Chuyên đề 3 hệ thức viet

* Nếu phương trình trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có CHUYÊN ĐỀ 3.. nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm * Nếu phương trình trung gian có 2 nghi

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Giải phương trình bậc hai cơ bản.

a) Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng ax2 bx c  0, trong đó x là

ẩn; a b c, , là nhũng số cho truớc goi là các hệ số và a 0

b ) Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

Đối với phương trình bậc hai ax2 bx c  0a 0

Nếu a b c   0 thì phương trình ax2bx c  0a 0 có hai nghiệm x1 1;x2 c

a

Nếu a b c   0 thì phương trình ax2bx c  0a 0 có hai nghiệm x1 1;x2 c

a



 Giải với :

Tính : = b2 – 4ac

 Nếu Δ 0  thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 Δ; 2 Δ

 Nếu Δ 0  thì phương trình có nghiệm kép 1 2

2

b

x x

a

 Nếu Δ 0  thi phuơng trình vô nghiệm

Chú ý: Nếu phương trình có a và c trái dấu thi Δ 0  Khi đó phuơng trình có 2 nghiệm phân biệt

2 Giải phương trình quy về phương trình bậc hai

Phương trình trùng phương: Cho phương trình: ax4 bx2  c 0a 0

Phương pháp: Đặt ẩn phụ:

Đặt tx2 t 0   Ta được phương trình: at2 bt c  0 (2)

*) Nếu phương trình (2) (phương trình trung gian) có 2 nghiệm dương thì phương trình trùng phương có 4 nghiệm

*) Nếu phương trình trung gian có một nghiệm dương, một nghiệm âm hoặc có

CHUYÊN ĐỀ 3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN

HỆ THỨC VI -ÉT VÀ ỨNG DỤNG

 TOÁN 9

nghiệm kép dương thì phương trình trùng phương có 2 nghiệm

*) Nếu phương trình trung gian có 2 nghiệm âm hoặc vô nghiệm thì phương trình

trùng phương vô nghiệm

3 Hệ thức Vi-ét 2 Hệ thức Viet và ứng dụng2 Hệ thức Viet và ứn2 Hệ thức Viet và ứng

a) Nếu x x1 ; 2 là hai nghiệm của phương trình ax2bx c  0a 0 thì:

1 2

1 2

b

S x x

a c

P x x

a











c) Muốn tìm hai số u và v, biết u v S  ; uv P , ta giải phương trình:

2

x  Sx P  0(Điều kiện để có u và v là S2  4P 0 )

Sủ dụng hệ thức Vi-et, biến đổi biểu thức đã cho suất hiện tổng và tích các nghiệm tù đó tính đuợc giá trị biểu thức

4 Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2

nghiệm x1, x2 không phụ thuộc vào tham số)

* Phương pháp giải:

 Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm (  0 hoặc a.c < 0)

 Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình

1 2

1 2

b

S x x

a c

P x x

a



  







 Khử tham số (bằng phương pháp cộng đại số) tìm hệ thức liên hệ giữa S

và P  Đó là hệ thức độc lập với tham số

5 Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng – Lập phương trình bâc hai khi biết hai nghiệm của nó:

* Phương pháp giải:

 Nếu 2 số u và v c ó: u v S u v P. 





 u, v là hai nghiệm của phương trình: x2 –

Sx + P = 0 (*)

+ Nếu > 0  pt (*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Vậy 1

2

u x

v x









1

u x

v x









+ Nếu = 0  pt (*) có nghiệm kép x1 = x2 =  b a' Vậy u = v = b a'

+ Nếu < 0  pt (*) vô nghiệm Vậy không có 2 số u, v thỏa đề bài

6 Chứng minh phương trình bậc hai luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số m:

* Phương pháp giải:

 Lập biệt thức 

 Biến đổi  đưa về dạng: = (A  B)2 + c > 0, m (với c là một số dương)

 Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi tham số m

7 Chứng minh phương trình bậc hai luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m:

* Phương pháp giải:

 Lập biệt thức 

 Biến đổi  đưa về dạng: = (A  B)2  0, m

 Kết luận: Vậy phương trình đã cho luôn nghiệm với mọi tham số m

8 Biện luận phương trình bậc hai theo tham số m:

* Phương pháp giải:

 Lập biệt thức 

 Biện luận:

+ Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi:  > 0  giải bất pt  tìm tham số m kết luận + Phương trình có nghiệm kép khi = 0  giải pt  tìm tham số m  kết luận

+ Phương trình vô nghiệm khi < 0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận

+ Phương trình có nghiệm khi   0  giải bất pt  tìm tham số m  kết luận

* Phương trình có 2 nghiệm trái dấu khi: a.c < 0  giải bất pt  tìm tham số m.

8 Xác định giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

* Phương pháp giải:

 Đưa biểu thức P cần tìm về dạng: P = (A  B)2 + c  P = (A  B)2 + c 

c.

 Giá trị nhỏ nhất của P: Pmin = c khi A  B = 0  giải pt  tìm tham số m

 kết luận

9 Xác định giá trị lớn nhất của biểu thức:

* Phương pháp giải:

 Đưa biểu thức Q cần tìm về dạng: Q = c – (A  B)2  Q = c – (A  B)2 

c

Giá trị nhỏ nhất của Q: Qmax = c khi A  B = 0  giải pt  tìm tham số m  kết luận

Các hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm thường được vận dụng để giải toán:

1 2 1 2 2 1 2

x x  x x  x x 2 2    2

x  x  x x x x  4x x

2

3 3

x x  x  x  x x  x x 

1 2 1 2 2 1 2 2 1 2

4) x1 x2  x1x22 4 x x1 2

x  x  x x  x x

   

x x  x  x  x x



   

2

2 1

4



7)

   2

2 2

4



2

2

2

.



Một số phép biến đổi thường gặp

1 2

• x – x thì xét x – x 1 2 2  x – x 1 22  x 1  x 22 – 4x x 1 2

• x x  thì xét  x | x | 1  2 2  x 12 x 2 2 2 x x 1 2

 2

x   x  2 x x x   x – 2x x  2 x x

Chú ý : A2  A , A B 2  2  A B , A B A.B   2 

Các ứng dụng vào giải toán chứa tham số: S = x1+ x2 =

a

b



; P =

x1.x2 =

a

c

 Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: ① Có nghiệm (có hai nghiệm)    0

② Vô nghiệm   < 0

③ Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0

④ Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0

⑤ Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0

⑥ Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0

⑦ Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0 P > 0 và S > 0

⑧ Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0 P > 0 và S < 0

⑨ Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0

⑩ Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1

B BÀI TẬP

DẠNG 1 : Tính giá trị biểu thức đối xứng giữa các nghiệm

Lý Thuyết cần nhớ :

Biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 của phương trình ax2 bx c  0 là biểu thức có giá trị không thay đổi khi ta hoán vị x1 và x2

Ta có thể biểu thị được các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x1 và x2 theo S và P,

ví dụ như

Bài 1: Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình: x2  x 2  2 0  Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

1 2

x x

Bài 2: Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình: 3x2  5x 6 0  Không giải phương trình, tính các giá trị của các biểu thức sau:

 1 2  2 1

.

B

1 2

C x x

D

 

Bài 3: Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình: x2  3x 7 0  Không giải phương trình a) Tính các giá trị của các biểu thức sau:

2 2

1 2

3 3

;

1 2 ; 3 1 2 3 2 1

Ex x F  x x x x

b) Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là

1

1 1

x  và

2

1 1

x 

Bài 4: Cho phương trình 2

x  x  có hai nghiệm dương phân biệt x x1 , 2 Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

2 2

1 2

T





DẠNG 2: Tìm giá trị của tham số m khi biết hệ thức đối xứng giữa các nghiệm.

Lý thuyết cần nhớ:

Bài toán thường gặp Tìm m để phương trình ax 2  bx c   0 a   0 có hai nghiệm (phân biệt) x , x 1 2 thỏa mãn một biểu thức đối xứng đối với x , x 1 2

Bước 1 Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x , x 1 2

1 2

x , x    0   0

1 2

x , x    0 > 0 

Bước 2 Biến đổi biểu thức đối xứng đối với x , x 1 2 về tổng x 1  x 2và tích x x 1 2

Bước 3 Sử dụng định lý Viet, ta có 1 2

b

a

c

x x

a

 và thay vào biểu thức chứa tổng x 1  x 2 và tích x x 1 2 ở trên Giải ra m, đối chiếu điều kiện ở bước 1

 BÀI TẬP.

Bài 1 Cho phương trình x2  5x m  0 ( m là tham số)

a) Giải phương trình trên khi m 6

b) Tìm m dể phương trình có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn x1  x2  3

Bài 2 Giải phương trình x2  2m 1x m  3 0  (1) (với m là tham số)

a) Giải phương trình với m 3

b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có các nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn 2 2

1 2 10

x x 

Bài 3 Tìm giá trị của m để phương trình x2  2m 1x m 2   3 0 có hai nghiệm x x1 , 2

thoả mãn x1  x2  10

Bài 4 Cho phương trình x2  2x m   3 0 (1) (với m là tham số)

a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm

b) Gọi x x, là các nghiệm của phương trình (1)

Tìm tất cả các giá trị của m để 2 2

1 2 3 1 2 4 0.

x x  x x  

Bài 5 Cho phương trình 2x2  4x m  0 (mlà tham số) Tìm tất cả các giá trị của mđể

phương trình đã cho có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn 2 2

1 2 10

x x 

Bài 6 Cho phương trình x2  2m 1x m 2 m 1 0(  m là tham số).Tìm m để phương

trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn điều kiện

1 2

4

x x 

Bài 7 Cho phương trình x2  2x m   3 0 ( m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có nghiệm x 1 Tính nghiệm còn lại

b) Tìm m để hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn hệ thức 3 3

1 2 8

x x 

Bài 8 Cho phương trình: x2  2m 1x m 2  3 0  Tìm tát cả giá trị của tham số m để

phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn: 1 2

2 1

2

x x

x  x 

Bài 9 Cho phương trình bậc hai với tham số m : x2  2m 1x 2m 3 0  (1)

Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 với mọi m Tìm

tất cả các giá trị của m thỏa mãn: x1 x2  2x x1 2  1

Bài 10 Cho phương trình x2  2m 1x m 2  4 0  Tìm giá trị của m để phương trình đã

cho có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn x x1 1  3x x2 2  3  6

Bài 11 Cho phương trình: x2  2mx 3 0  (1) (với m là tham số)

a) Giải phương trình (1) với m 1

b) Tìm tất cả các giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn: 2 2

1 2 3 1 2 1

x x  x x 

Bài 12 Cho phương trình x2  4x m  2 0  (1) ( x là ẩn số, m là tham số) Tìm m để

phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x , x 1 2 thỏa mãn x 1  22x 2  22  2

Bài 13 Cho phương trình bậc hai x2  2mx m 2  2m  3 0, với m là tham số Tìm tất cả

các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn: 3 3

1 2 108

x x  Bài 14 Tìm giá trị của tham số m sao cho phương trình x2  2mx m 2  2m  2 0 có hai

nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn 2 2

x x x x 

Bài 15 Cho phương trìnhx2  2m 3x 2m 1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 sao cho biểu thức 2 2

1 2

T x x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 16 Cho phương trình x2 2m 1x 4m m 2  0 Tìm m dể phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 sao cho biểu thức Ax1  x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 17 Cho phương trình x2 mx 3 0  Tìm m đề phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn x1  x2  4

Bài 18 Cho phuong trình x2 mx 2m 4 0  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn x1  x2  3

Bài 19 Cho phương trình x2  mx m  4 0(  x là ẩn số và m là tham số)

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phān biệt x1 và x2 với mọi m Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của m để 5x1  1 5  x2  1 0

Bài 20 Cho phương trình: x2  mx m  1 0  (có ẩn số x )

a Chứng minh phương trình đã cho luôn có hai nghiệm x x1 , 2 với mọi m

b Cho biểu thức

1 2

2 2

2 1

x x B





   Tìm giá trị của m để B 1

DẠNG 3 : Tìm giá trị của tham số m khi hệ thức không đối xứng giữa các nghiệm.

Phương pháp :

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x x1 , 2

ax2 bx c  0a 0 có hai nghiệm x x 1 , 2   0   0

ax2 bx c  0a 0 có hai nghiệm phân biệt x x 1 , 2   0   0

TH1 : Nếu biểu thức D( lẻ) ( không có dạng bình phương )

Bước 2: Sử dụng định lý Vi ét, ta có 1 2

b

x x

a

  , 1 2

c

x x a

 (*) Bước 3: Giải hệ 1 2

b

x x

a

  và biểu thức đã cho để tìm x x1 , 2theo m Bước 4: Thay x x1 , 2 vừa tìm được vào 1 2

c

x x a

 để giải m

TH2: Nếu biểu thức D( chẵn) ( có dạng bình phương )

Khi tính  hoặc  ' mà ra bình phương của một biểu thức thì ta giải theo cách tìm cả hai nghiệm x x1 , 2 đó ra

Giải theo cách này cần chú ý phải xét hai trường hợp

Trường hợp 1: Xét 1 ; 2

     

Trường hợp 2: Xét 1 ; 2

     

Sau đó thay giá trị x1; x2 vừa tìm được ở trên vào hệ thức đề bài hỏi và giải tìm m.

 BÀI trình x2  2m 1x m 2  2m 0(với m là tham số) Tìm tất cả các giá trị của m

để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 ; 2(với x1 x2) thỏa mãn: x1  3 x2

Bài 3 Cho phương trình x2  2m 2x 2m 0 ( m là tham số) Tìm m để phương trình

có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn x1  x2  2

Bài 4 Cho phương trình: x2 2m 1x 2m 5 0  với m là tham số

a)Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b)Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x1 ; 2 thỏa mãn x1  x2  2

Bài 5 Cho phương trình x2  x m   1 0 (1) ( m là tham số)

a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình (1) Tìm các giá trị của m sao cho

2

1 1 2 3 2 7

x x x  x 

Bài 6 Cho phương trình x2  m 1x m 2 m 1 1 

a) Giải phương trình với m 1

b) Chứng minh rằng với mọi m phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt Giả sử hai nghiệm là x x x1 ; 2 1 x2, khi đó tìm m để x2  x1  2

Bài 7 Cho phương trình: x2 2m 2x 2m 0 (1) với x là ẩn số

a) Chứng tỏ phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x x1 , 2

b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức 2

2 1 1

x  x x

Bài 8 Cho phương trình: x2  2x 2m2  0 (1) với x là ẩn số

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị của m để hai nghiệm của phương trình thỏa hệ thức 2 2

1 4 2

x  x

Bài 9 Cho phương trình: x2  2m 1m2 m 6 0 *   

a) Tìm m để phương trình  * có hai nghiệm

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm âm.

c) Tìm m để phương trình (*) có hai nghiệm x x1 , 2 thỏa mãn 3 3

1 2 50

x  x 

Bài 10 Cho phương trình x2  4x m 2  1 0  Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 phân biệt thỏa mãn x2  5x1

Bài 11 Cho phương trình x2  2k 1x 4k 0 Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 phân biệt thỏa mãn 3x1  x2  2

Bài 12 Cho phương trình x2  6x m   3 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 phân biệt thỏa mãn 2

2 1

x x

Bài 13 Cho phương trình x2  3x m 2   1 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1 , 2

phân biệt thỏa mãn x1  2 x2  3

Bài 14 Cho phương trình x2  2m 1 x 4m 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1 , 2 thỏa mãn x1  3x2

Bài 15 Cho phương trình x2  4x 4a a 2  0 Tìm a để phương trình có hai nghiệm

1 , 2

x x phân biệt thỏa mãn 2

1 2 6

x x 

Bài 16 Cho phương trình x2  2m 5x 2m 6 0  Tìm m để phương trình có hai

nghiệm x x1 , 2 phân biệt thỏa mãn x1  x2  7

Bài 17 Cho phương trình x2  2mx m 2  4 0  Tìm m để cho phương trình có hai

nghiệm phân biệt x x1 2 thỏa mãn

1 2

1

x x 

DẠNG 4: Tìm tham số m mà hệ thức xuất hiện thêm ẩn m.

( không thuộc dạng 2 và dạng 3)

Phương pháp:

Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm (phân biệt) x x1, 2

+ 2

ax bx  c (a 0) có hai nghiệm x x   1 , 2 0 ( ' 0)  

+ ax2 bx c  0 (a 0) có hai nghiêm phân biệt x x   1 , 2 0 ( ' 0)  

Bước 2: Sử dụng x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình ax2 bx c  0 nên