Toanthaycu com chuyên đề 3 hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

 Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó.. Phương pháp thế  Bước 1: Từ một phương trình của hệ đó cho coi là PT 1, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình thứ

CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ÂN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM

Cho hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: 1 1 1

a x b y c

a x b y c





 Nếu hai phương trình trên có nghiệm chung ( ; )x y thì 0 0 ( ; )x y được gọi là một nghiệm của hệ (I).0 0

 Nếu hai phương trình trên không có nghiệm chung thì ta nói hệ (I) vô nghiệm

 Giải hệ phương trình là tìm tập nghiệm của nó

1 Phương pháp thế

 Bước 1: Từ một phương trình của hệ đó cho (coi là PT (1)), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thế vào phương trình thứ hai (PT (2)) để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn)

 Bước 2: Dùng phương trình mới ấy để thay thế cho PT (2) trong hệ (PT (1) cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia)

2 Phương pháp cộng đại số

 Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới chỉ còn một ẩn

 Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (giữ nguyên phương trình còn lại)

Chú ý:

 Trong phương pháp cộng đại số, trước khi thực hiện bước 1, có thể nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau

 Đôi khi ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đó cho về hệ phương trình với hai ẩn mới, rồi sau đó sử dụng một trong hai phương pháp giải ở trờn

B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP

Dạng 1: Giải hệ phương trình đơn giản bằng phương pháp cộng, phương pháp thế và phương pháp

đặt ẩn phụ Câu 1. Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế 3 2 7

x y

x y







Lời giải

Từ phương trình dưới suy ra y 4 2x Thay vào phương trình trên ta có phương trình:

3x2 4 2 x  7 x 1 y 4 2.1 2

Vậy hệ có nghiệm duy nhất x y ;  1;2

Câu 2. Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng 3 2 11

x y

x y







Lời giải

Cộng hai phương trình lại với nhau, ta có: 4 12 3



Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ;  3; 1 

Câu 3: Tìm a b, biết hệ phương trình: 2

5

x by a

bx ay





 có nghiệm x  ; 1 y 3

Lời giải

Thay x  ; 1 y 3 vào hệ ta có:

2.1 3

b a







a b

a b





 



 3 9 6

a b

a b





 



 10 1

b

a b







 





1 10 17 10

b a











 



10

a ; 17

10

y  thì hệ phương trình có nghiệm x  ; 1 y 3

BTTT: Cho hệ phương trình: 2 5 1

x ay b

bx y





 Tìm a b, biết hệ có nghiệm 1

2

x y











Lời giải

x ay b

bx y





2

x y











Câu 4. Giải hệ phương trình 3( 1) 2( 2 ) 4







Lời giải

Hệ phương trình tương đương với:

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất x y  ;  1; 1.

Câu 5. Giải hệ phương trình:

2

3 1

y x y x









Lời giải

Điều kiện x  0.

1

2

1 3

x

y y

x



Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ;  1; 1

2

x y   

Câu 6. Giải hệ phương trình:

2

2

2

x y x y













Lời giải

Điều kiện y  Đặt 0 t 1

y

 , hệ phương trình đã cho trở thành

x

y t

x

(thỏa mãn)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất là x y  ;   1; 2.

Câu 7. Giải hệ phương trình

4

5

x

x









Lời giải

ĐK x1;y2

Đặt 11

2

x a x

b y





 









0

b  Khi đó hệ phương trình trở thành:

Khi đó ta có:

2

2 1

1 2

x

x x

y y

















Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất x y ;  2; 1 .

Câu 8. Giải hệ phương trình:

5 1

1 1

x y y

x y y









Lời giải

Điều kiện: x y y; 1

Đặt u 1

x y



1

v y



 Hệ phương trình thành :

Do đó, hệ đã cho tương đương :

1 1

1 1

x y

y







 



Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất x y  ;   1; 2.

Câu 9. Không dùng máy tính cầm tay, giải hệ phương trình: 4 3 4







Lời giải

Điều kiện: 0

0

x y











1

x x









 Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất x y ;  1;0.

Câu 10. Giải hệ phương trình

6

3

x











Lời giải

+ Điều kiện: x1;y2

5

2

2

y y

y

x





5 2 0







 

 



y x

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là  ;  0;5

2

 

 

 

Dạng 2: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

1 Phương pháp:

Cách 1:Đưa hệ phương trình đã cho về phương trình bậc nhất

 Bước 1: Đưa hệ phương trình về phương trình bậc nhất dạng ax b 0 (Dùng phương pháp thế, phương pháp cộng đại số,…)

 Bước 2: Xét phương trình ax b 0 1  (a b, là hằng số)

TH 1: Phương trình  1 có nghiệm duy nhất  a0  phương trình có nghiệm duy nhất

b x

a



TH 2: Phương trình  1 vô nghiệm 0

0

a b





 



TH 3: Phương trình  1 có vô số nghiệm 0

0

a b





 



 Bước 3: Kết luận

Cách 2: Xem hai phương trình của hệ là hai phương trình đường thẳng, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

2 Ví dụ

Bài 1. Tìm m để hệ phương trình 2

mx y m

x my m





Lời giải

Từ phương trình đầu ta có ymx 2m  *

Thế  * vào phương trình thứ hai ta được:

4x m mx  2m m 6 4 m x2m m6 **

Hệ phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi phương trình ** vô nghiệm

** vô nghiệm khi và chỉ khi:

2

2

2

m

m

m m

  



 



   

Bài 2 Tìm m để hệ phương trình 2 1

mx y

x y





Lời giải

2 1 (1)

mx y

x y







Từ pt  y 2 2x Thế vào pt ta được:

2(2 2 ) 1 ( 4) 5 (3)

mx  x   m x

4

m

  thì pt có nghiệm duy nhất  Hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Bài 3 Cho hệ phương trình : 2 4







x ay

ax y

a) Giải hệ phương trình với a1

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Lời giải a) Với a1, ta có hệ phương trình:















5 3

4 2

y x

y

Vậy với a1, hệ phương trình có nghiệm duy nhất là: x y;   1; 2 .

b) Ta xét 2 trường hợp:

+ Nếu a0, hệ có dạng: 

















3 2 5

3 4 2

y x

y Vậy hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a0, hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: 2 2

6 3

  



a a

2 

a

với mọi a )

Do đó, với a0, hệ luôn có nghiệm duy nhất

Tóm lại hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất với mọi a

Bài 4. Cho hệ phương trình: ( 2) 3 5( )

3

I

x my





a) Giải hệ phương trình  I với m  1

b) Chứng minh hệ phương trình  I có nghiệm duy nhất với mọi m Tìm nghiệm duy nhất đó theo m

Lời giải a) Thay m  ta có hệ phương trình 1

3

x y

x y







b)

2

2

( 2 3) 3 1 (1)

3 (2)

 

 



m  m  m   m nên PT  1 có nghiệm duy nhất m

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất m

Từ  1 ta có: 23 1

2 3

m y





  thay vào  2 ta có 29 5

2 3

m x





 

Vậy nghiệm của hệ phương trình là  ,  29 5 ; 23 1

x y

Dạng 3: Tìm m để hệ phương trình có nghiệm x y thỏa điều kiện cho trước.; 

 Phương pháp:

 Bước 1: Giải hệ phương trình tìm nghiệm x y theo tham số m ;, 

 Bước 2: Thế nghiệm x y, vào biểu thức điều kiện cho trước, giải tìm m ;

 Bước 3: Kết luận

x y m

x y m





  I ( m là tham số)

a) Giải hệ phương trình  I khi m  1

b) Tìm m để hệ  I có nghiệm duy nhất x y thỏa mãn ;  x y 3

Lời giải a) Với m  , hệ phương trình 1  I có dạng:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y ,  2;1 .

b)

7

m x

y











Hệ phương trình có nghiệm duy nhất  ;  5 9; 6

x y    

Vậy với m  thì hệ phương trình 6  I có nghiệm duy nhất x y thỏa mãn ,  xy3

x y m

x y





Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn: x2 2y2 2

Lời giải

Thay vào ta có

2 2 2 2 2 0

2

m

m





 Vậy m –2;0 .

1

mx y m





a) Giải hệ phương trình khi m  ;2

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất x y ; 

thỏa mãn: 2x y 3

Lời giải a) Giải hệ phương trình khi m  2

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất 1;1 

b) Ta có y2 –m1x thế vào phương trình còn lại ta được phương trình:

mx m x m   x m suy ra y2 –m12 với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất     2

x y  m m

2x y2 m1 2 – m1 m 4m1 3 – m 2 3 với mọi m

5

x y m

x y





 có nghiệm x y Tìm m để biểu thức ;  A xy x   1

đạt giái trị lớn nhất

Lời giải

8

max

A

  khi m  1

2

x my m

mx y m





a) Giải hệ phương trình khi m  2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y thỏa mãn ;  2

1

x y











Lời giải

a) Thay m  ta có hệ phương trình 1

5

3

x

y









 

x my m

mx y m







Từ (2)  y2m mx thay vào (1) ta được x m m mx 2     m 1 2m2 m x x m2   1

1 m x2 2m2 m 1 m2 1x 2m2 m 1

Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất   3 có nghiệm duy nhất m21 0  m1

 *

Khi đó hệ đã cho có nghiệm duy nhất

1 1

m x m m y m









 



Ta có

m



Kết hợp với  * ta được giá trị m cần tìm là m   1

a x y a





a) Giải hệ phương trình khi a  2

b) Giải và biện luận hệ phương trình.

c) Tìm các số nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên

d) Tìm a để nghiệm của hệ phương trình thỏa mãn x y đạt GTNN

Lời giải

a) Khi a  hệ phương trình có dạng: 2

5

4

x

y









Vậy với a  hệ phương trình có nghiệm 2  ;  5 3;

4 4

x y  

 

b) Giải và biện luận:

Từ PT  1 ta có: ya1x a1  3 thế vào PT  2 ta được:

x a  a x a    x a  x a    a x a   4

TH1: a  , phương trình 0  4 có nghiệm duy nhất x a2 21

a



 Thay vào  3 ta có:

Suy ra hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 

2

x y

TH2: Nếu a  , phương trình 0  4 vô nghiệm Suy ra hệ phương trình đã cho vô nghiệm KL: a  hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất0  

2

x y

0

a  hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

c) Với a  thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất0  

2

x y

2 2

2

1 1

a

a

a



















Điều kiện cần:

2

2

a



Điều kiện đủ:

a  y   (nhận)

a  y   (nhận)

Vậy a  hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên.1

d) Với a  thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất0  

2

x y

Ta có

1

x y

Đặt t 1

a

 ta được:

x y  t   t t  t  t     t   

      

Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi 1

4

t  , khi đó a 4

Vậy a  thì hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x y4  đạt GTNN bằng 7

8

4

x y

mx y





 

 

1 2

a) Giải hệ phương trình với m 2

b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y,  trong đó x y, trái dấu

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y;  thỏa mãn xy

Giải:

a) Với m 2 ta có hệ phương trình:

2 5

x y

 



  

b) Từ phương trình (1) ta có x2y5 Thay x2y5 vào phương trình (2) ta được:

m y  y  m y  m (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi (3) có nghiệm duy nhất Điều này tương đương với:

1

2

m   m Từ đó ta được: 4 5

m y

m





 ; 3

5 2

m

3 4 5

m

x y

m







5

x y   m  m (thỏa mãn điều kiện)

m

x y



2

m   m Với điều kiện 1

2

m  ta có:

 

 

1

5

m m

m

m











Vậy 7

5

m  .

x my m

mx y m





 

 

1 2 a) Không giải hệ phương trình trên, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất?

b) Giải và biện luận hệ phương trình trên theo m

c) Tìm số nguyên m sao cho hệ phương trình có nghiệm duy nhất x y,  mà x y, đều là số nguyên

d) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất x y,  thì điểm M x y ,  luôn chạy trên một đường thẳng cố định

e) Tìm m để hệ trên có nghiệm duy nhất sao cho x y đạt giá trị nhỏ nhất

Lời giải:

a) Từ phương trình (2) ta có y3m 1 mx Thay vào phương trình (1) ta được:

x m m   mx   m m  x m  m (3)

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất , tức là

m    m .

Ta cũng có thể lập luận theo cách khác: Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi :

2

1

1

m

m      .

b) Từ phương trình (2) ta có y3m 1 mx Thay vào phương trình (1) ta được:

x m m   mx   m m  x m  m (3)

2

2

x











Trường hợp 2: m 1 Khi đó phương trình (3) thành: 0.x 0.

Vậy hệ có vô số nghiệm dạng x; 2 x x,  .

(3) vô nghiệm, do đó hệ vô nghiệm.

c) Hệ đã cho có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 1

Ta có:

3

1

m x

m

y











Vậy x y, nguyên khi và chỉ khi 2

1

m  nguyên Do đó m 1 chỉ có

thể là 2; 1;1; 2 Vậy m  3; 2;0 (thỏa mãn) hoặc m 1 (loại)

Vậy m nhận các giá trị là 3; 2;0 .

d) Khi hệ có nghiệm duy nhất x y,  ta có: 2 2

x y

Vậy điểm M x y ;  luôn chạy trên đường thẳng cố định có phương trình y x  2.

e) Khi hệ có nghiệm duy nhất x y;  theo (d) ta có: y x  2 Do đó:

xy x x  x  x   x  

Vậy với m 0 thì x y. đạt giá trị nhỏ nhất.

1

x my m

mx y m





 

 

1

2 có nghiệm duy nhất m  1 lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1) của hệ ta thu được: m1x m1 y2m1 x y 2

mx y m





 Chứng minh rằng với mọi m hệ phương trình

luôn có nghiệm Gọi x y0; 0 là một cặp nghiệm của phương trình: Chứng minh:

x y  x y   (Trích đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Toán - ĐHSP Hà Nội 2015).

Lời giải:

Từ phương trình (2) của hệ phương trình ta có y3m 1 mx thay vào phương trình  1 của

hệ ta có: m21x3m2 3m2 Do m  2 1 0 với mọi m nên phương trình này luôn có

nghiệm duy nhất x0 Suy ra hệ luôn có nghiệm với mọi m.

Gọi x y0; 0 là một nghiệm của hệ: Từ hệ phương trình ta có:  







.Nhân cả hai

vế phương trình thứ nhất với 3 x 0, phương trình thứ hai với y 0 4 rồi trừ hai phương

3 x x  2  y  4 y 1  0 x y  5 x y 10 0 .

Ngoài ra ta cũng có thể giải theo cách khác như sau:

 d :x my 4m 2 0,  d' :mx y  3m1 0 Ta dễ dàng chứng minh được đường thẳng  d

luôn đi qua điểm cố định: A2; 4 và đường thẳng  d' luôn đi qua điểm cố định : B3;1 Mặt khác ta cũng dễ chứng minh đường thẳng ( )d và đường thẳng ( ')d vuông góc với nhau nên hai đường thẳng này luôn cắt nhau Gọi M x y 0; 0 là giao điểm của hai đường thẳng thì tam giác M AB vuông tại M Gọi I là trung điểm của AB thì 5 5

;

2 2

I  

 , AB  10 suy ra

IM  AB IM AB  x   y    

. x02y02  5x0y010 0 .

x my

mx y m







(1) (2)

Hệ có nghiệm duy nhất x y, , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau đây:

a) P x 23y2 (1)

Q x y (2)

Lời giải:

Từ phương trình (2) ta suy ra: y2m 1 mx Thay vào phương trình (1) ta được:

x m m   mx   m  x m m (3).

Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi phương trình (3) có nghiệm duy nhất, điều đó xảy ra khi và chỉ khi: m2  1 0 m1.

Khi đó

2 2

2

x

m













.

a) Ta có: P x 23x 22 4x212x122x 32 3 3

3

m

m



Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 3.

b) Ta có: Q x 4y4 x4x 24

đặt t x 1.

Khi đó Q t 14t14  t4 4t36t24 1t t4 4t36t2 4t 1 2t412t2 2 2

1

m

m



Vậy giá trị nhỏ nhất của Q bằng 2.