Luận văn các định lý nhúng trong không gian sobolev

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓATRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC PHẠM ĐÌNH THƯƠNG CÁC ĐỊNH LÝ NHÚNG TRONG KHÔNG GIAN SOBOLEV LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH HÓA - NĂM 2021... Lý do chọn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

PHẠM ĐÌNH THƯƠNG

CÁC ĐỊNH LÝ NHÚNG TRONG KHÔNG GIAN

SOBOLEV

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA - NĂM 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng

THANH HÓA - NĂM 2021

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Phạm Đình Thương

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH NguyễnMạnh Hùng Trong quá trình làm luận văn, Thầy là người đã luôn tận tình hướngdẫn, chỉ bảo, giúp đỡ và động viên em trong suốt quá trình nghiên cứu và hoànthành luận văn này Tác giả xin cảm ơn và bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc, sự kínhtrọng đến Thầy

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các Thầy cô đã giảng dạy lớpK12 cao học Giải tích, trường Đại học Hồng Đức Tại đây tác giả nhận đượcnhiều sự chỉ dẫn, góp ý quý báu là môi trường thuận lợi để tác giả hoàn thànhluận văn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo,Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ môn Giải tích vàPhương pháp Giảng dạy toán của khoa Khoa học Tự nhiên trường Đại học HồngĐức đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả hoàn thành đúng thời hạn luận văncủa mình

Cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã luôn khích lệ, động viên vàgiúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học

Thanh Hóa, tháng 06 năm 2021

Kí tên

Phạm Đình Thương

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Các không gian hàm cơ bản 3

1.1 Không gian metric 3

1.2 Không gian Banach 5

1.3 Không gian SoBolev 6

1.3.1 Trung bình hóa 7

1.3.2 Đạo hàm suy rộng 8

1.3.3 Không gian Sobolev Wm p (Ω), 1 ≤ p < ∞ 12

1.3.4 Không gian ˚Wpm(Ω), 1 ≤ p < ∞ 17

1.3.5 Không gian W2m,l(QT) 18

Chương 2 Các định lý nhúng trong không gian Sobolev và ứng dụng 19 2.1 Các định lý nhúng 19

2.2 Bài toán tồn tại duy nhất nghiệm của phương trình Elliptic đều 25

2.2.1 Bài toán biên thứ nhất và định lý duy nhất nghiệm 25

2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet 28

2.3 Bài toán biên thứ hai và thứ ba 30

Tài liệu tham khảo 35

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các định lý nhúng là một phần kiến thức rất khó trong toán cao cấp, việcnghiên cứu các định lý nhúng là rất quan trọng và nó đang được các trung tâmtoán học trong nước nghiên cứu với mục đính áp dụng vào giải các bài toánphương trình đạo hàm riêng Hiện nay, ở trong nước có nhiều nhóm nghiên cứu

về các định lý nhúng lớn phải kể đến như là nhóm nghiên cứu tại trường Đạihọc Sư Phạm 1 Hà Nội, nhóm nghiên cứu tại trường Đại học Quốc Gia Hà Nội

và các nhóm này đã có những buổi seminar định kỳ về một số định lý nhúng vàcác mở rộng của chúng Vì vậy tác giả chọn đề tài: “Các định lý nhúng trongkhông gian Sobolev” để nghiên cứu các áp dụng của định lý nhúng trong khônggian Sobolev, giải các bài toán đạo hàm suy rộng, bài toán phương trình đạohàm riêng là đề tài cho luận văn của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu

Mục đích của đề tài là nghiên cứu các định lý nhúng trong không gianSobolev Nghiên cứu về áp dụng vào giải một số bài toán liên quan

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Định lý nhúng trong không gian Sobolev Một số bàitoán liên quan

Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu các lý thuyết chuẩn bị về các không gianhàm cơ bản Nghiên cứu các áp dụng của định lý nhúng trong không gianSobolev giải các bài toán đạo hàm suy rộng, bài toán phương trình đạo hàmriêng

4 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa lý thuyết để nghiên cứu các tài liệu,giáo trình có liên quan định lý nhúng trong không gian Sobolev, một số bài tập

áp dụng định lý nhúng trong không gian Sobolev

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Tìm hiểu một số kiến thức các không hàm quan trọng Tìm hiểu các kháiniệm nghiệm của phương trình Elliptic đều cấp hai Nghiên cứu tính tồn tại vàduy nhất nghiệm, tính giải được của các bài toán biên ban đầu đối với phươngtrình Elliptic đều cấp hai

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài lời cảm ơn, mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn được chiathành hai chương

Chương 1: Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm về cáckhông gian hàm quan trọng, đặc biệt là không gian Sobolev

Chương 2: Trình bày các kết quả chính của luận văn Đầu tiên là trình bàykiến thức về các định lý nhúng Tiếp theo trình bày về phương trình Elliptic đềucấp hai, trên cơ sở định lý nhúng chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm,tính giải được của các bài toán biên đối với phương trình elliptic cấp hai

Chương 1

Các không gian hàm cơ bản

1.1 Không gian metric

Trong phần này, chúng tôi trình bày một số kết quả cơ bản về không gian metric.Nội dung của phần này có thể tham khảo ở các tài liệu

Định nghĩa của không gian metric được phát biểu như sau

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là tập khác rỗng Ánh xạ d : X × X → R được gọi là

một metric trên X nếu thoả mãn các điều kiện:

(1) d(x,y) ≥ 0, ∀x,y ∈ X và d(x,y) = 0 khi và chỉ khi x = y

(2) d(x,y) = d(y,x), ∀x,y ∈ X

(3) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y), ∀x,y,z ∈ X

Khi đó, cặp (X,d) được gọi là không gian metric

Nếu không có sự nhầm lẫn, thì ta sẽ dùng cụm từ "không gian metric X" thay vì dùng cụm từ "không gian metric (X,d)".

Sau đây là một số ví dụ về không gian metric

Ví dụ 1.1.2 Giả sử M là tập con khác rỗng của tập số thực R Ta đặt d(x,y) =

|x − y| với x, y ∈ M Khi đó, nhờ các tính chất quen thuộc của giá trị tuyệt đối,

ta kiểm tra dễ dàng (M,d) là một không gian metric

Ví dụ 1.1.3 Kí hiệu Rk = (x1, · · · , xk) : xi ∈ R, i = 1, k là tập hợp các bộ k sốthực Với x = (x1, · · · xk), y = (y1, · · · , yk) thuộc Rk, ta đặt:

d(x, y) =

vuut

Dễ thấy điều kiện (1) và 2) đúng Điều kiện (3) có dạng

d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z)

i) Nếu x 6= z thì d(x,z) = 1 còn vế sau lớn hơn hoặc bằng 1.

ii) Nếu x = z thì d(x,z) = 0 còn vế sau lớn hơn hoặc bằng 0

Vậy điều kiện (3) cũng thỏa mãn nên (X,d) là một không gian metric Metric dnày gọi là metric rời rạc trên X

Ví dụ 1.1.5 Kí hiệu tập hợp các hàm liên tục f : [a,b] → R là C[a,b] với hàm

| f (x) − g(x)|dx,

thì (C[a,b], d1) cũng là một không gian metric

1.2 Không gian Banach

Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian tuyến tính Một chuẩn trên X là hàm số

|| · || : X → R thoả mãn:

(i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X, ||x|| = 0 khi và chỉ khi x = 0

(ii) ||λ x|| = |λ |||x||, với mọi x ∈ X và λ ∈ R (hoặc C).

(iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với mọi x,y ∈ X

X cùng với chuẩn || · || được gọi là không gian định chuẩn, kí hiệu (X,|| · ||).Không gian định chuẩn (X,|| · ||) là không gian metric với metric d sinh bởichuẩn || · ||:

d(x, y) = ||x − y||

Các khái niệm về dãy hội tụ, hàm liên tục, dãy Cauchy, không gian đầy đủ, tậpđóng, tập mở, tập compact trong không gian định chuẩn (X,|| · ||) được địnhnghĩa tương tự trong không gian metric (X,d) với metric d sinh ra bởi chuẩn

là một chuẩn, gọi là chuẩn Euclide

Ví dụ 1.2.4 Ký hiệu C1[a, b] là không gian các hàm thực x = x(t) có đạo hàmliên tục trên [a,b] C1[a, b] là không gian véc tơ trên R với các phép toán thôngthường về cộng hai hàm và nhân hàm với số thực Ta định nghĩa p1(x) = |x(a)|+supa≤t≤b|x′(t)|, p2(x) = supa≤t≤b|x(t)|, p3(x) = supa≤t≤b{|x(t)| + |x′(t)|} Khi

đó p1, p2, p2 là các chuẩn trên C1[a, b]

Ví dụ 1.2.5 Không gian C[a,b] với chuẩn k f k = max[a,b]| f (x)| là không gianBanach (vô hạn chiều)

Ví dụ 1.2.6 Gọi m là không gian các dãy số thực x = {λk}k bị chặn với chuẩn

|x| = sup{|λk| : k ∈ N∗} Khi đó m là không gian Banach

1.3 Không gian SoBolev

Các kết quả sau được trình bày chủ yếu trong tài liệu tham khảo [2]

Định lý 1.3.1 Giả sử hàm u ∈ Lp(Ω) với p ≥ 1 Khi đó

Một hàm có đạo hàm suy rộng có thể không có đạo hàm theo nghĩa thôngthường Để làm ví dụ ta lấy v(x) = |x|, x ∈ (−1,1) Dễ kiểm tra được hàm v(x)

có đạo hàm suy rộng trong khoảng (−1,1) Tuy nhiên, hàm này không có đạohàm thông thường tại điểm x = 0.

Một hàm có đạo hàm suy rộng cấp α trong miền Ω thì nó cũng có đạo hàmsuy rộng cấp α trong miền Ω′ ⊂ Ω Thật vậy, giả sử u(x) có đạo hàm suy rộngtrong miền Ω là hàm v(x) và ψ(x) là một hàm bất kì thuộcCo∞(Ω′), Ω′ là miềncon của Ω Khi coi ψ(x) = 0 với x ∈ Ω \ Ω′ ta nhận được ψ(x) ∈Co∞(Ω) Ta có

Có thể kiểm tra được rằng: Dα+βv= Dα(Dβv), aDαv1+bDαv2= Dα(av1+

bv2), ở đó a và b là các hằng số tùy ý

Từ định nghĩa của đạo hàm suy rộng thấy ngay được đạo hàm suy rộngkhông phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm Nói chung, đạo hàm suy rộng bảotoàn được nhiều tính chất của đạo hàm theo nghĩa thông thường Tuy nhiênkhông phải tất cả, chẳng hạn từ sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp α không suy rađược sự tồn tại đạo hàm suy rộng cấp nhỏ hơn α

Ta đi xét một định lí về sự liên hệ giữa đạo hàm suy rộng và trung bình hóa

Định lý 1.3.3 Giả sử Ω là một miền trong không gian Rn, Ω′ là miền con của

Ω, sao cho khoảng cách giữa Ω′ và ∂ Ω bằng d > 0 Khi đó, đối với 0 < h < d

f(x) =

x Z

a

g(t)dt + const, x ∈ (a, b)

Định lí sau đây nói lên mối liên hệ giữa tính liên tục tuyệt đối và đạo hàm theonghĩa thông thường của một hàm

Định lý 1.3.4 Giả sử f (x) liên tục tuyệt đối trên khoảng hữu hạn (a,b) Khi

đó tồn tại đạo hàm thông thường f′(x) hầu khắp trong (a, b) Hơn nữa, f′(x) là

hàm khả tổng trên (a,b) và

f(x) = f (a) +

x Z

a

f′(t)dt

Định lý 1.3.5 Nếu hàm f (x) liên tục tuyệt đối trên một khoảng hữu hạn (a,b),

thì nó có đạo hàm suy rộng trên khoảng này.

Chứng minh. Giả sử ψ ∈Co∞(a, b) Khi đó f ψ cũng là hàm liên tục tuyệt đốitrên khoảng (a,b) Theo định lí 1.3.4 các hàm f và ( f ψ) có đạo hàm thông

thường hầu khắp trong (a,b) và

b Z

a

f′(t)ψ(t)dt =

b Z

a

( f (t)ψ(t))′dt−

b Z

a

f(t)ψ′(t)dt

= −

b Z

a

f(t)ψ′(t)dt

Do đó, f′(x) là đạo hàm suy rộng của f (x) trong (a, b) Định lí được chứngminh

Các điều khẳng định ngược lại được xét trong định lí sau

Định lý 1.3.6 Giả sử f (x) có đạo hàm suy rộng trên khoảng (a,b) Khi đó f (x)

là hàm liên tục tuyệt đối trên khoảng (a,b) và hầu khắp trong khoảng (a,b) nó

có đạo hàm theo nghĩa thông thường f′(x).

Chứng minh. Giả sử f có đạo hàm suy rộng là f1 trong khoảng (a,b) Khi đó

f1∈ L1(a, b) Giả sử g ∈Co∞(a, b) và

b R a

g(t)dt = 1 Đặt

ϕ(x) = f (x) −

x Z

a

f1(t)dt +C,

ở đó C là hằng số được chọn sao cho:

b Z

a

f(t)ψ′(t)dt −

b Z

a

 x Z

a

f(t)ψ′(t)dt +

b Z

a

f1(t)ψ(t)dt

= 0

Đặt θ (x) = ψ(x) − g(x)Rb

a

ψ(t)dt Ta có θ (x) ∈Co∞(a, b) và

b R a

θ (t)dt = 0 Tanhận được

θ1(x) =

x Z

a

θ (t)dt ∈Co∞(a, b),

b Z

a

ϕ(x)ψ(x)dx =

b Z

a

ϕ(x)θ (x)dx =

b Z

a

ϕ(x)θ1′(x)dx = 0

với mọi ψ(x) ∈Co∞(a, b) Do đó ϕ(x) ≡ 0 và f (x) =

x R a

f1(t)dt −C, ở đây C =const,tức là f là hàm liên tục tuyệt đối và f′(x) = f1(x) hầu khắp trong (a, b) Định líđược chứng minh

1.3.3 Không gian Sobolev Wm

p (Ω), 1 ≤ p < ∞

Không gian Wm

p (Ω) là không gian bao gồm tất cả các hàm u(x) ∈ Lp(Ω), saocho tồn tại các đạo hàm suy rộng mọi cấp α, |α| ≤ m, thuộc Lp(Ω) và đượctrang bị chuẩn

kukWm

p (Ω)= ( ∑

|α|≤m Z

Ω

|Dαu(x)|pdx)1/p (1.1)Không gian Wm

p (Ω), 1 ≤ p < ∞ được gọi là không gian Sobolev

Định lý 1.3.7 Giả sử Ω là một miền trong Rn và m ≤ 0, 1 ≤ p < ∞ Khi đó

Wpm(Ω) là một không gian Banach.

Chứng minh. Dễ kiểm tra được Wm

p (Ω) là một không gian tuyến tính định chuẩnvới chuẩn (1.1) Bây giờ ta chứng minh nó là không gian đầy Giả sử uj ∞

j=1 làdãy Cauchy trong Wm

p (Ω), tức là với mỗi số tự nhiên k:

∑

|α|≤m Z

|Dα(uh− u)|pdx)1/p

= ( ∑

|α|≤m Z

Định lý 1.3.9 Nếu Ω là miền sao trong Rn, thì không gian C∞( ¯Ω) trù mật trong

Wpm(Ω).

Chứng minh. Giả sử Ω là miền sao trong Rn đối với gốc tọa độ Nếu u ∈

Wpm(Ω), thì hàm u(λ x) được xác định trong Ω1= {x ∈ Rn:λ x ∈ Ω} và u(λ x) ∈

Wpm(Ω1), ở đó λ1= const < 1 Hơn nữa, với mọi ε > 0 tồn tại một số δ (ε) saocho

Định lý 1.3.10 Giả sử Ω là một miền lồi bị chặn trong Rnvà Ω1là tập con của

Ωcó độ đo dương Giả sử rằng u ∈ W1

ở đó d(Ω) là đường kính của miền Ω, µn là độ đo Lebesgue n−chiều, C là hằng

số không phụ thuộc vào hàm u(x).

Chứng minh. Bởi vì Ω là miền lồi, nên Ω là miền sao Do vậy, C∞( ¯Ω) trù mậttrong không gian W1

ở đó x,y là các điểm tùy ý trong Ω, ∂

∂ v là đạo hàm theo hướng x− y

|x − y|, còn dt

là phần tử độ dài Nhờ bất đẳng thức Holder ta nhận được

|u(x)|p ≤ C|u(y)|p+C|x − y|p−1

l(x,y) Z

ta nhận được kết quả của định lí Định lí được chứng minh

Định lí sau đây miêu tả sự thác triển một hàm thuộc Wm

p (Ω) ra một miềnrộng hơn

Cách thác triển đã làm trong chứng minh Định lí có tên là thác triển ney.

Bây giờ ta đi xét một số tính chất của các hàm trong các không gian Sobolev.

Định lý 1.3.13 Giả sử u(x) ∈ Wm

p (Ω), p ≥ 1 và supp u(x) ⊂⊂ Ω Khi đó u(x) ∈

˚

Wpm(Ω).

Chứng minh. Giả sử uh(x) là trung bình hóa của hàm u(x) Bởi vì uh(x) khả vi

vô hạn với giá compact Hơn nữa, giả sử uh(x) → u(x) trong không gian Wpm(Ω)khi h → 0 Từ đó nhận được điều khẳng định của Định lí Định lí được chứngminh

Định lý 1.3.14 Không gian ˚Wpm(Rn) và Wpm(Rn) trùng nhau.

Chứng minh. Giả sử u(x) ∈ Wm

p (Rn) và θ (t) ∈ C∞(R1) là hàm sao cho θ (t) = 1với t < 1 và θ (t) = 0 với t > 2 Đặt uk(x) = u(x)θ (|x| − k) Khi đó

kuk

W2m,l(Q T ) = ( ∑

|α|≤m Z

QT

|∂

ku

∂ tk|2dxdt)1/2 (1.7)

Trường hợp l = 0, số hạng thứ hai trong vế phải của (1.7) coi như không có

Không khó khăn có thể kiểm tra được W2m,l(QT) là một không gian Banach.Hơn nữa, nó là không gian Hilbert với tích vô hướng được sinh ra từ chuẩn (1.7)

˚

W2m,l(QT) là không gian con của W2m,l(QT), bao gồm tất cả các hàm u(x, l)thuộc W2m,l(QT) và bằng không gần biên ST = ∂ Ω × (0, T ) Điều đó có nghĩa làu(x,t) ∈ ˚W2m,l(QT) khi và chỉ khi tồn tại một dãy {uk(x,t)}∞k=1⊂ C∞(QT), uk(x,t) =

0 khi (x,t) ∈ Qδ

T = {(x,t) ∈ QT : dist{(x,t), ST} < δ } , δ là số dương đủ bé và

u → u trong Wm,l(Q ) khi k → ∞ ˚Wm,l(Q ) cũng là một không gian Hilbert

Định lý 2.1.1 Giả sử Ω là một một miền bị chặn trong Rn và 1 ≤ p < n Khi đó,

˚

Wp1(Ω) ֒→ Lnp/(n−p)(Ω)

Hơn nữa, với mọi u ∈ ˚Wp1(Ω) có bất đẳng thức:

kukLnp/(n−p)(Ω)≤ Ck∇ukLp(Ω) (2.1)

∂ u

∂ xi

∂ u

∂ xi