Đề số 19 lời giải

Thể tích khối tứ diện ABCD bằng... Gọi H là tâm đường tròn tạo bởi các tiếp điểm M khi đó ta có AHM đồng dạng với AMI Suy ra 3 AH Gọi   là mặt phẳng chứa các tiếp điểm M Khi đó... X

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ SỐ 19

Câu 1: Cho hàm số yf x 

xác định và liên tục trên  thỏa mãn

1 2

0

f x  x  x f x x

và

 

1

0

d

5 f x x2

Giá trị của f  3

bằng

Lời giải Chọn C

Đặt

 

1

0

d

f x x m  m



Khi đó f x  3x2 6mx,   0 0

2

x

f x







Do

5m 2 5 m nên  

2

m

m

m

 

 

3

1 2

4







 







Vậy f x  3x2  3x f  3 18

Câu 2: Cho tứ diện ABCD, tam giác ABC vuông cân tại B, DAABC

, M là trung điểm của cạnh

AC, AB a , góc giữa đường thẳng CD với mặt phẳng BDM

bằng  biết

1 sin

3

 

Thể tích khối tứ diện ABCD bằng

A

3

6

a

3

3

a

3

2 3

a

3

2

a

Lời giải Chọn A

Tam giác ABC vuông cân tại B có M là trung điểm của cạnh AC nên

BM  ACD  BMD  ACD

Mà BMD  ACD DM

nên hình chiếu của đường thẳng CD lên mặt phẳng BDM là

đường thẳng DM , suy ra góc giữa đường thẳng CD với mặt phẳng BDM là góc

Giả sử ADx

Ta có

3

AD DCM

DC



2

2

3 2

a

Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu   S : x 22y 32z 42 2

và điểm A1;2;3 

Xét

các điểm M thuộc  S

sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với  S , M

luôn thuộc mặt phẳng có phương trình là

A 2x2y2z15 0 B 2x2y2z15 0

C x y z   7 0 D x y z   7 0

Lời giải Chọn D

Mặt cầu  S

có tâm I2;3;4

bán kính r  2.

Do AM là tiếp tuyến của mặt cầu  S

nên IM AM  AM  AI2 IM2

Ta có AI  3;IM  2 AM 1.

Gọi H là tâm đường tròn tạo bởi các tiếp điểm M khi đó ta có AHM đồng dạng với AMI

Suy ra

3

AH

Gọi   là mặt phẳng chứa các tiếp điểm M Khi đó   có vectơ pháp tuyến là

1;1;1

n AI  

nên phương trình có dạng x y z d   0

Do  ,   6 1 6 1 5

7

d d

d

 Vậy  1 :x y z   5 0; 2:x y z   7 0

Do   1 

4

3

nên  1

không cắt  S

Và   2 

2

3

nên 2 cắt  S

Câu 4: Cho hình vuông ABCD quay quanh cạnh AD một góc 45, tạo thành khối  T

như hình vẽ, biết 1

AB  Mặt phẳng BCNM

chia khối  T

thành hai khối có thể tích tương ứng V V1, 2

.

M B

D

C

N

A

Giá trị minV V1; 2 bằng

A

2 8



2 2

12

2 2 8



 2 1

12

Lời giải Chọn C

Diện tích mặt của khối  T là

2

AB

Thể tích khối  T là V S AD . 8 .

Xét khối lăng trụ ABM DCN. với đáy có diện tích

.sin 45

ABM

S  AB AM  

Khi đó khối lăng trụ ABM DCN. có thể tích 1

2

4

ABM

V S AD

Suy ra khối còn lại có thể tích 2 1

V  V V    

Ta có V1V2 nên  1 2 2

2 2 min ;

8

V V V 

Câu 5: Cho hàm số yf x 

, đồ thị yf x' 

là đường cong trong hình dưới Giá trị lớn nhất của hàm số

  2  4 2 6 2

g x f x  x  x

trên đoạn 1;1

.

A f  4  30 B f  2 12 C f  1. D f  212

Lời giải Chọn C

g x  f x  x g x   f x  x  f x  x 

Số nghiệm của  1 là số giao điểm của đồ thị yf x' 

và y2x3 d

trên 2;2

Bảng biến thiên

Giá trị lớn nhất của hàm số g x f 2x 4x2 6x 2 trên đoạn 1;1

bằng f  1

Câu 6: Cho hàm sốyf x 

có bảng biến thiên như hình vẽ

Giá trị

1

3 2

' 2

2

f x





bằng

Lời giải Chọn A

1 2 1

1

' 2





Đặt t2x dt2dx Đổi cận

2

 

1 1

2

1 ' 2



+

 

3 2

0

2

f x

I   dx

Đặt t  x 1 dt dx

Đổi cận

 

4 2

1

' 2

f t

.

'

f x

Câu 7: Có bao nhiêu số nguyên dương ysao cho ứng với mỗi ycó không quá 10000 số nguyên x

thỏa mãn log3x1 x 3 log 5x y  0

?

Lời giải Chọn A

Điều kiện:

1 0

0 0

x

x x

 







Bất phương trình đã cho tương đương với

 

 

 

I



Xét bất phương trình log3x1 x 3 0 trên 0; 

Đặt f x  log3x1 x 3 với x 0

Ta có

 

 

1

1 ln 3

x

Suy ra f x 0, x 0; nên hàm số yf x  đồng biến trên 0; 

Do đó log3x1 x 3 0  f x  f  2  x2

và log3x1 x 3 0  f x  f  2  x2

Khi đó

 

 

 

 

5

5

2 2

*

**

y

y

x x

 

 

 







Do y là số nguyên dương nên 5y  2

Khi đó  II   *  2x5y( vì **

vô nghiệm)

Suy ra cho ứng với mỗi ycó không quá 10000 số nguyên x thỏa mãn bài toán  5y 10003 Vậy 1 y log 100035 Do y nguyên dương nên y 1; 2;3; 4;5

Câu 8: Cho z z1,  2

thỏa mãn z1 2 i z2 1 i 1

và z1 2z2 i 3

Giá trị nhỏ nhất của

2z z   1 a b c

với a b c, , ,c20 Giá trị a b c  bằng

Lời giải Chọn B

Đặt w1  z1 2 i w, 2 z2 1 i Từ giả thiết ta có: w1 w2 1

và w1 2w2  3

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của P2z1z2 1 2w1w2 4 3  i

Ta có: w1 2w2  3 w1 2w2 2  3 w1 2w w2  1 2w23

w1 2w2 w1 2w2 3 w w1 1 4w w2 2 2w w1 2 w w2 1 3

   

Do đó: 2w1w2 2 2w1w2 2w1w22w1w2 2w1w2

 w w w w  w w w w  w  w  w w w w   w w 

Suy ra tập hợp các điểm M biểu diễn số phức 2 w1 w là đường tròn tâm O, bán kính2

7



R

Gọi (4; 3)A  là biểu diễn của số phức 4 3 , i dễ thấy A nằm ngoài đường tròn ( , ).O R

Ta có: P2w1w2 4 3 i MA OA R   5 7. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ,O M A ,

thẳng hàng

Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 5 7 a b c, với a5,b1,c7 Giá trị

11

  

a b c

Câu 9: Trong không gian Oxyz Cho phương trình mặt cầu   S : x12y2z12 4;

 S' :x2y2z12 1

và đường thẳng

1

3

x







  

 mặt phẳng  

tiếp xúc với hai mặt cầu

 S

và  S'

Gọi M   ;N 

sao cho MI luôn tiếp xúc với mặt cầu  S' , với M  2;0;1 Độ

dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất bằng a 2 b với ,a bN Giá trị a b+ bằng

Lời giải Chọn D

Dựa vào số liệu của đề bài chứng minh được:

+  S và  S' tiếp xúc chung trong Tâm I của mặt cầu 1  S , điểm này thuộc  S' .

+ Mặt phẳng   tiếp xúc với hai mặt cầu  S và  S' có tiếp điểm M đối xứng với 0 I qua1 2

I Từ đó ta tính được M01;0;1  n   I M1 02;0;0

 : 1 0

PT  x

Nên    + M  sao cho MI luôn tiếp xúc với mặt cầu  S' tại K

2

0

I I I K



2

0

0

3

MM

I I



 M thuộc đường tròn tâm M , bán kính 30

+ MN ngắn nhất khi MN d M  0,  3 3 2  3  a3,b 3 a b 6

Câu 10: Cho hàm số yf x 

liên tục trên  và có bảng biến thiên như sau:

2

f x  x  

có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Lời giải Chọn A

Xét hàm số t t x   8x4 8x21

Ta có

3

0

2

x

x







 

Bảng biến thiên

Ta có

1

1 2

2





Từ bảng biến thiên của hàm số f x 

, ta có (*)





 



Từ bảng biến thiên của hàm số t t x  

, ta thấy  1

có hai nghiệm phận biệt;  2

vô nghiệm;

 3

có bốn nghiệm phân biệt;  4

có hai nghiệm phân biệt (các nghiệm này không trùng nhau) Vậy phương trình đã cho có 8 nghiệm thực phân biệt