Iii lời giải bài tập tự luyện

CD uuur uuur uuur uuur uuur uuur Mặt khác AB.CD AB AD ACuuur uuur uuur uuur uuur    AB.AD AB.ACuuur uuur uuur uuur AB.. Câu 10: Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có H là trọng tâm

LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Gọi N là trung điểm của CD  MN / /SC

Do đó ·AM;SC ·AM;MNAMN·

Tam giác SAD vuông tại A, có AM SD 2a a

Tam giác ADN vuông tại D, có 2 2 a 5

2

Tam giác SAC vuông tại A, có SC a 5 MN a 5

2

cos AMN

2a

2

Chọn A.

Câu 2: Gọi E là trung điểm của C D   NE / /B D  ·MN; B D  ·MN; NE MNE.·

Dễ thấy NE 1B D a 2

2   2

  ; Gọi O là tâm hình vuông A B C D    MOA B C D   

Suy ra tam giác MNO vuông tại O, có

2

 

 

Tam giác MNE có MN ME a 5

2

2



Câu 3: Ta có cos AB;CD·  AB.CD AB.CD

AB.CD

AB CD

uuur uuur uuur uuur uuur uuur

Mặt khác AB.CD AB AD ACuuur uuur uuur uuur uuur    AB.AD AB.ACuuur uuur uuur uuur

AB AD cos AB.AD AB AC cos AB.AC

uuur uuur uuur uuur  uuur uuur uuur uuur

Do đó

· 

1 AB.CD

1 4



Câu 4: CD / /AB ·AM;CD ·AM; AB MAB MBA· ·

cos AM;CD cos MBA

SB

Theo bài S.ABCD ABCD 2

· 

SB 2

Chọn A.

Câu 5: Ta có AM 1AS AB

2

uuur uur uuur

và SD AD ASuur uuur uur 

 uuur uur uur uuur uuur uur   

    ; SD SA2AD2 6

AM.SD 4

uuur uur

Chọn C.

Câu 6: Gọi H là trung điểm của cạnh BC  A H ABC

 

·AA ; ABC  A AH 45· 

HAA

  vuông cân tại H  HAAH

2



Ta có: AA AH 2 3 22 2







cos BB ; A C  cos AA ; A C  cos AA C

   

Câu 7: Ta có CD / /AB ·AM;CD ·AM; AB MAB·

2AM.AB

Cạnh BM 1SB 1 SA2 AB2 a .

Ta có SM 2MBuuur uuur AM AS 2 AB AMuuur uur  uuur uuur 

· 

Câu 8: Cạnh AB SA2AB2 a 3

Kẻ SHAB H AB  SHABCD 

Cạnh

2

+) SO HO HS AO AH HS 1AC 1AB HS

uur uuur uur uuur uuur uur uuur uuur uur

 uuur uuur  uuur uur  uuur uuur uur

uuur uuur uur uuur

+)

2

+) 12 12 12 SH a 2 SO a 2 cos SO;CD·  SO.CD 2

uur uuur

Chọn D.

Câu 9: Ta có SC AC AS AB AD AS.uur uuur uur uuur uuur uur    

+) MN SN SM 1SB 2SD

uuur uur uuur uur uur

 uuur uur  uuur uur  uuur uuur uur

+) SC SA2AC2  2a22a2 2a

+) MN 1AB 2AD 1AS

uuur uuur uuur uur

· 

uuur uur

Chọn A.

Câu 10: Gọi O là giao điểm của AC và BD ta có H là trọng tâm của tam giác ABD.

+) Đặt SH x ta có:

AC

3

+)

2

 

  +) DH 2DM a 5

3

  suy ra SA2 h22a2,

2 2 2

SD h 5a , AD2 9a2

+) Do đó ta có: SA2SD2 AD2  h a

Ta dựng HK / /SC khi đó: ·DM;SC ·DH; HK

SC SH HC  a 8a 3a HK a, DH a 5, 

Mặt khác:

2

Do đó cos DHK· DH2 HK2 DK2 2 cos DM;SC·  2 .

Câu 11: Dựng GE / /AD CE 2ED.

Khi đó GECD

Mặt khác SGCD SEG 60·   ; GE 2AD 2a

Suy ra SG GE tan 60 2a 3 h

3

+) Trong mp(SAC) dựng GK / / SA

+)

2 2

Nhận xét BO AC BO OK BK BO2 OK2

BO SG











+) Do đó cos KGB· GB2 GK2 BK2 1 cos SA; BG  

Câu 12: Kẻ ME NDP , với E AD

  ·  ·

2

Do SA2SB2 AB2  SAB vuông tại S

AB 2a

Kẻ SHAB SHABCD SHAD mà ABAD.

2

+) Xét SME với ME a 5

2

 , SE a 5

2

 , SM a , ta có

2.a

2

Chọn D.

Câu 13: Ta có: SAABCD SAAB

Mặt khác AB AD  ABSAD 

Do đó góc giữa SB và (SAD) là góc ·BSA Chọn B.

Câu 14: Do AC AB AC ABD 











Khi đó góc giữa CD và (ABD) là góc ·CDA

Tương tự ADABC góc giữa CD và (ABC) là ·DCA

 

AC ABC  góc giữa AC và (ABD) là góc ·CAB 90  

Khẳng định B sai (kẻ AHBCD góc giữa AC và (BCD) là góc

·ACH Chọn D.

Câu 15: Ta có ABCD là hình thoi nên: AOBD

Mặt khác SAABCD SABD

Do đó BDSOA 

Dựng AH SO AH SO AH SBD







 Khi đó góc giữa SA và (SBD) là ·ASH ASO.· Chọn C.

Câu 16: Do các tam giác ABC đều và SBC đều nên SHBC; AHBC và SH AH a 3

2

Do SHABC  góc giữa SA và (ABC) là ·SAH.

Mà tan SAH· SH 1 SAH 45 ·

AH

Câu 17: Do SAABCD  SABC

Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên BCAB

Suy ra BCSAB góc giữa SC và (SAB) là ·CSB

Chọn B.

Câu 18: Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (ABC).

Theo giả thiết ta có: ·SAH ABH SCH· ·

Khi đó SAHSBHSCH HA HB HC. 

Vậy H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chọn B.

Câu 19: Gọi S.ABC là hình chóp tam giác đều thì hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC và cũng là trọng tâm tam giác ABC

Gọi H là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm của AC

Khi đó BH 2AM 2 AB 3 AB 3

Lại có: ·SBH 60 BH SBcos 60 a AB 3 a

a 3

AB

2

   chu vi đáy P của hình chóp đó là

3a 3

P 3AB

2

Câu 20: SAABCD ·SC; ABCD   SCA.·

Do ABCD là hình vuông cạnh a  AC a 2.

Tam giác SAC vuông tại S nên SC SA2AC2 2a 2

Khi đó cos AC 1

SC 2

   Chọn D.

Câu 21: Gọi H là trung điểm của BC thì SHABC và AH BC a

Góc giữa SA và (ABC) là ·SAH , tan SAH· SH 3

HA

Do đó ·SAH 60  Chọn C.

Câu 22: Do SAB là tam giác đều nên H là trung điểm cạnh AB Ta có:

SHAD mà ABCD là hình vuông nên ADAB ADSBA 

Trong tam giác đều SAB dựng đường cao BK  K là trung điểm của

SA

Lại có: ADBK BKSAD  BDK.·

Đặt AB a BD a 2; BK a 3

2

Do đó sin BK a 3: a 2 6

Câu 23: Do BD AC BD SAC 

BD SA











Do đó góc giữa BD và (SAC) là 90

Mặt khác IK / /SA

KJ / / SC





 (tính chất đường trung bình)

Suy ra IJK / / SAC   BDIJK 

Vậy góc giữa BD và (IJK) là 60  C sai Chọn C.

Câu 24: Ta có BC SA BC SAH











Tương tự BC SA BC SAK

BC SK









Lại có: BH SA BH SAC BH SC











Khi đó BH SC SC BHK SC HK

BK SC











Mặt khác HKBC HKSBC  Số đo góc giữa HK và (SBC) là 90 Chọn B.

Câu 25: Do CC ABCD góc giữa A C và (ABCD) là góc

C AC tan



     Chọn B.

Câu 26: Do SAABCD  SABC

Mặt khác ABCD là hình chữ nhật nên BCAB

Suy ra BCSAB góc giữa SC và (SAB) là  ·CSB

Khi đó tan BCSB BC2 2 a 1

Câu 27: Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SOABCD 

Gọi H là trung điểm của OC

Do M, H lần lượt là trung điểm của SA, OC  MH là đường trung

bình trong SAO MH / /SO

Lại có: AC a 2 HC 3AC 3a 2;CN a

8

MHN

 vuông cân tại H HM HN a 10

8

a 10

SO 2MH

4

Câu 28: Ta có BC SA BC SAH











Tương tự BC SA BC SAK

BC SK









Lại có: BH SA BH SAC BH SC











Khi đó BH SC SC BHK 90









Câu 29: Ta có SMABCD  Dựng NKMC

Khi đó NK SM NK SMC











Lại có: SM a 3; MN 1BD a 2

2

ABCD

a 5

2

Câu 30: Gọi H là trung điểm AB SHABCD 

Khi đó BC SH BC SAB 











Dựng AK SB  AKSBC

Do AD / /BC AD / / SBC 

 

2

SD SH HD  SH AH AD a 2

Khi đó sin SD; SAB·    d D; SBC    6

Câu 31: Ta có BC SA BC AP









 Lại có: AP SB  APSBC AP SC.

Tương tự AQ SC  SCAPQ Dựng AN SC

Gọi I CM NQ CNAPQ ; CM; APQ ·   CIN.·

Ta có cos NCI· SC2 CM2 SM2

2.SC.CM



Trong đó SC a 5;SM a. 

·



sin NCI 1 cos NCI cos CIN cos

10

Câu 32: Do d   , 1   d2         · ;   d ;d·1 2 Chọn B.

Câu 33: Ta có SAABC SABC

   





(SBC) và mặt phẳng (ABC) bằng góc ·SBA Chọn B.

Câu 34: Dựng AKBC, do tam giác ABC đều nên

AB 3

2

   







góc tạo bởi hai mặt phẳng

(SBC) và (ABC) là góc ·SKA

Mặt khác tan SKA· SA 2 SKA 49,6·

Câu 35: ABCD là hình thoi nên ACBD tại O

   







Suy ra ·SBD ; ABCD    SOA· tan SOA· SA a 1

AO a

Vậy ·SBD ; ABCD    SOA 45·   Chọn C.

Câu 36: Ta có công thức: S Scos

Trong đó  là góc giữa mặt phẳng (P) và (ABC)

Do đó: SA B C  SABCcos Chọn B.

Câu 37: Do SAABC ABC là hình chiếu của SBC trên mặt phẳng

(ABC) Mặt khác   ·SBC ; ABC    

Ta có công thức: SABC SSBC.cos Chọn A.

Câu 38: ABCD là hình vuông nên ACBD tại O

Lại có SAABCD BD SA  BDSOA

Do đó ·SBD ; ABCD    SOA· Chọn A.

Câu 39: Gọi dSAB  SCD

Do AB / /CD d / /AB / /CD

Ta có: SAABCD SAAB

Lại có: ADAB ABSAD

Vì d / /AB dSAD  góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)

bằng góc giữa SA và SD Chọn A.

Câu 40: SAABCD SAAB

Lại có: AB AD  ABSAD SAB  SAD

Do đó góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng 90 Chọn C.

Câu 41: SAABCD SA CD

Mặt khác CDAD CDSDA

Mà CDSCD  ABCD  ·SCD ; ABCD   SDA·

Lại có: tan SDA· SA 3 SAD 60·

AD

Câu 42: SAABCD SA CD

Mặt khác CDAD CDSDA  SCD  SAD

 góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (SAD) bằng 90

Chọn A.

Câu 43: ABCD là hình vuông nên BDAC

Mặt khác SAABCD SABD

Do đó BDSAC BD SC

Lại có: OH SC  SCBHD

Mà SCSBC  SCD góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (SCD) bằng góc giữa BH và DH Chọn D.

Câu 44: Ta có ·SBC ; ABCD   SMO·  , trong đó SBC đều nên

a 3

SM

2



Lại có: AM a 3 OM AM a 3



Câu 45: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Dựng OKCD CDSKO góc giữa mặt bên (SCD) và mặt

phẳng đáy của chóp bằng ·SKO

SCD

 đều cạnh a SK a 3;OK AD a

Do đó tan SKO· SO SK2 OK2 2



Câu 46: Tam giác ABC vuông cân tại B nên AC AB 2

Suy ra AB a 2

Mặt khác SAABCD SABC mà ABBC

Do đó BCSBA  ·SBC ; ABC   SBA·

Lại có: tan SBA· SA a 6 3 SBA 60·

AB a 2

Câu 47:  

       

·

SAB ; SAD BAD









Do AB AD BD 2a    ABD đều nên ·BAD 60 

Vậy ·SAB ; SAD     60 Chọn A.

Câu 48: Do ABCD / / A B C D     

Do đó  ·A BD ; A B C        ·A BD ; ABC     

Gọi O là tâm hình vuông ABCD AOBD

Mặt khác BDAA BDA AO 

Do đó  ·A OA

Đặt

AA a

OA

2

 





  







suy ra

tan

OA a 2

2



  

       Chọn A.

Câu 49: SACAB ·SAC ; SAB    CAB·

Do tam giác ABC đều nên ·CAB 60  Chọn C.

Câu 50: Do ABCD là hình thoi nên ACBD

Mặt khác SCABCD SCBD

Do đó BDSAC SBD  SAC 

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) bằng 90 Chọn C.

Câu 51: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Dựng OKCD CDSKO góc giữa mặt bên (SCD) và mặt phẳng

đáy của chóp bằng ·SKO 

Ta có: OK AD a;CK a

2

       Chọn A.

Câu 52: Dựng MKCD, do SMABCD SMCD

Khi đó ta có:    

 









·   

 SCD ; ABCD  SKM·

Do SAB đều nên SM a 3, MK AD a

2

        Chọn C.

Câu 53: Ta có









với  30 là góc tạo bởi mặt bên và mặt

đáy

Do đó diện tích đáy bằng đ x

2 q

S S cos 90.cos30 78cm

Chọn D.

Câu 54: Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

Mặt khác BDAC BDSAC MBD  SAC

nên góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (SAC) bằng 90 Chọn C.

Câu 55: Ta có BDSBD  ABCD

Dựng AHBD, mặt khác SAABCD SABD

Do đó BDSHA  ·SBD ; ABCD    SHA·

AH 5



Chọn A.

Câu 56: Ta có ABC / / A B C    

·   

 A BC ; A B C      ·A BC ; ABC    

Lại có ABBC mà AABC BCA AB 

Khi đó ·A BC ; ABC   ·A B; AB  A BA· 

Tam giác A AB vuông tại A, có cos A BA· AB 1 A BA 60·

A B 2

 Vậy  60 Chọn D.

Câu 57: Gọi H là trung điểm AB SHAB SHABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC, BM

Ta có AMBC mà HN / /AM HNBC

Lại có SHBC BCSHN  ·SBC ; ABC   SNH·

Tam giác SHN vuông tại H, có

Vậy  63 26 Chọn D.

Câu 58: Gọi O là tâm hình vuông ABCD

Ta có MABD; ACBD BDMAO

Khi đó  ·MBD ; ABCD    ·MO;OA MOA·

Tam giác MAO vuông tại A, có





Câu 59: Gọi M là trung điểm AB  ADCM là hình vuông

Khi đó AC a 2 ; AMAB và AB 2a  ACBC

Mà SABC BCSAC  ·SBC ; ABCD   SCA·

Tam giác SAC vuông tại S, có tan SCA· SA 2.

Vậy tan SBC ; ABCD·     2

2

 Chọn B.

Câu 60: Ta có SA là đường cao  SAABC

Lại có SAB  SAC SA;    

   





 Suy ra  ·SAB ; SAC    ·AB; ACBAC·

Tam giác ABC vuông tại B, có tan BAC· BC 1

Câu 61: Ta có SABC mà AB BC  BCSAB

Lại có SBC  ABCD BC;    





 Suy ra ·SBC ; ABCD    ·SB; AB SBA·

Tam giác SAB vuông tại A, có tan SBA· SA 3

AB

Câu 62: Gọi M là trung điểm của BC

 ABC cân tại A AMBC (1)

 BCD cân tại D DMBC (2)

Từ (1), (2) suy ra BCADM   ·ABC ; BCD    AMD·

2

2

Xét tam giác ADM có AM DM a 2

2

2



Suy ra cos AMD· AM2 DM2 AD2 1 AMD 120 ·

Vậy  ·ABC ; BCD   180 120 60 Chọn B.

Câu 63: Kẻ AHBDH BD  mà SABD BDSAH

Ta có    

·

SBD ; ABCD SHA







Tam giác ABD vuông tại A, có

AH

2

 Tam giác SAH vuông tại A, có tan SHA· SA 2 3

AH

  Chọn C Câu 64: Chọn  60 Gọi O là tâm hình vuông ABCD

  ·    ·  ·

Tam giác SAO vuông tại O, có tan SAO· SO SO a 6

Gọi M là trung điểm AB ABSMO

Suy ra  ·SAB ; ABCD    ·SM;OM SMO· 

Tam giác SMO vuông tại O, có tan SMO· SO 6

OM

tan 2 tan

    Chọn B.

Câu 65: Chọn AA 4AB 2AD 4 AA 4; AB 1

AD 2









Kẻ AHBDH BD  mà AABD BDA AH 

A AH A BD  A H ·A BD ; ABCD    A AH·







Tam giác ABD vuông tại A, có AH AB.AD2 2 2 5

5

 Tam giác A AH vuông tại A, có tan SHA· A A 2 5

AH



Câu 66: Gấp miếng bìa ta được hình hộp chữ nhật ABCD.A B C D   

Theo giả thiết, ta có AA 30, ABCD là hình vuông cạnh 10

Ta có ADAB; AAAB ABADD A 

·   

 ABC D ; ABCD   ·D A; AD  D AD·

Tam giác D AD vuông tại D, có tan D AD· DD 3

AD



Suy ra ·D AD arctan 3 71 33     Vậy  71 33 Chọn D.

Câu 67: Đặt SA SB SC a  

 Tam giác SAB có ·ASB 120   AB 3

 Tam giác SBC có ·BSC 90   BC 2

 Tam giác SCA có ·CSA 60   AC 1

Suy ra AC2BC2 AB2 ABC vuông tại C

Do đó, hình chiếu H của S trên (ABC) là trung điểm AB

Gọi M là trung điểm BC HM / /AC HMBC

Mà SHBC BCSHM  ·SBC ; ABC    SMH·

Tam giác SHM vuông tại H, có tan SMH· SH 1

HM

Vậy ·SMH 45   ·SBC ; ABC    45 Chọn C.

Câu 68: Đặt SA SB SC a  

 Tam giác SAB có ·ASB 120   AB 3

 Tam giác SBC có ·BSC 90   BC 2

 Tam giác SCA có ·CSA 60   AC 1

Suy ra AC2BC2 AB2 ABC vuông tại C

Do đó, hình chiếu H của S trên (ABC) là trung điểm AB

Gọi M là trung điểm AC  HM / /BC HMAC

Mà SHAC ACSHM  ·SAC ; ABC   SMH·

Tam giác SHM vuông tại H, có tan SMH· SH 1

Vậy tan SBC ; ABC ·     1

2

 Chọn A.

Câu 69: Kẻ OH SC H SC  mà BD SC  SCHBD

Ta có HBD  SCD HD; HBD  SBCHB

Suy ra  ·SBC ; SCD    ·BH; DH BHD· 60

180 60 120







 TH1 ·BHD 60  mà BH DH  HBD đều  BH a 2

Tam giác SAB vuông tại A SB2 SA2AB2 x2a2

Tam giác SBC vuông tại B 12 12 12

a 2

 vô nghiệm (loại)

BH DH BH a 2 : 3

3

Tam giác SAB vuông tại A SB2 SA2AB2 x2a2

Tam giác SBC vuông tại

Câu 70: SAAMN  ·SAM ; SAN   MAN 45·  

Lại có ·BAM MAN NAD 90· ·    BAM NAD 45· ·  

Khi đó tan 45 tan BAM NAD· ·  tan BAM tan NAD· · ··

1 tan BAM.tan NAD





BM ND

a x a y a x a y

AB AD





Chọn A.