060 đề hsg toán 8 việt yên 22 23

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Câu 1 (5,0 điểm) 1) Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm giá trị lớn nhất của M 2) Cho Tính giá trị biểu thức Câu 2 (4,0 đ[.]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆT YÊN

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 8 Câu 1 (5,0 điểm)

1) Cho biểu thức

 22

1

x

M



a) Rút gọn biểu thức M

b) Tìm giá trị lớn nhất của M

2) Cho a b c  2019.Tính giá trị biểu thức

3 3 3

2 2 2

a b c abc P

a b c ab ac bc

  



    

Câu 2 (4,0 điểm)

1) Cho hai số hữu tỉ a b, thỏa mãn a b3 2a ab 32b2a b2 2 1 0 Chứng mnh rằng

1 ab là bình phương của một số hữu tỷ

2) Tìm số nguyên x y, biết : y2  2x2  1 2y x  1

Câu 3 (4,0 điểm)

1) Giải phương trình

49

2018 2018 2019 2019



2) Cho hai số a b Z,  .Chứng minh rằng a b ab5  5 30

Câu 4 (6,0 điểm)

1) Cho tam giác ABCvuông cân ở A Trên cạnh BClấy điểm M bất kỳ Từ M kẻ ME

vuông góc với AB E AB MF  , vuông góc với AC F AC

a) Chứng minh rằng FC BA EB CA AB.  .  2và chu vi tứ giác MEAFkhông phụ thuộc vào vị trí điểm M

b) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EFluôn đi qua một điểm cố định

2) Cho tam giác ABC.Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác

ABC Đường thẳng qua P và vuông góc với CPcắt cạnh ACvà CB theo thứ tự tại

điểm M và N Chứng minh rằng

1

AB AC BA BC CB CA 

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn điều kiện

2

1010

2

x

y yz z  

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q x y z  

ĐÁP ÁN Câu 1 (5,0 điểm)

3) Cho biểu thức

 22

1

x

M



c) Rút gọn biểu thức M

2 2

2

1

1 2

x

x x

x x



Với x 1thì M  x2x

d) Tìm giá trị lớn nhất của M

2

M x  x x  x   x   

Dấu bằng xảy ra khi  

1 2

Vậy

4) Cho a b c  2019.Tính giá trị biểu thức

3 3 3

2 2 2

a b c abc P

a b c ab ac bc

  



    

Ta có :

3

2 2 2

2 2 2

2 2 2

3

2019

a b c abc a b c a b ab abc

a b c a b a b c c ab a b c

a b c a b c ab bc ca

a b c a b c ab bc ca

a b c ab bc ca

       

      

     Vậy P 2019

Câu 2 (4,0 điểm)

3) Cho hai số hữu tỉ a b, thỏa mãn a b3 2a ab 32b2a b2 2 1 0 Chứng mnh rằng 1 ab là bình phương của một số hữu tỷ

Ta có :

3 2 2 3

2

1 1

a b a ab b a b

a b a b ab a b

ab a ab b a b

a b a ab b ab a b ab

      

1 ab

  là bình phương của một số tự nhiên (đpcm)

4) Tìm số nguyên x y, biết : y2 2x2 1  2y x  1

Ta có :

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  1;2

Câu 3 (4,0 điểm)

3) Giải phương trình

49

2018 2018 2019 2019



Đặt a2018 x x 2019a1 Phương trình đã cho trở thành :

2

2

2

49 3 3 1 49

49 49 49 57 57 19 8 8 30 0

4 4 1 16 0 2 1 4 0

2018

2 5 2 3 0

2016

a a

 

     



  



   



Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm

2020 ;2016

S  

4) Cho hai số a b Z,  .Chứng minh rằng  5 5

30

a b ab  Nếu a b, cùng lẻ thì a b a b ;  chẵn nên A2

Nếu ahoặc b chẵn thì A2 A2với mọi a,b thuộc Z (1)

Nếu

3

3 3

a

A b















Nếu avà b không chia hết cho 3 thì

3

3

a b

a b













 Nếu a5hoặc b5 A5

Nếu a b, chia cho 5 có cùng số dư thì a b 5 A5

Nếu a,b chia cho 5khác số dư thì a b 5hoặc a2 b2 5  A 5  A 5, a b Z, 

Do 2,3,5 đôi một nguyên tố cùng nhau nên từ (1), (2), (3) suy ra A30(dfcm)

Câu 4 (6,0 điểm)

3) Cho tam giác ABCvuông cân ở A Trên cạnh BClấy điểm M bất kỳ Từ M kẻ

MEvuông góc với AB E AB MF  , vuông góc với AC F AC

G

K

D

E

C A

B

M

c) Chứng minh rằng FC BA EB CA AB.  .  2và chu vi tứ giác MEAFkhông phụ thuộc vào vị trí điểm M

ABC

 vuông cân tại A nên AB AC và  B C45

BEM

  và CFM lần lượt vuông cân tại E và F

Xét tứ giác AEMFcó   A E F 90

 là hình chữ nhật suy ra MEAF BE

FC AB EB CA FC AB AF AB

AB FC AF AB AC AB AB AB dfcm

Chu vi tứ giác AEMFlà ME MF .2BE AE .2 2 ABkhông đổi

Vậy chu vi tứ giác AEMFkhông phụ thuộc vào vị trí điểm M

d) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EFluôn đi qua một điểm

cố định

Dựng hình vuông ABDC Dlà điểm cố định

Gọi K là giao điểm của MFvà BD G là giao điểm của MEvà DC

KMGD

 là hình chữ nhật và các tứ giác BEMK CFMG, là các hình vuông

Xét GDMvà MEFcó : MGDFME90 , MG MF DG ME , 

( )

Gọi H là giao điểm của MDvà EF nên HMEGMD(hai góc đối đỉnh)

 

Mà EMF 90  EHM 90  MH EF

Suy ra đường thẳng đi qua M và vuông góc với EF luôn đi qua điểm D cố định

4) Cho tam giác ABC.Gọi P là giao điểm của ba đường phân giác trong của tam giác ABC.Đường thẳng qua P và vuông góc với CPcắt cạnh ACvà CB theo

thứ tự tại điểm Mvà N Chứng minh rằng

1

AB AC BA BC CB CA 

K

D

N

M

P A

B

C

        

B

Xét MAPvà PABcó :APM ABP cmt( ),MAPPAB gt 

2

AP AM AB AM

AB AC AB AC AC

Kẻ MK MN KAB NT, MN T AB

/ /

MK DC(cùng vuông góc với MN)

(Hệ quả định lý Ta-let) 2

AB AC DC AC

  Chứng minh tương tự, ta có:

2

AB BC DC CMN

 có CP vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên CPđồng thời là trung tuyến

Do đó PM PN

Tứ giác MKTNlà hình thang MK TN/ / có DPlà đường trung bình nên KM NT 2DP

 

1

APB ABC

S



Chứng minh tương tự ta được :

APC BPC ABC ABC

AB BC AC BC  S AC BC AB AC  S

Cộng từng vế của      1 , 2 , 3 ta được :

1

APC BPC APB

ABC ABC ABC

S

AB AC BA BC CB CA S S S

dfcm

AB AC BA BC CB CA

Câu 5 (1,0 điểm) Cho x y z, , là các số thực thỏa mãn điều kiện

2

1010

2

x

y yz z  

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức Q x y z  

Ta có

2

1010

2

x

y yz z  

2 2 2 2020 3

x y z

   nhỏ nhất bằng  2020khi

2020 3

x  y z 

Min x y z   khi

2020 3

x  y z