Bài toán hình trong đề thi csp từ 2011 2021

Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứ hai M.. Một đường tròn đi qua hai đỉnh A, C của tam giácABC lần lượt cắt các cạnh AB, BC tại hai điểm K, N K,

BÀI TOÁN HÌNH HỌC TRONG ĐỀ THI CHUYÊN SƯ PHẠM

Sưu tầm: Trần Văn Tuân

Bài 1 (SP 2021, vòng 1) Cho ba điểm A, B, C cố định sao cho A, B, C

thẳng hàng, B nằm giữa A và C Gọi (d) là đường thẳng đi qua C và vuông góc với AB Lấy điểm M tùy ý trên (d) Đường thẳng đi qua B và vuông góc với AM, cắt các đường thẳng AM, (d) lần lượt tại I, N Đường thẳng M B cắt AN tại K

a) Chứng minh tứ giác M IKN nội tiếp

b) Chứng minh rằng CM.CN = AC.BC

c) Gọi (O) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AM N Vẽ hình bình hành M BN E Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng BE Chứng minh

OH vuông góc với đường thẳng (d) và OH = 1

2AB.

Bài 2 (SP 2021, vòng 2) Cho A, B là hai điểm cố định nằm trên đường tròn tâmO, bán kính R Giả sửC là điểm cố định trên tia đối của tiaBA Một cát tuyến thay đổi qua C cắt đường tròn (O) tại D và E (D nằm giữa C và E) Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác BCD và ACE cắt nhau tại giao điểm thứ hai M Biết rằng bốn điểm O, B, M, E tạo thành

tứ giác OBM E Chứng minh rằng

a) Tứ giác OBM E nội tiếp

b) CD.CE = CO2 − R2

c) M luôn di chuyển trên một đường tròn cố định

Bài 3 (SP 2020, vòng 1) Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn Kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm)

và đường kính BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I (I khác C và O) Đường thẳng IA cắt (O) tại hai điểm D và E (D nằm giữa A và E) Gọi

H là trung điểm của đoạn thẳng DE

a) Chứng minh AB.BE = BD.AE

b) Đường thẳng d đi qua điểm E song song với AO, d cắt BC tại điểm

K Chứng minh HK//CD

c) Tia CD cắt AO tại điểm P, tia EO cắt BP tại điểm F Chứng minh

tứ giác BECF là hình chữ nhật

Bài 4 (SP 2020, vòng 2) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn

(O) có AB > BC Một đường tròn đi qua hai đỉnh A, C của tam giác

ABC lần lượt cắt các cạnh AB, BC tại hai điểm K, N (K, N khác các đỉnh của tam giác ABC) Giả sử đường tròn (O) và đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt nhau tại giao điểm thứ hai là M (M khác B) Chứng minh rằng

a) Ba đường thẳng BM, KN, AC đồng quy tại một điểm P

b) Tứ giác M N CP là tứ giác nội tiếp

c) BM2 − P M2 = BK.BA − P C.P A

Bài 5 (SP 2019, vòng 1) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn Gọi AA1, BB1, CC1 là các đường cao của tam giác ABC Đường thẳng A1C1 cắt đường tròn (O) tại điểm A0 và C0

(A1 nằm giữa A0 và C1) Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A0 và C0

cắt nhau tại B0

a) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh HC1.A1C =

A1C1.HB1

b) Chứng minh ba điểm B, B0, O thẳng hàng

c) Khi tam giác ABC là tam giác đều, hãy tính A0C0 theo R

Bài 6 (SP 2019, vòng 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) và AB > AC Gọi D, E lần lượt là chân đường cao hạ

từ A, B của tam giác ABC Gọi F là chân đường vuông góc hạ từ B lên đường thẳng AO

a) Chứng minh B, D, E, F là bốn đỉnh của một hình thang cân

b) Chứng minh EF đi qua trung điểm của BC

c) Gọi P là giao điểm thứ hai của đường thẳng AO và đường tròn (O),M

và N lần lượt là trung điểm của EF và CP Tính góc \BM N

Bài 7 (SP 2018, vòng 1) Cho hình chữ nhậtABCD vớiBC = a, AB =

b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD Qua điểm M

dựng đường thẳng cắt đường chéo AC của hình chữ nhậtABCD tại điểm

P và cắt đường thẳng BC tại điểm Q sao cho B nằm giữa C và Q

1 Khi M P ⊥ AC, hãy:

a) Tính P Q theo a và b

b) Chứng minh a.BP = b.P N

2 Chứng minh \M N P = M N Q\ (không nhất thiết M P và AC vuông góc

với nhau).

Bài 8 (SP 2018, vòng 2) Cho tam giácABC có ba góc nhọn,AB < AC

và nội tiếp đường tròn (O) Đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt các đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy điểm P sao cho AP vuông góc với P C Đường thẳng qua B song song với OP cắt P C tại Q Chứng minh rằng:

a) P B = P Q

b) O là trực tâm của tam giác ADE

c) \P AO = \QAC

Bài 9 (SP 2017, vòng 1) Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B

và C cắt nhau tại P Gọi D, E tương ứng là chân các đường vuông góc hạ

từ P xuống các đường thẳng AB, AC và M là trung điểm của BC

a) Chứng minh \M EP = M DP\

b) Giả sử B, C cố định và A chạy trên đường tròn (O) sao cho tam giác

ABC luôn là tam giác có ba góc nhọn Chứng minh đường thẳng DE luôn

đi qua một điểm cố định

c) Khi tam giác ABC là tam giác đều, hãy tính diện tích tam giác ADE

theo R

Bài 10 (SP 2017, vòng 2) Cho đường tròn (O) bán kính R và điểm M

nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ các tiếp tuyến M A, M B tới đươnmgf tròn

(O) (A, B) là các tiếp điểm Trên đoạn thẳng AB lấy điểm C (C khác A

và B) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của M A, M C Đường thẳng KA

cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai D

a) Chứng minh rằng KO2 − KM2 = R2

b) Chứng minh tứ giác BCDM là tứ giác nội tiếp

c) Gọi E là giao điểm thứ hai của đường thẳng M D với đường tròn (O)

và N là trung điểm của KE Đường thẳng KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F Chứng minh bốn điểm I, A, N, F cùng thuộc một đường tròn

Bài 11 (SP 2016, vòng 1) Cho ba điểm A, B, M phân biệt, thẳng hàng

và M nằm giữa A, B Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng

AB, dựng hai tam giác đều AM C và BM D Gọi P là giao điểm của AD

và BC.

a) Chứng minh AM P C và BM P D là các tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh √

CP.CB +√

DP.DA = AB c) Đường thẳng nối tâm của hai đường tròn ngoại tiếp các tứ giácAM P C

và BM P D cắt P A, P B tương ứng tại E, F Chứng minh tứ giác CDF E

là hình thang

Bài 12 (SP 2016, vòng 2) Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC Kẻ đường cao AH Đường tròn (O) đường kính AH cắt các cạnh AB, AC

tương ứng tại D và E Đường thẳng DE cắt đường thẳng BC tại S a) Chứng minh tứ giác BDEC là tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh rằng SB.SC = SH2

c) Đường thẳng SO cắt AB, AC tương ứng tại M và N Đường thẳng

DE cắt HM, HN tương ứng tại P và Q Chứng minh ba đường thẳng

BP, CQ và AH đồng quy

Bài 13 (SP 2015, vòng 1) Cho tam giác ABC có các góc \ABC,\ACB

nhọn và \BAC = 600 Các đường phân giác trong BB1, CC1 của tam giác

ABC cắt nhau tại I

a) Chứng minh tứ giác AB1IC1 nội tiếp

b) Gọi K là giao điểm thứ hai (khác B) của đường thẳng BC với đường tròn ngoại tiếp tam giác BC1I Chứng minh tứ giác CKIB1 nội tiếp c) Chứng minh AK ⊥ B1C1

Bài 14 (SP 2015, vòng 2) Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC M là trung điểm của cạnh BC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H Các tiếp tuyến với (O) tại B và C cắt nhau tại S Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng BS, AO Chứng minh rằng: a) M X ⊥ BF

b) Tam giác SM X đồng dạng với tam giác DHF

c) EF

F Y =

BC

CD.

Bài 15 (SP 2014, vòng 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O)

đường kính AC = 2R Gọi K và M theo thứ tự là chân các đường vuông góc hạ từ Avà C xuống BD,E là giao điểm củaAC và BD, biết K thuộc đoạn BE (K khác B và E) Đường thẳng qua K song song với BC cắt

AC tại P.

a) Chứng minh tứ giác AKP D nội tiếp

b) Chứng minh KP ⊥ P M

c) Biết \ABD = 600 và AK = x Tính BD theo R và x

Bài 16 (SP 2014, vòng 2) Cho hình vuông ABCD có tâm O Gọi M

là trung điểm của cạnh AB Các điểm N, P theo thứ tự thuộc các cạnh

BC, CD sao cho M N song song với AP Chứng minh rằng

a) Tam giác BN O đồng dạng với tam giác DOP và \N OP = 450

b) Tam đường tròn ngoại tiếp tam giác N OP thuộc đường thẳng OC c) Ba đường thẳng BD, AN, P M đồng quy

Bài 17 (SP 2013, vòng 1) Cho tam giác ABC không cân, có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA1, BB1, CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H, các đường thẳng A1C1 và AC cắt nhau tại D Gọi X là giao điểm thứ hai của đường thẳng BD với đường tròn (O) a) Chứng minh DX.DB = DC1.DA1

b) Gọi M là trung điểm của cạnh AC Chứng minh DH ⊥ BM

Bài 18 (SP 2013, vòng 2) Cho tam giác ABC không cân, nội tiếp đường tròn (O) BD (D ∈ AC) là đường phân giác của \ABC Đường thẳng BD cắt đường tròn (O)tại điểm thứ hai E Đường tròn(O1) đường kính DE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F

a) Chứng minh rằng đường thẳng đối xứng với đường thẳngBF qua đường thẳng BD đi qua trung điểm của cạnh AC

b) Biết tam giác ABC vuông tại B, \BAC = 600 và bán kính của đường tròn (O) bằng R Hãy tính bán kính của đường tròn (O1) theo R

Bài 19 (SP 2012, vòng 1) Cho tam giác ABC Đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, AC tương ứng tại K, L Tiếp tuyến d của đường tròn (O) tại điểm E thuộc cung nhỏ KL, cắt các đường thẳng AL, AK

tương ứng tại M, N Đường thẳng KL cắt OM tại P và cắt ON tại Q a) Chứng minh \M ON = 900 − 1

2\BAC.

b) Chứng minh các đường thẳng M Q, N P và OE cùng đi qua một điểm c) Chứng minh KQ.P L = EM.EN

Bài 20 (SP 2012, vòng 2) Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn

(O) Điểm M thuộc cung nhỏ CD của (O) (M khác C và D) M A cắt

DB, DC theo thứ tự tại X, Z.M B cắt CA, CD theo thứ tự tại Y, T.CX

và DY cắt nhau tại K

a) Chứng minh rằng \M XT = T XC,\ M Y Z =\ ZY D\ và \CKD = 1350 b) Chứng minh rằng KX

M X +

KY

M Y +

ZT

CD = 1.

c) Gọi I là giao điểm của M K và CD Chứng minh rằng XT, Y Z, OI

cùng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác KZT

Bài 21 (SP 2011, vòng 1) Cho đường tròn (O) đường kính AB = 10 Dây cung CD của đường tròn (O) vuông góc với AB tại điểm E sao cho

AE = 1 Các tiếp tuyến tại B và C của đường tròn (O) cắt nhau tại K,

AK và CE cắt nhau tại M

a) Chứng minh tam giác AEC đồng dạng với tam giác OBK Tính BK b) Tính diện tích tam giác CKM

Bài 22 (SP 2011, vòng 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O),BE và CF là các đường cao của tam giác ABC Các tiếp tuyến với đường tròn (O) tại B và C cắt nhau tại S Các đường thẳng

BC và OS cắt nhau tại M

a) Chứng minh AB

AE =

BS

M E.

b) Chứng minh tam giác AEM đồng dạng với tam giác ABS

c) Gọi N là giao điểm của AM và EF, P là giao điểm của AS và BC Chứng minh N P ⊥ BC