BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 1 Tính độ dài các đoạn thẳng trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông ABC tại đỉnh A với đường cao AH, nếu biết độ dài của hai trong số sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, và HC, thì có thể xác định được độ dài của bốn đoạn thẳng còn lại.
• Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau:
Bài 1 Tính x y, trong mỗi hình vẽ sau: x y
Trong bài 2, cho tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH a) Biết AB = 3cm và AC = 4cm, cần tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và BC b) Nếu BH = 9cm, cần tìm độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC và AH.
Bài 3 Cho tam giác ABCvuông tại A, AH ⊥BC( Hthuộc BC ) Cho biết AB AC: =3 : 4và
BC = cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH
Bài 4 Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH Cho biết AB AC: =3 : 4và
AH = cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH
* Học sinh tự luyện tập các bài tập sau tại lớp :
Bài 5 Tính x y, trong các hình vẽ sau : b c c' b' a
Trong bài 6, xét tam giác ABC vuông tại A với đường cao AH a) Với AB = 3 cm và BC = 5 cm, ta cần tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và AC b) Nếu AH = 4 cm và CH = 12 cm, hãy tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC và BH c) Đề bài cho biết một số thông tin liên quan đến các đoạn thẳng trong tam giác.
AC = cm AH cm Tính độ dài các đoạn thẳng AB BC BH, , và CH.
Bài 7 Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH.Cho biết 5
AC = và BC2cm. Tính độ dài các đoạn thẳng BH CH,
Bài 8 Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH Cho biết AB AC: =3 : 4 và
AH = cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH CH,
BÀI TẬP VỀ NHÀ
Bài 9 Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH Cho biết AB=4cm BC, =7, 5cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH CH,
Bài 10 Cho tam giác ABCvuông tại A , đường cao AH. a) Biết AH =6cm BH, =4, 5cm.Tính AB AC BC HC, , , b) Biết AB=6cm BH, =3cm.Tính AH AC CH, ,
Bài 11 Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH.Tính diện tích tam giác ABC, biết
Trong tam giác ABC, với độ dài các cạnh BC = 7,5 cm, CA = 4,5 cm và AB = 6 cm, chúng ta cần tính độ dài đường cao AH của tam giác Đồng thời, cũng sẽ tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH.
Trong bài 13, chúng ta có một tam giác vuông với các cạnh góc vuông lần lượt là 7 và 24 Để tính độ dài đường cao từ đỉnh vuông xuống cạnh huyền, trước tiên, ta cần xác định độ dài cạnh huyền bằng định lý Pythagore Sau đó, sử dụng công thức tính diện tích tam giác, ta có thể tìm ra độ dài đường cao và các đoạn thẳng mà đường cao này chia ra trên cạnh huyền.
Bài 14 Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH.Biết 5, 15
Bài 15 Cho ABCD là hình thang vuông tại A và D.Đường chéo BDvuông góc với BC Biết
AD= cm DC= cm Tính độ dài AB BC, và BD.
VẤN ĐỀ 2 HỆ THỨC VỀ CẠNH VÀ ĐƯỜNG CAO TRONG TAM GIÁC VUÔNG
Nhắc lại lý thuyết : Cho tam giác ABCvuông tại A, đường cao AH Khi đó có các hệ thức sau :
• AB AC =BC AH hay cb=a h.
• BC 2 = AB 2 +AC 2 ( Định lí Pitago)
B BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN
Dạng 2 Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải bài toán hình học hiệu quả là sử dụng các hệ thức liên quan đến cạnh và đường cao Đầu tiên, cần chọn những tam giác vuông thích hợp để chứa các đoạn thẳng có trong hệ thức.
Bước 2 Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và dường cao
Bước 3 Liên kết các giá trị trên để rút ra hệ thức cần chứng minh
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau :
Bài 1 Cho tam giác CDE nhọn, đường cao CH Gọi M N, theo thứ tự là hình chiếu của
H lên CD DE, Chứng minh : a) CD CM =CE CN ; b) Tam giác CMN đồng dạng với tam giác CED.
Trong hình vuông ABCD, điểm I nằm giữa A và B Tia DI và tia CB giao nhau tại điểm K Từ điểm D, kẻ một đường thẳng vuông góc với DI, đường thẳng này cắt BC tại điểm L.
Chứng minh : a) Tam giác DIL là tam giác cân ; b) Tổng 1 2 1 2
DI +DK không đổi khi I thay đổi trên cạnh AB.
* Học sinh tự luyện tập các bài tập sau tại lớp : h c b c' b' a
A a) Chứng minh AB 2 +CH 2 = AC 2 +BH 2 ; b) Gọi M N, theo thứ tự là hình chiếu của Hlên AB AC, Chứng minh :
Bài 4 Cho hình thoi ABCDcó hai đường chéo cắt nhau tại O Cho biết khoảng cách từ O tới mỗi cạnh của hình thoi là h AC, =m BD, =n Chứng minh : 1 2 1 2 1 2
Trong bài 5, cho hình chữ nhật ABCD với AB = 8cm và BC = x cm Ta cần tính độ dài đoạn thẳng BD, sau đó vẽ đường thẳng AH vuông góc với BD tại điểm H và tính độ dài đoạn AH Cuối cùng, đường thẳng AH cắt BC và DC tại các điểm I và K, và cần chứng minh rằng AH^2 = HI * HK.
Hình thang ABCD vuông tại A và D với AB = 15cm và AD = 20cm, có các đường chéo AC và BD vuông góc tại O Cần tính độ dài các đoạn OB và OD, độ dài đoạn AC, cũng như diện tích của hình thang ABCD.
Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A Đường cao AH, kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với
FC AC ; b) BC.BE.CF AH = 3
Tam giác ABC là tam giác cân tại A, với AH và BK là hai đường cao Đường thẳng vuông góc với BC tại B cắt tia CA tại D Cần chứng minh rằng BD = 2.AH.
Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
* Giáo viên hướng dẫn học sinh giải các bài tập sau :
Bài 1 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Cho biết BH = 4cm, CH = 9cm Gọi D,
E là hình chiếu vuông góc của H trên các cạnh AB và AC Để tính độ dài đoạn thẳng DE, ta thực hiện các phép toán liên quan đến hình học Tiếp theo, các đường thẳng vuông góc với DE tại D và E sẽ cắt BC tại M và N Cuối cùng, cần chứng minh rằng MN song song với BC.
= 2 c) Tính diện tích của tứ giác DENM
Bài 2 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi D và E lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB, AC Chứng minh a) AB 2 2 HB
AC = EC ; c) DE 2 = BD CE BC; d) 3 BC 2 = 3 BD 2 + 3 CE 2
*Học sinh tự luyện các bài tập sau đây
Bài 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH a) Cho biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và BC b) Cho biết AB = 6cm, BC = 10cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AH và AC
Bài 4 Tìm độ dài các cạnh của một tam giác vuông nếu đường cao ứng với cạnh huyền có độ dài 48cm và hình chiếu của các cạnh góc vuông trên cạnh huyền theo tỉ lệ 9 : 16
Bài 5 Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH Biết BD = 15cm, CD 20cm Tính độ dài các đoạn thẳng HB, HC
Bài 6 Cho hình thang cân ABCD có độ dài cạnh đáy AB = 26cm và cạnh bên AD = 10cm
Cho biết đường chéo AC vuông góc với cạnh bên BC Tính diện tích hình thang ABCD
Bài 7 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH a) Nếu BH = 2cm, CH = 8cm Tính độ dài các đoạn AB, AC, BC, AH b) Nếu AH = 5cm, CH = 16cm Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC, BH
Bài 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Cho biết AB : AC = 3 : 4 và AH 12cm Tính độ dài các đoạn thẳng BH và CH
Bài 9 Cho tam giác ABC vuông tại A, phân giác AD, đường cao AH Cho biết BD = 15cm,
CD = 20cm Tính độ dài các đoạn thẳng HB và HC
Bài 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Tính chu vi của tam giác ABC biết
Bài 11 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Tính diện tích tam giác ABC biết rằng AH = 12cm, BH = 9cm
Bài 12 Cho tam giác ABC vuông tại C, đường cao CK a) Cho biết AB = 10cm, AC = 8cm Tính BC, CK, BK và AK b) Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của K trên BC và AC Chứng minh CB CH CA CI c) Gọi M là chân đường vuông kẻ từ K xuống IH Chứng minh 1 2 = 1 2 + 1 2
KM CH CI d) Chứng minh AI AC 3 3
VẤN ĐỀ 4 TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN (PHẦN I)
● Cho góc nhọn α ( 0 o < α