Gt12 c4 b4 pt bậc hai với hệ số thực pb

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC Thời lượng dự kiến: 2 tiết Facebook GV1 soạn bài: Đỗ Ngà.. Từ đó GV giới thiệu khi giải phương trình trên tập số phức thì các phương trình bậc hai luô

GIẢI TÍCH 12 – CHƯƠNG 4

§4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Thời lượng dự kiến: 2 tiết Facebook GV1 soạn bài: Đỗ Ngà.

Facebook GV2 soạn bài: Võ Chí Công.

Facebook GV3 phản biện lần 1:Trương Quang Thiện

A PHẦN KIẾN THỨC CHÍNH

 VD MỞ ĐẦU:

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, giải phương trình:

a) x2 2x  b) 5 0 x2 2x 5 0 c) x  2 1 0

HS dễ dàng tìm ra câu trả lời

Từ đó GV giới thiệu khi giải phương trình trên tập số phức thì các phương trình bậc hai luôn có nghiệm

Từ đó giới thiệu nội dung

I CĂN BẬC HAI CỦA SỐ THỰC ÂM

+) b là căn bậc hai của số thực a âm khi: b2 a a( 0)

+) Ta có a 0 a i a 2.

+) Vậy căn bậc hai của số thực (a a 0)là: i a

 VD1: Tìm căn bậc hai các số sau: 1; 2; 4; 9; 13;0;1; 4.    

Lời giải

Các số trên viết lại là: i2.1; 2; 4; 9; 13;0;1; 4.i2 i2 i2 i2

Suy ra: Căn bậc hai của các số trên lần lượt là:

; 2; 2 ; 3 ; 13;0; 1; 2

Nhận xét: Nếu a  thì các căn bậc hai của a là 0  a

Nếua  thì căn bậc hai số 0 là 0.0

Nếu a0 (a i a 2 ) thì các căn bậc hai của số thực a: i a

II PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Cho pt bậc hai ax2bx c 0 (a0; , ,a b c )

Tính:  b2 4ac

* = 0, phương trình có 1 nghiệm thực 2

b x

a



*  > 0, phương trình có 2 nghiệm thực:

1,2

2

b x

a

  



* < 0, phương trình có 2 nghiệm phức:

1,2

2

b i x

a

  



Chú ý:

Phương trình bậc hai: a z 2b z c  0(a0)  b2 4 .a c0

Có hai nghiệm phức phân biệt: 1 2. ; 2 2. .

+) Khi đó 1 2 ; 1 2 ; 1 2.

+) Hai số z z ( nếu có) lần lượt có tổng là S, có tích là P thì là nghiệm của phương trình bậc hai 1; 2 sau: x2 Sx P  0

 VD 2: Giải phương trình bậc hai sau trên tập số phức: z2 2z 5 0

Lời giải

Ta có    22 4.1.516i2.16; 0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:

z     i z     i

 VD 3: Giải phương trình x2   trên tập số phức.x 1 0

Lời giải

Ta có   12 4.1.1 3 3i2  0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:

III CÁC DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP.

1 Câu hỏi lí thuyết về phương trình trên tập 

 VD 4: Tìm nghiệm của phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) x   b) 2 4 0 x22x10 0

Lời giải

a) Ta có: x2  4 0 x2  4 x 2i

b) Ta có:   ' 12 1.109 9. i2  0

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt: x1  1 3 ;i x2  1 3 i

2 Tính toán biểu thức các nghiệm.

 VD 5: Trên tập hợp số phức Gọi z z (1, 2 z là số phức có phần ảo âm ) lần lượt là nghiệm của 1 phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z   Tính 2 1 0 z12z2

b) z2 2z  Tìm mô đun của số phức: 5 0 2z1 z2 i

Lời giải

a)

1 2

2

z i









b)

1 2

1 2 2

1 2

1 2

 



 



3 Ứng dụng định lí viet vào các nghiệm

 VD 6: Cho các số phức z1 3 2 ,i z2  3 2i Tìm phương trình bậc hai có các nghiệm z z ?1, 2

Lời giải

Ta có:

1 2

6

6 13 0 13

z z

z z







 là phương trình bậc hai cần tìm

 VD 7: Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình:1, 2 2z2 3z  3 0

Tìm giá trị của z12z22?

Lời giải

Theo viet:

1 2

1 2

3 2 3

2

b

z z

a c

z z a



  







Khi đó:

2 2

2 2

z z  z z  z z     

4 Biểu diễn hình học các nghiệm của phương trình trên mặt phẳng phức.

 VD 8: Trên tập hợp số phức cho phương trình z2 2z50 0 Gọi z z là hai nghiệm phức 1, 2 của phương trình (z là số phức có phần ảo âm) Tìm điểm biểu diễn hình học của số phức1

w z 2z  trên mặt phẳng phức Oxy ? i

Lời giải

Ta có:

1 2

2

1 7

2 50 0

1 7

 



      

Suy ra w (1 7 ) 2(1 7 )  i   i   i 3 6 i

Vậy M w 3;6

 VD 9: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 1 z22z  Tìm điểm biểu 2 0 diễn hình học của số phức liên hợp của số phức w (1 2 )  i z1?

Lời giải

Ta có:

1 2

2

1

2 2 0

1

 



      

Suy ra w (1 2 )  i z1 (1 2 )( 1 ) 1 3i   i   i w 1 3   i

Vậy M w 1;3

5 Hệ phương trình số phức.

 VD 10: Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện: z1  z 1 5?

Lời giải

Gọi z a bi a b  ( ,  )

Ta có:

2 2

2

2 2

0

2 4

a

b b









 VD 11: Cho số phức z thỏa mãn z z z.  2 và z 2 Số phức wz2 z 3i bằng?

Lời giải

Gọi z a bi a b  ( ,  )

Ta có:

2 2

2

2 2

2 w 2 2 3 2 3 0

4

b







B LUYỆN TẬP

I Chữa bài tập SGK

Bài 1 trang 142 - SGK: Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: 7; 8; 12; 20; 121.    

Lời giải

Căn bậc hai của -7 là i 7;

Căn bậc hai của -8 là 2 2i ;

Căn bậc hai của -12 là 2 3i ;

Căn bậc hai của -20 là 2 5i ;

Căn bậc hai của -121 là 11i ;

Bài 1 trang 143 - SGK: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a)3x22x  ;1 0

b)7x23x  ;2 0

c)5x2 7x11 0

Lời giải

a)3x22x  ;1 0

Ta có    ' 12 ( 3).( 1) 2 2 i2  0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:

;

b)7x23x  ;2 0

Ta có  ' 32 4.7.247 47 i2  0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:

;

c)5x2 7x11 0

Ta có   ' ( 7)2 4.5.11171 171 i2  0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:

C Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Một căn bậc hai của 3 là

Lời giải Chọn C

Câu 2: Giải phương trình z2 z  trên tập số phức.1 0

A

3 1

2 2

B z 3 i C z 1 3i D

2 2

Lời giải Chọn D

z  z 

Ta có   '  12 4.1.1 3 3i2  0

Vậy phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt:

;

Câu 3: Gọi z và 1 z là 2 nghiệm phức của phương trình 2 z2 2z  , trong đó 5 0 z có phần ảo1

dương Tìm số phức w(z1z z2) 2

A w 2 4i B w 2 4i C w 2 4i D w 2 4i

Lời giải Chọn A

Ta có z2 2z 5 0   z1 1 2 ;i z2  1 2i (z1z z2) 1 2 4i

Câu 4: Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z 2 2z 5 0  Giá trị của

z  z bằng

Lời giải Chọn A

Ta có

2

z     z   i z   i z  z   

Câu 5: Kí hiệu z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z 2 6z 18 0  Tính giá trị của biểu thức

P z z

bằng

Lời giải Chọn B

1 2

3 3

3 3

 



 

Câu 6: Kí hiệu z ,1 z là hai nghiệm của phương trình 2 z   Gọi M , N lần lượt là điểm biểu2 4 0

diễn của z ,1 z trên mặt phẳng tọa độ Tính T OM ON2   với O là gốc tọa độ.

Lời giải Chọn D

1 2

2

2

4 0

2

z





    

Khi đó: M0;2

, N0; 2 

Vậy T OM ON     2 2 4

Câu 7: Gọi z z là nghiệm phức của phương trình 1, 2 z2 5z  Giá trị 8 0 z12z22 bằng

Lời giải Chọn B

Vì z z là nghiệm phức của phương trình 1, 2 z2 5z  nên 8 0

1 2

1 2

5 8

z z

z z

 







Suy ra 2 2  2 2

1 2 1 2 2 1 2 5 2.8 9

z z  z z  z z   

Câu 8: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 0 z2 4z  Trên mặt phẳng tọa8 0

độ Oxy , điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn của số phức iz0?

A Q2;2. B M  2; 2. C P   2; 2. D N2; 2 

Lời giải Chọn B

Ta có

4 8 0

2 2

 



      



Vì z là nghiệm phức có phần ảo dương 0  z0  2 2i iz0 i2 2 i 2 2i

Vậy điểm biểu diễn số phức iz là 0 M  2;2

Câu 9: Kí hiệu z z là hai nghiệm phức của phương trình 1, 2 z2 2z  Giá trị của 4 0 1 2

z  z bằng

1

1

2

Lời giải Chọn C

Ta có    1 4 3  3i2 z1 1 i 3;z2  1 i 3

2 2

Câu 10: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình 0 z2 2z  Môđun của số phức5 0

0

z  bằngi

Lời giải Chọn B

2 5 0

1 2

 



      

Do z là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình đã cho nên 0 z0  1 2i

Câu 11: Gọi z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình 0 z22z10 0 Môđun của số

phức z0 bằngi

Lời giải Chọn B

2 10 0

1 3

 



      

Do z là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình đã cho nên 0 z0  1 3i

      

z  i    i    

D BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Câu 12: Trong  , nghiệm của phương trình z   là:3 8 0

A z12;z2  1 3 ;i z3 1 3i B z12;z2  1 3 ;i z3  1 3i

C z12;z2  1 3 ;i z3  1 3i D z12;z2  1 3 ;i z3  1 3i

Câu 13: Hai giá trị x1 a bi x; 2  a bi là hai nghiệm của phương trình:

A x22ax a 2b2  0 B x2 2ax a 2 b2  0

C x2 2ax a 2b2  0 D x2 2ax a 2 b2  0

Câu 14: Trong  , nghiệm của phương trình z24z  là:5 0

A z  2 i B z  2 i C

2 2

 



  

 D z  2 i

Câu 15: Trong  , phương trình z   có nghiệm là:4 1 0

A 1; 2i  B   2; 2i C   3; 4i D   1; i

Câu 16: Biết z z là hai nghiệm của phương trình 1; 2 2z2 3z  Khi đó giá trị của 3 0 z12z22 là:

A

9

9 4



Câu 17: Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình 1; 2 z2 4z  Khi đó phần thực của 5 0 z12z22

là:

Câu 18: Gọi z z là hai nghiệm phức của phương trình1; 2 z22z  Khi đó 4 0 A| |z1 2 |z2|2 có giá

trị là

A  7 B – 8 C 4 D 8.

Câu 19: Tìm các căn bậc hai của 9

Câu 20: Trong  , phương trình z   có nghiệm là:4 4 0

A  1 4 ;i  1 4i

;  1 2i

C  1 3 ;i  1 3i

;  1 i

Câu 21: Căn bậc hai của số phức 4 6 5i là:

A  3 5i

B 3 5i

C  3 5i

Câu 22: Trên tập hợp số phức, phương trình z27z15 0 có hai nghiệm z z Giá trị biểu thức1, 2

1 2 1 2

z z z z là:

Câu 23: Giả sử z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 z2 2z   và A, B là các điểm biểu diễn của5 0

1, 2

z z Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

A I1;1

B I  1;0

C I0;1

D I1;0

Câu 24: Cho phương trình z2mz 6i Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 50

thì m có dạng ma bi a b   ,   Giá trị  a2b là:

Câu 25: Cho phương trình z2 mz2m   trong đó m là tham số phức Giá trị của m để phương1 0

trình có hai nghiệm z z thỏa mãn 1, 2 2 2

z z  là:

A m 2 2 2i B m 2 2 2i C m 2 2 2i D m 2 2 2i

Câu 26: Gọi z z là hai nghiệm của phương trình 1, 2 z2 2z  Trong đó 6 0 z có phần ảo âm Giá trị1

biểu thức M z1  3z1 z2 là:

A 6 2 21 B 6 2 21 C 6 4 21 D 6 4 21