx e+ )

? Vì sao tìm max thì hạng thức thứ hai bắt buộc là

2 (dx e)

?

* Các ví dụ: Tìm max, min các biểu thức sau

VD4: Tìm min của

2

2 3 4

x B x

+

= + HD: Tìm Min(B)

B.1:

B

B.2: Đồng nhất tìm k, a, b :

1 4 1

2 2

k

b

 = −









= ±







B.3 Viết lại

1( 4) (1 2)

x B

+

2

1

x x

+ +

2

Hy vọng đến đây các bạn đã tìm được lời giải thích có sức thuyết phục vì sao lại xuất hiện

1 4

− ?

vì sao xuất hiện biểu thức

2 1

2

2x

? HD: Tìm Max(B)

B.1:

B

B.2: Đồng nhất tìm k, a, b :

1

1

k

b



 = ±



B.3 Vậy

B

2

( )2

* Chú ý: với phạm vi lớp 8 có thể sử dụng định nghĩa GTLN, GTNN và điều kiện có nghiệm của PT

2

x =a

Trở lại ví dụ trên nhé: Giả sử B đạt GTLN, GTNN là a Vậy PT sau phải có

nghiệm:

2

2 3 4

x a

x

+

=

+

(1) Quy đồng nhân chéo ta được PT:

2 2 4 3 0

ax − x+ a− =

+TH.1: a = 0, ta có

3 2

x= −

+TH.1: a≠0

, ta có

2

2

PT(1) có nghiệm khi và chỉ khi PT (2) có nghiệm ĐK để (2) có nghiệm:

2

2

4

a a

Kết luận: Min(A)=

1

4

4 x

− ⇔ = −

, Max(A)=1, khi x=1

* Mẹo dùng casio Fx 570Vn- plus hoặc Fx580 Vnx để tìm điểm rơi:

VD4: Tìm min của

2

2 3 4

x B x

+

= +

HD: Làm như trên các bạn sẽ thấy GTNN của

1

4

, từ đó các bạn thêm và

1 4

( )2 2

4

x

+

Vậy

1

4

B = − ⇔ = −x

VD5:

2

2 1 2

x A

x

+

=

+ (các bạn làm tương tự)

Chúc các thầy cô và các bạn thành công!Ok