133 đề hsg toán 8 quế võ 22 23

7,0 điểm 1 Cho tam giác ABCvuông tại đỉnh ABCvuông tại đỉnh A và AB AC.. Kẻ các đường cao AH.Trong nửa mặt phẳng có chứa điểm Abờ là đường thẳng BC, vẽ hình vuông AHDEvới D thuộc đoạn t

UBND HUYỆN

QUẾ VÕ

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

MÔN TOÁN – LỚP 8 NĂM HỌC 2022-2023 Thời gian làm bài : 120 phút

Bài 1 (5,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

) 2019 2018 2019

 

Bài 2 (3,0 điểm) Cho

2

1

A

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tính giá trị biểu thức Abiết 2x2y22xy 6x 2y 5 0

Bài 3 (4,0 điểm)

1) Cho đa thức P x   x5 x10 x15 x202016.Tìm số dư trong phép chia P x cho đa thức x2 25x 120

2) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn 18x2 3xy 5y25

Bài 4 (7,0 điểm)

1) Cho tam giác ABCvuông tại đỉnh ABCvuông tại đỉnh A và AB AC Kẻ các đường cao AH.Trong nửa mặt phẳng có chứa điểm Abờ là đường thẳng BC,

vẽ hình vuông AHDE(với D thuộc đoạn thẳng HC).Gọi F là giao điểm của

DEvà AC Đường thẳng qua F song song với ABcắt đường thẳng qua B

song song với ACtại điểm G

a) Chứng minh tứ giác ABGF là hình vuông

b) Chứng minh tứ giác DEHGlà hình thang

c) Chứng minh ba đường thẳng AG BF HE, , đồng quy

2) Cho tam giác ABCvuông tại A Từ điểm M thuộc miền trong của tam giác

Tìm vị trí của điểm M thuộc miền trong của tam giác để MI2 MH2 MK2đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 5 (1,0 điểm) Cho các số nguyên a b c d, , , thỏa mãn 3 3  3 3

Chứng minh rằng a b c d   chia hết cho 3

ĐÁP ÁN Bài 1 (5,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

   

Bài 2 (3,0 điểm) Cho

2

1

A

c) Rút gọn biểu thức A

   

2

2

2 2

0; 0 1

1

( )

A

x x y x y



d) Tính giá trị biểu thức Abiết 2x2 y22xy 6x 2y 5 0

2 2

Vì

2

2

1 0 ,

2 0 ,

    





  

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

( )

Bài 3 (4,0 điểm)

3) Cho đa thức P x   x5 x10 x15 x202016.Tìm số dư trong phép chia P x  cho đa thức x2 25x 120

         

5 10 15 20 2016

( ) 25 100 25 150 2016

( ) 25 120 20 25 120 30 2016

          

Đặt t x2  25x 120

( ) 20 30 2016 10 60 2016 10 1956

( )

P x

 chia cho x2 25x 120có số dư là 1956

4) Tìm các số nguyên x y; thỏa mãn 18x2 3xy 5y25

2

18 3 5 25 18 50 3 5 25 50

2 9 25 3 5 25 2 3 5 3 5 3 5 25

           

Vì

;

x y Z

x

x y

x

y

Vậy x y  ;    10; 71 ; 2; 47 ; 0; 5         

Bài 4 (7,0 điểm)

3) Cho tam giác ABCvuông tại đỉnh ABCvuông tại đỉnh A và AB AC Kẻ các đường cao AH.Trong nửa mặt phẳng có chứa điểm Abờ là đường thẳng BC,vẽ hình vuông AHDE(với D thuộc đoạn thẳng HC).Gọi F là giao điểm của DEvà AC Đường thẳng qua F song song với ABcắt

đường thẳng qua Bsong song với ACtại điểm G

G F

E

D

H

C

d) Chứng minh tứ giác ABGF là hình vuông

Ta có BAH EAF(cùng phụ HAF)









Tứ giác AFGBlà hình bình hành vì

/ / / /

AF GB

AB FG







Hình bình hành AFGBcó BAF  90 nên là hình chữ nhật

Hình chữ nhật AFGBcó ABAFlà hình vuông

e) Chứng minh tứ giác DEHGlà hình thang

Gọi AG giao với BF tại I

IA IB IG IF

    (tính chất hình vuông)

 vuông tai D có DIlà đường trung tuyến nên

1 2

1 2

vuông tại D nên ADDG

Mà ADEH(tính chất hình vuông) nên DG EH/ /

 Tứ giác DEHGlà hình thang

f) Chứng minh ba đường thẳng AG BF HE, , đồng quy

Ta có

1 2

nằm trên đường trung trực của AD

,

H Enằm trên đường trung trực của AD(EDHAlà hình vuông)

, ,

H I E

 thẳng hàng nên ba đường thẳng AG BF HE; ; đồng quy

4) Cho tam giác ABCvuông tại A Từ điểm Mthuộc miền trong của tam giác kẻ MI MK MH, , lần lượt vuông góc với AB AC BC, ,

giác để MI2 MH2 MK2đạt giá trị nhỏ nhất

I

K

H C

A

M

B

Ta có MI2 MK2 KI2mà KI AM (AKMI là hình chữ nhật)

2 2 2

min max

AM MH

AM MH





 



; ; min

min

A M H thang hang

AH





M

 nằm trên đường cao hạ từ đỉnh A của ABC 1

Ta có AM MH 2 AM MH. (Bất dẳng thức Cô si)

Vì M nằm trên đường cao hạ từ đỉnh A của ABC AM MH không đổi

.

AM MH

 lớn nhất  AM MH 2

Từ (1) và (2) suy ra MI2 MH2 MK2nhỏ nhất khi và chỉ khi M là trung điểm đường cao hạ từ đỉnh A của tam giác ABC

Bài 5 (1,0 điểm) Cho các số nguyên a b c d, , , thỏa mãn a3 b3  2c3  8d3

Chứng minh rằng a b c d   chia hết cho 3

3

3

a b c d

    

Mà 3là số nguyên tố nên a b c d   3