Đặt vấn đề Trong chuyên đề này ta sẽ thiết lập các hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của góc và góc 2.. Nhờ đó mà ta tính được các tỉ số lượng giác của góc khi biết tỉ số lượ
Trang 1Chuyên đề 4: HỆ THỨC GIỮA CÁC TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC GÓC VÀ 2
0 45
A Đặt vấn đề
Trong chuyên đề này ta sẽ thiết lập các hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của góc và góc
2 Nhờ đó mà ta tính được các tỉ số lượng giác của góc khi biết tỉ số lượng giác của góc 2và ngược lại
B Một số ví dụ
Ví dụ 1 Cho 45, chứng minh rằng sin 22 sincos
Áp dụng: Cho sin 0,6tính sin 2
Giải
Xét ABCvuông tại A, C 45
Vẽ đường cao AH và đường trung tuyến AM
2
Ta có AMCcân tại M, do đó AMB 2C 2
ABC
vuông tại A, ta có sin AB
BC
BC
Xét AHMvuông tại H, ta có sin 2 AH
AM
1
2
Từ 1 và 2 suy ra sin 2 2 sincos
Áp dụng: Nếu sin 0,6 thì 2 2 2
cos 1 sin 1 0,6 0,64
Do đó cos 0,64 0,8 Vậy sin 2 2 sin cos 2.0,6.0,80, 96
Nhận xét: Việc xét ABC vuông tại A là để có sin và cos Việc vẽ đường trung tuyến AM là
để xuất hiện 2 Vẽ thêm đường cao AH để có thể tính sin 2
Ví dụ 2 Cho 45 Chứng minh các hệ thức sau:
cos 2 cos sin
2 tan
tan 2
1 tan
Giải
cos 2 1 sin 2 1 2 sincos 1 4 sin cos
Trang 2Do đó: 2 2 2
cos 2 cos sin cos2 sin2
Vì 45 nên sin cos(xem bài 2.26) Vậy 2 2
cos 2 cos sin
Lưu ý: Tiếp tục biến đổi các hệ thức trên ta được các hệ thức sau
cos sin cos 1 cos 2 cos 1
cos sin 1 sin sin 1 2 sin
cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin
b) Ta có tan 2 sin 2
cos 2
2 sin cos cos sin
Chia cả tử và mẫu cho 2
cos ta được:
2 sin cos cos sin
: 1 tan cos
2 tan
1 tan
Ví dụ 3 Cho tam giác ABC vuông tại C,A ,B với Chứng minh rằng:
sin sin 1 sin 2
Giải
ABC
vuông tại C nên AB 90
Mặt khác, ABnên A 45
Ta có 90 nên sin cos
Do đó sin sin2 sin cos2
2 2
sin cos 2 sin cos
1 sin 2
Ví dụ 4 Không dùng máy tính hoặc bảng số hãy tính:
sin 22 30 ,cos 22 30 ,tan 22 30
Giải
Tìm hướng giải
Vì 22 30 bằng một nửa của góc 45 , nên ta dùng công thức tỉ số lượng giác của góc nhân đôi
để giải
Trình bày lời giải
Trang 3 Ta có 2
cos 2 1 2 sin sin2 1 cos 2
2
Với 22 30 , 2 45 ta được:
sin 22 302 1 cos 45
2
1
4
Suy ra sin 22 30 2 2
2
cos 2 2 cos 1 cos2 1 cos 2
2
Với 22 30 , 2 45 ta được:
cos 22 30 1 cos 45
2
4
Suy ra cos 22 30 2 2
2
tan 22 30 sin 22 30
cos 22 30
:
2 12
2 1 1
C Bài tập vận dụng
4.1 Cho 0 45 , chứng minh rằng 1 sin 2 sin cos
4.2 Cho sin 24
25
a) sin 2
b) sin
2
4.3 Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: sin15,cos15 ,tan15
4.4 Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính: sin 75 ,cos 75, tan 75
4.5 Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính:
sin 67 30 ,cos 67 30 ,tan 67 30
4.6 Không dùng máy tính hoặc bảng số, hãy tính:
a) cos36
Trang 4sin
4.8 Cho tam giác ABC vuông tại A, BC a, C 45 Vẽ đường trung tuyến AM Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AM cắt đường thẳng BC tại N Chứng minh rằng:
2
2
cos
2 cos 1
a
4.9 Cho tam giác ABC cân tại A, A 80 Trên cạnh BC lấy điểm M, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho BAM 50, ABN 30 Gọi O là giao điểm của AM và BN Chứng minh rằng MONlà tam giác cân
4.10 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng:
sin sin sin sin sin sin
HƯỚNG DẪN GIẢI - ĐÁP SỐ
4.1 Ta có 1 sin 2 2 2
sin cos 2 sin cos
sin cos2
Do đó 1 sin 2 sin cos2 sin cos
Ta có sin cos 0nên 1 sin 2 sin cos
4.2.
a) Ta có 2 2
sin cos 1
2
Do đó cos 49 7
625 25
Vậy sin 2 2 sin cos 2.24 7 336
25 25 625
cos 2 1 2 sin suy ra cos 1 2 sin2
2
Do đó sin2 1 cos
Trang 54.3 Ta có 2
cos 2 1 2 sin sin2 1 cos 2
2
Với 15,2 30 ta được:
2 1 cos 30 sin 15
2
sin 15
Với 15,2 30 ta được:
cos 152 1 cos 30
2
cos15
Ta có tan15 sin15
cos15
:
2
4 2 3
2
Cách giải khác: Tính trực tiếp theo định nghĩa tỉ số lượng giác
Cách thứ nhất
Xét ABC vuông tại A, B 15,AC 1
Để tính sin B, cos B, tan B ta cần phải biết AB, BC
Vẽ đường trung trực của BC cắt AB tại N
NBC
cân tại N Ta có ANC2B30
Xét ANC vuông tại A có ANC 30 , nên NC2AC2
AN AC cot 30 1 3 3; ABANNBANNC 2 3
Xét ABCvuông tại A có 2 2 2 2 2
BC AB AC
Do đó BC 8 4 3 2 4 2 3 2 3 1 2 2 3 1
Vậy sin15 sinB AC
BC
Trang 6tan15 tanB AC
AB
1
Cách thứ hai
Xét ABC vuông tại A, B 15, BC 4
Vẽ đường trung tuyến AM và đường cao AH
Ta có MAMBMC 2
MAB
cân tại M, AMC2B30
Xét AMHvuông tại H, AMC 30nên 1 1
2
2
Suy ra HBHMMB 32
2
AB
AC BC AB 16 84 3 8 4 32 4 2 3 2 3 1 2
AC
4
AC B BC
cos15 cos
AB B BC
2
AC B AB
4.4 Dùng kết quả bài 4.3 ta được:
sin 75 cos15
4
cos 75 sin15
4
Trang 71 1
4.5 Dùng kết quả ví dụ 4 ta được:
sin 67 30 cos 22 30
2
cos 67 30 sin 22 30
2
tan 22 30 2 1
4.6.
a) Vẽ ABCcân tại A, A 36 , BC 1 Khi đó B C 72
Vẽ đường phân giác BD
Dễ thấy các tam giác BCD, ABD là những tam giác cân
Do đó ADBDBC1 Vẽ DHAB thì HAHB
Ta đặt HAHB x
Xét ADH vuông tại H, ta có cos
1
A AD
Do đó cos36 x
Xét ABCcó ABAC2x; CD2x 1
Vì BD là đường phân giác nên:
DC AC x
2 2
5 1 (chän) 4
0 (lo¹i) 4
x x
Vậy cos 36 5 1
4
cos 2 2 cos 1 ta được
2
Cũng vận dụng hệ thức trên ta được 2
cos 36 2 cos 18 1
Trang 8Do đó cos18 1 2 5 10
4
Từ đó suy ra sin 72 cos18 1 2 5 10
4
sin18 cos 72 5 1
4
4.7 Ta đặt AB 2athì BM = DN = a
Dùng định lí Py-ta-go ta tính được AMAN a 5
Đặt BAM DAN , khi đó 90 2
Vậy và 2 là hai góc phụ nhau
2
5 5
Cách giải khác
Gọi H là giao điểm của AN với DM
Suy ra A1 D 1
Ta có D 1 D 2 90nên A1D2 90
Suy ra AH DH
Ta đặt AB2a thì DN a, DMAM a 5
5 5
DH
HM DM DHa
a AM
4.8.
Trang 9 vuông cân tại A, AM là đường trung tuyến nên
2
a
AMC
cân tại M AMN 2
Xét AMNvuông cân ta có AM MN cos 2
2 cos 2 2 cos 2 2 cos 2
MN
2 2 cos 2 2 cos 2
a
CNCMMN
cos 2 2 cos 1 nên 2
cos 2 1 2 cos
Do đó
2 2
2 cos 1
2 2 cos 1
4.9 ABCcân tại A, A 80 nên BC 50
Ta có BMA 180 50 50 80
CBN 50 30 20
ANBNBC C 20 50 70
CAM 80 50 30
Áp dụng định lí sinvào các tam giác OBM, OAB,
OAN ta được:
sin 20 sin 20 sin 80 sin 80
OB
sin 50 sin 50 sin 30 sin 30
OA
sin 70 sin 70 sin 30 sin 30
ON
sin 20 sin 50 sin 70 sin 20 cos 40 cos 20
1 1 sin 80 sin 30 sin 30
sin 80
2 2
OM
ON
2 sin 20 cos 20 2 cos 40 sin 40 2 cos 40 sin 80
1
Suy ra OMONdo đó MON cân tại O
4.10 Ta có sin 2 sin cos
C
Trang 10sin sin sin 90 cos
2 2 2 2
180
AB C C C
Ta có sin sin sin sin sin sin
8sin cos sin cos sin cos cos cos cos
8sin sin sin 1
Bất đẳng thức cuối đúng (xem bài 2.8) Do đó bất đẳng thức đã cho là đúng