Đs9 cđ7 hàm số bậc nhất 2

Viết phương trình đường cao từ đỉnh C của ABC... Lập phương trình đường thẳng  d , biết  d Đi qua điểm A1; 2 và cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ dương, cắt trục tung tạiđiểm

Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng

A Kiến thức cần nhớ

1 Phương trình của chùm đường thẳng đi qua một điểm

Dạng tổng quát: y k x x   0y k0  0

2 Phương trình của đường thẳng đi qua 1 điểm M x y 0 ; 0 và song

song với đường thẳng y ax b a   0 là y a x x   0y0

3 Phương trình đường thẳng đi qua M x y 0 ; 0 và vuông góc với

y y a

Trên hệ trục tọa độ cho A2;2 và B6;4 Hãy tìm trên trục hoành sao cho ABC cân tại

C Viết phương trình đường cao từ đỉnh C của ABC

Nếu I là trung điểm của MN thì

2 2

y y y

Giả sử đường thẳng đi qua M2;1 là: y k x   2 1  d3

Với điều kiện k 0

y k

6 2 2

B B

k x

k d

k y k

M là trung điểm của AB nên

Điểm D thuộc đường thẳng CD và CD AB

Gọi D x y 0 ; 0, theo như nhận xét trên ta có:

Bài 5: Học sinh giỏi Tỉnh Hưng Yên, năm học 2016 - 2017Cho hàm số y ax b a   0 có đồ thị là  d Lập phương trình đường thẳng  d , biết  d

Đi qua điểm A1; 2 và cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ dương, cắt trục tung tạiđiểm C có tung độ dương và thỏa mãn OB OC nhỏ nhất (O là gốc tọa độ)

Lời giải

Do  d đi qua A1; 2 thay giá trị x y, vào ta được a b 2

Do  d cắt trục hoành tại điểm B có hoành độ dương khi đó ta có 0 0

Vậy phương trình đường thẳng  d :y 2x 2 2

Bài 6: Học sinh giỏi Tỉnh Đắc Lắc, năm học 2015 - 2016Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M1;2 và cắt hai tia Ox Oy, lần lượt tại haiđiểm A và B khác gốc tọa độ O và thỏa mãn OA OB 6

Lời giải

Gọi phương trình đường thẳng cần tìm là y ax b 

Do đường thẳng đi qua điểm M1;2 nên ta có a b 2

Do đường thẳng cắt các trục Ox Oy, lần lượt tại A và B nên ta có

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn bài toán là y x 3 và y2x4

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG TOÁN

a) Viết được phương trình đường thẳng AB y: 3x 5

Nhận thấy điểm C và điểm D đều thuộc đường thẳng AB

Điểm D thuộc đường thẳng CD và CD AB

Gọi D x y 0 ; 0, theo nhận xét trên ta có        

 

0

0 2

Từ giả thiết A a ;0 , B0;b với a b , 0

Ta thấy  d đi qua điểm M1;2 a b  2 b 2 a

a) Tìm điểm cố định mà đồ thị đi qua với mọi m

b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và hai trục tọa độ

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua M và gốc tọa độ

- Viết phương trình đường thẳng d đi qua hai điểm M1 2;1 , M21; 4

Với M 3 1; 2, thay x1;y2 vào ta được 2 1 3 (đúng)

b) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số đó luôn đi qua điểm cố định

c) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng d bằng

1 2

d) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng là lớn nhất

c) A B, là giao điểm của đường thẳng d vưới trục hoành và trục tung

Tính được

; 1

OH lớn nhất bằng OM khi H M

Đường thẳng OM có dạng y ax

Vì M1;1OM  1a 1   a1

Vậy phương trình đường thẳng OM là yx

Để đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OM thì m1 1   1 m2

Vậy với m 2 thì khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng là lớn nhất

Bài 4: Chuyên Thái Bình vòng 1, năm học 2019 - 2020Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng    2 

Vì d1 cắt d2 tại M x y M; M nên x M là nghiệm của phương trình:

Thay

1 1

Vậy d d' với mọi m

Vậy giao điểm của hai đường thẳng nói trên nhìn đoạn thẳng AB cố định dưới một gócvuông nên thuộc đường tròn đường kính AB khi m thay đổi

Bài 6: Học sinh giỏi Bà Rịa Vũng Tàu, năm học 2018 - 2019Cho hai đường thẳng  d1 :mxm 2y m   2 0 và   d2 : 2  m x my m    2 0 

a) Tìm điểm cố định mà đường thẳng  d1 luôn đi qua và điểm cố định mà  d2 luôn điqua với mọi m

b) Chứng minh hai đường thẳng  d1 ,  d2 luôn cắt nhau tại một điểm I và khi m thay đổithì I luôn thuộc một đường tròn cố định

Lời giải

a) Tìm được các điểm cố định mà  d1 và  d2 luôn đi qua với mọi m là A2;1 ; B1;2b) Ta chứng minh    d1  d2

- Nếu m 0 : d1 : 2  y  2 0 là đường thẳng song song Ox

 d2 : 2x  2 0 là đường thẳng song song Oy

Vậy    d1  d2

- Nếu m 2 : d1 : 2x  2 0 là đường thẳng song song Oy

 d2 : 2y  2 0 là đường thẳng song song Ox

Mà A B, là hai điểm cố định nên AIB 900

I

 thuộc đường tròn đường kính AB cố định

Bài 7: HSG Vĩnh Lộc, năm học 2019 - 2020Cho các đường thẳng y2m 1x 4m 1;y 2m2   1 m2 m 1x 2m và

3m 1x2 2  m y  1 Chứng minh rằng các đường thẳng trên cùng đi qua một điểm cốđịnh

Do đó, đường thẳng y2m1x 4m1 luôn đi qua điểm cố định M2;3

Với x2;y3 thay vào đường thẳng 3m1 x2 2 m y 1 ta được:

2 3m 1  3 2 2  m    1 1 1 đúng với   m

Vậy đường thẳng 3m1x2 2 m y 1 luôn đi qua M2;3 ,   m

Vậy ba đường thẳng đã cho cùng đi qua một điểm cố định là M2;3

Bài 8: Chuyên Quảng Ngãi, năm học 2019 - 2020Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng  d :ym2x m 1 và

 d' :xm 2 y m  2 (m là tham số) Chứng minh rằng giao điểm của hai đường thẳngtrên thuộc một đường cố định khi m thay đổi

Vậy d d' với mọi m

Vậy giao điểm của hai đường thẳng nói trên nhìn đoạn AB cố định dưới một góc vuôngnên thuộc đường tròn đường kính AB khi m thay đổi

Dạng 6: Tính độ dài đoạn thẳng, diện tích đa giác

Bài 1:

Cho đường thẳng y mx m  1 (m là tham số) (1)

a) Chứng minh rằng đường thẳng (1) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m

b) Tính giá trị của m để đường thẳng (1) tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tíchbằng 2

b) Gọi A B, lần lượt là giao điểm của đường thẳng (1) với trục tung và trục hoành Khi đó

tọa độ của A B, lần lượt là  

1 0; 1 , m;0

Tương tự ta có B x y B; B là giao điểm của  và Oy

a) Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng d bằng 2

b) Diện tích tam giác

1 2

m

Bài 4: Học sinh giỏi huyện Chư Sê, năm học 2019 - 2020Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d có phương trình m 4xm 3 y1(m là tham số) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d đạt giá trị lớnnhất

Lời giải

Với mọi m thì đường thẳng d không đi qua gốc tọa độ

- Với m 4, ta có đường thẳng  d y : 1 Do đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đườngthẳng d bằng 1 (1)

- Với m 3, ta có đường thẳng  d x : 1 Do đó khoảng cách từ gốc tọa độ đến đườngthẳng d bằng 1 (2)

- Với m3;m4 thì đường thẳng  d cắt trục Oy Ox, lần lượt tại

m 

Bài 5: Học sinh giỏi huyện Cẩm Thủy (Thanh Hóa) vòng 2, năm học 2019 - 2020Cho hàm số bậc nhất y ax b  có đồ thị là đường thẳng đi qua M1;4 biết đồ thị của hàm

số đã cho cắt trục hoành tại điểm A có hoành độ dương, cắt trục tung tại điểm B có tung

độ dương Tìm a b, sao cho OA OB nhỏ nhất (O là gốc tọa độ)

 (m là tham số khác 0) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để  d1 và

 d2 cắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích hình thang ABHK bằng

Lời giải

Tọa độ giao điểm của  d và trục tung là A2;0 OA2

Tọa độ giao điểm của  d và trục hoành là

Ta có  

2

2 2.

2

3 4

4

2

m

OA OB OH

Lời giải

Vì ba điểm O A B, , tạo thành một tam giác nên m2 4m 4 0  và 3m  2 0

Tọa độ giao điểm của d và Ox là 2 2

Tọa độ giao điểm B của d và Oy là B0;3m 2 OB3m 2

Do tam giác OAB vuông tại O nên 2

2

m m

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho đường thẳng d m chia tam giác OBC thànhhai phần có diện tích bằng nhau (O là gốc tọa độ).

E x

Bài 10: Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình, năm học 2018 - 2019Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng   d : m1 x y 3m 4 và

 d' :xm 1 y m Tìm m để d cắt d' tại điểm M sao cho MOx  300

m m

Tứ giác ABCD nội tiếp khi và chỉ khi OC OD OA OB.  .  c d. p p8. 9 p17  1

Do p là số nguyên tố và c d, nugyên dương nên ta có 9 cặp 0;d với c d thỏa mãn (1) là

các cặp p17 ;1 , p16 ;1 , ,  p9 ;1

Vậy có 9 tứ giác thỏa mãn bài toán

Bài 12: Học sinh giỏi Tỉnh Đà Nẵng, năm học 2015 - 2016Cho hàm số y ax a  1 với a là tham số và a0;a1 Tìm tất cả các giá trị của a để

a S h

AB a





Đến đây ta tìm GTLN của h tương tự cách 1

Bài 13: Vào 10 Chuyên Thái Bình, năm học 2018 - 2019

Cho hai đường thẳng  d1 :y mx m  và  2

4 :

Bài 14: Tuyển sinh vào 10 chuyên Lâm Đồng, năm học 2018 - 2019

Trên hệ trục tọa độ Oxy (cách chọn đơn vị trên hai trục như nhau) Cho đường thẳng d có

hệ số góc là

4 3



và đường thẳng d đi qua A3;4 Tính khoảng cách từ điểm O đến đườngthẳng d

Lời giải

Giả sử đường thẳng cần tìm có phương trình y ax b 

Theo đề bài đường thẳng d có hệ số góc là

4 3

 nên

4 3

a

 phương trình đường thẳng d có dạng

4 3

y x bTheo đề bài ta có đường thẳng d đi qua điểm A3;4

y y

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng  d1 :y m x m 2  4 2 và

 (m là tham số thực khác 0) Tìm tất cả các giá trị của tham số m đề

 d1 và  d2 cắt nhau tại một điểm A duy nhất sao cho diện tích của hình thang ABHK



y x bTheo đề bài ta có đường thẳng  d đi qua A3;4

A  B Tìm các giá trị của a để đường thẳng  d cắt hai trục tọa độ Ox Oy, lần

lượt tại hai điểm phân biệt M N, sao cho S OAB S MON

2 1 -1 d

C

A 5

a 

Bài 18: HSG TP Đà Nẵng, năm học 2018 - 2019Trong mặt phẳng tọa độ Oxy (O là gốc tọa độ), cho hình bình hành OABC có điểm A3;5 ,điểm C thuộc đường thẳng y x và có hoành độ dương Biết rằng diện tích của hình bìnhhành OABC bằng 24 Tìm tọa độ điểm B.

Điểm A3;5 thuộc AH nên 5 3 m. Suy ra m 2.

Vậy phương trình đường thẳng AHlà y x 2.

H là giao điểm của hai đường thẳng d và AHnên suy ra

được tọa độ điểm H  1;1

Học sinh có thể làm như sau: Gọi H x x ; , dùng AH nhỏ nhất để tìm được H  1;1

Tính được    

AH      

Diện tích hình bình hành OABC bằng 24nên AH OC . 24. Suy ra OC 3 2

Điểm C thuộc đường thẳng d nên C a a ; .

 2

2

OC   a  a  a

Do hoành độ điểm C dương nên C3; 3  

+ Đường thẳng AB song song với đường thẳng d nên có dạng y x b (b 0)

+ Viết được đường thẳng OA là

5 3

+ Viết được đường thẳng BC là

5 8.

3

y x

+ B là giao điểm của hai đường thẳng AB và BC nên tìm được B6; 2.

Bài 19: HSG Tỉnh Quảng Bình, năm học 2020 - 2021Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) :d y ax b a  ( 0) đi qua điểm A(1; 4) vàcắt các tia Ox Oy, lần lượt tại B và C (khác O)

a) Viết phương trình đường thẳng ( )d sao cho biểu thức OA OB OC  đạt giá trị nhỏ nhất.b) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức

.

OB OC P

0

a

a a

Vậy phương trình đường thẳng ( )d là y2x6

b) Theo câu a với a 0 đường thẳng ( )d cắt tia Ox Oy, lần lượt tại B và C

(khác 0) và đi qua điểm A(1; 4) OA 17

Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên đường thẳng ( )d , ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi H A, hay dOA

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức P là 17