TÀI LIỆU ÔN THI TỐT NGHIỆP MÔN TOÁN

Tài liệu ôn thi tốt nghiệm năm 2014

CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm).

Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón

tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón

tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

1.0

II PHẦN RIÊNG (3.0 điểm).

Thí sinh học chỉ được chọn một trong hai phần sau: (phần 1 hoặc phần 2)

1) Theo chương trình chuản:

VI.a

Phương pháp tọa độ trong không gian:

+ Xác định tọa độ của điểm, vectơ + Mặt cầu.

+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

+ Tính góc; khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.

2.0

V.a

 Số phức: Mô đun của số phức, các phép toán trên số phức.

Căn bậc hai của số phức âm Phương trình bậc hai với hệ số thực

và có biệt thức Δ âm.

 Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối

nón tròn xoay.

2.0

2) Theo chương trình nâng cao:

VI.b

Phương pháp tọa độ trong không gian:

+ Xác định tọa độ của điểm, vectơ + Mặt cầu.

+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.

+ Tính góc; khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; Khoảng cách giữa hai đường thẳng Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.

2.0

V.b  Số phức: Mô đun của số phức, các phép toán trên số phức.

Căn bậc hai của số phức âm Phương trình bậc hai với hệ số phức

Dạng lượng giác của số phức.

 Đồ thị của hàm số phân thức hữu tỉ dạng:

q px

c bx ax y

+

++

yếu tố liên quan.

 Sự tiếp xúc của hai đường cong.

2.0

 Hệ phương trình mũ và lôgarit.

 Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối

nón tròn xoay.

-Hết -MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC

I BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT:

π

( )0

445

π

( )0

360

π

( )0

290

π

( )0

23120

π

( )0

34135

π

( )0

56150

3

32

22

1

12

2 Công thức nhân đôi:

sin 2a=2sin cosa a

1 tan

a a

1 tan

a a

a

=

−o

2 1 cos 2sin

2

a

a= −o

4 Công thức biến đổi tích thành tổng:

5 Công thức biến đổi tổng thành tích:

III PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:

Phương trình sin x a= Phương trình cos x a=

IV PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:

1 Phương trình dạng: asinx + bcosx = c.

a c

a b b

a b

αα

+ Kiểm tra với cos x = 0 có phải là nghiệm của phương trình không?

+ Nếu cosx≠0, chia 2 vế của phương trình cho cos2x , ta được: atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x)

IV MỘT SỐ CÔNG THỨC HAY DÙNG:

cosx = −sinx

o( )'

2

1tan

os

x

c x

=o

2

u u

u

=o

( )'

sinu =u'.cosu

o( )'

cosu = −u'.sinu

o( )'

2

'tan

os

u u

c u

=o

( )'

2

1cot

sin

u u

u

= −o

u a

=o

( )'

' '

u v± = ±u v

o( )'

u v =u v v u+o

cx d

a d c b y

cx d

+

=+

−

⇒ =

+o

PHẦN GIẢI TÍCH

Chương I: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

I KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3; BẬC 4.

1 Các bước khảo sát hàm số:

+ Tập xác định: D=¡

+ Tính đạo hàm ' y , giải phương trình ' 0 y = và tìm các điểm cực trị của hàm số.

+ Tính các giới hạn lim ; lim x→−∞y x→+∞y

+ Lập bảng biến thiên, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số.

+ Vẽ đồ thị: ( Tìm các điểm đặc biệt, tâm đối xứng của đồ thị, các giao điểm với truc Ox, trục Oy)

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của

– 4 – 4

* Nhận xét:

+ Hàm số đồng biến trên ( 1;0)− và (1;+∞), nghịch biến trên (−∞ −; 1) và (0;1)

+ Hàm số đạt cực đại tại: x= ⇒0 y cd = −3.+ Hàm số đạt cực tiểu tại: x= ± ⇒1 y ct = −4.

*Đồ thị:

+ Cho x= − ⇒ =2 y 5.+ Cho x= ⇒ =2 y 5.

* Giới hạn; các đường tiệm cận:

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

(C) của hàm số: 1

1

x y x

lim ?; lim ?

→− →−

Tiệm cận đứng: x d

c

= −

→−∞ = →+∞ = ⇒Tiệm cận ngang: y a

c

=

* Bảng biến thiên:

+TH: ' 0y >

x −∞ −d c/ +∞

y’ + +

+∞ a c y a c −∞

+TH: ' 0y < x −∞ −d c/ +∞

y’ – –

a c +∞

y −∞ a c * Đồ thị: + Tìm các điểm đặc biệt với trục Ox, Oy. ' 0 y > y' 0<  : Chú ý: + Đồ thị nhận điểm I a; d c c − −   ÷  làm tâm đối xứng * Tính đạo hàm: ( )2 2 ' 0, 1 y x D x = − < ∀ ∈ − . * Giới hạn; các đường tiệm cận: +Ta có: 1 1 1 1 lim ; lim 1 1 x x x x x x + − → → + = +∞ + = −∞ − − o ⇒Tiệm cận đứng: x=1 + lim 1 1 1 x x x →±∞ + = ⇒ − o Tiệm cận ngang: y=1. * Bảng biến thiên: x −∞ 1 +∞

y’ – –

1 +∞

y −∞ 1

* Nhận xét:

+ Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng (−∞ ∪ +∞;1) (1; )

+ Hàm số không có cực trị

* Đồ thị:

+ Cho x= ⇒ = −0 y 1 + Cho y= ⇒ = −0 x 1

BÀI TẬP Bài tập 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

1 y x= +3 3x2−1 5 y=2x3−3x2 9 y= − +x3 3x2−1

2 y x= −3 3x2+1 6 y x= −3 6x2+9x 10 y= − +x3 3x−2

=+ 7

x y x

+

=+ 10

2

x y x

− +

=+

x y x

+

=

21

x y x

+

=+

13 1

2

x y x

+

=

−

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

-BÀI TOÁN 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến

nghịch biến ( Hàm số đồng biến trên khoảng

* Kết luận:

+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1)và(2;+∞) và nghịch biến trên ( 1;2)− .

Bài tập: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: y x= − +3 3x 1 (TN THPT 2007 – lần 2)

BÀI TOÁN 2: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định

1 Định lí về dấu của tam thức bậc 2:

Cho tam thức bậc 2: f x( )=ax2+ +bx c a( ≠0)có ∆ = −b2 4ac Khi đó:

- Nếu ∆ <0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x∈¡ .

- Nếu ∆ =0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x∈¡ trừ tại

2

b x a

30

BÀI TOÁN 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b]

Cho hàm số y= f x( )xác định trên đoạn [ ]a b;

* Vậy: max[−1;1]y=4 đạt được tại x= −1

min[−1;1]y=0 đạt được tại x=1

BÀI TẬP

1 Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy x= −3 3x2+1 trên đoạn [ ]0; 2 (TN THPT 2007)

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy x= 4−2x2+1 trên đoạn [ ]0; 2 (TN THPT 2008 – lần 1)

3 Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy=2x3−6x2+1 trên đoạn [−1;1](TN THPT 2008 – lần

5 Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy x= 2−ln(1 2x)− trên đoạn [−2;0](TN THPT 2009)

6 Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy= −(3 x e) x trên đoạn [−3;3]

7 Tìm GTLN, GTNN của hàm sốy x e= − 2x trên đoạn [−1;0]

8 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= x2+ −3 xln x trên đoạn [ ]1; 2 (TN THPT 2013)

9 Tìm các giá trị của tham số m để GTNN của hàm số ( ) 2

10 Tìm GTLN, GTNN của hàm số f x( )= x2−2x+5 trên đoạn [ ]0;3 (TN BT năm 2012).

Vậy: max[ ]0;2 y=2 đạt được tại x=0

min[ ]0;2y= −3 đạt được tại x=2

Vậy: max[ ]0;2 y=9 đạt được tại x=2

min[ ]0;2y=1 đạt được tại x=0

min[−1;1]y= −7 đạt được tại x= −1

BÀI TOÁN 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.

Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số y= f x( )có đồ thị (C) tại điểm

Các dạng toán thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị của ham số (C).

1) Tại điểm có hoành độ x ( tung độ 0 y ) cho trước.0

* Cách giải: + Thay x vào đồ thị (C) và rút ra 0 y0 ⇒M x y( ; )0 0

+ Thay y vào đồ thị (C) và rút ra 0 x0 ⇒M x y( ; )0 0

* Lưu ý: + Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung Ta có: x0 = ⇒0 y0

+ Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành Ta có: y0 = ⇒0 x0

2) Có hệ số góc k cho trước:

* Phương pháp: Giải pt: '( ) f x =k tìm nghiệm x … từ đó rút ra 0 y 0

3) Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y ax b= + .

* Phương pháp: Vì tiếp tuyến // d⇒ =k a , từ pt: '( ) f x =a ta tìm x , rồi thay 0 x vào 0đồ

thị của hàm số để rút ra y 0

4) Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): y ax b= +

* Phương pháp: Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên k a 1 k 1

−

=+ , gọi đồ thị của hàm số là (C) Viết PTTT với đồ thị (C).

1 Tại điểm có hoành độ bằng –1 2 Tại điểm có tung độ bằng 2.

3 Tại giao điẻm của đồ thị với trục hoành 4 Tại giao điẻm của đồ thị với trục tung.

2 Theo y/cầu bài toán, ta có: 0 0 0

− + Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 2 1( 5)

+

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: 1( 1)

( 1)

y x

02

2( 1)

x

x x

=



−

+ Với x0 = ⇒0 y0 =0 Suy ra PTTT cần tìm là: y− = −0 2(x−0) hay y= −2x

+ Với x0 = ⇒2 y0 =4 Suy ra PTTT cần tìm là: y− = −4 2(x−2) hay y= − +2x 8

2 Vì tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): 1

2

y= − x nên hệ số góc: 0

1'( )

2

k= y x = −

0 0

+

=+ tại điểm có hoành độ x0 = −3 (TN THPT 2006).

2. Cho hàm số y x= 4−2x2+1 có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại (TN THPT 2007).

1

x y x

−

=+ có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ bằng –2 (TN THPT

2008).

4. Cho HS 2 1

2

x y x

y= f m( ) ( )d : là đường thẳng song song với trục Ox.

+ Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và (d) Dựa vào đồ thị, ta có:

*m y= cd ⇒(1) có 3 nghiệm

*m y> cd ⇒(1) có 2 nhiệm

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị

(C) của hàm số: y x= −3 3x Dựa vào đồ thị

(C), hãy biện luận theo m số nghiệm của

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của

hàm số: y x= 4−2x2−1 Dựa vào đồ thị (C), hãy

biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

*Ptrình:x3− + − = ⇔ − = −3x 1 m 0 x3 3x m 1 (1)

* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm

của đồ thị (C) với đường thẳng y m= −1

+ Nếu m− < −2 2 thì phương trình (1) vô nghiệm.+ Nếu m− = − ⇔ =2 2 m 0 thì phương trình (1) có

2 nghiệm

+ Nếu − < − < − ⇔ < <2 m 2 1 0 m 1 thì phương trình (1) có 4 nghiệm

2) Tìm các giá trị của tham số m để phương

trình x3−3x2+ + =m 3 0 có 3 nghiệm phân biệt

* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của đồ

thị (C) với đường thẳng y m= +1 Để phương

trình có 3 nghiệm phân biệt thì:

− < + < ⇔ − < <

Ví dụ: Cho hàm số: 1 4 2

24

y= − x + x , gọi đồ thị của hàm số là (C)

1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình 1 4 2

* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của

đồ thị (C) với đường thẳng y=2m−1 Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì:

Bài 3 Cho hàm số y= − +x4 2x2 có đồ thị (C) Tìm giá trị m để phương trình x4−2x2+ − =m 2 0

có 4 nghiệm phân biệt

BÀI TOÁN 6: Định m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ( Đối với HS bâc ba y ax= 3+bx2+ +cx d)

* Dấu của y’ là dấu của:3ax2 +2bx c+ =0

* Hàm số có cực đại, cực tiểu ' 0 y = có 2 nghiệm

phân biệt:

'

00

3

y= x + m− x + m − m+ x m+ Xác định m để :

a Hàm số có cực đại và cực tiểu (Đáp số: 0< <m 1)

b Hàm số luôn đồng biến trên ¡ (Đáp số: m≤0hoặc m≥1)

2) Cho hàm số y=(m+2)x3+3x2+mx−5 Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu

2) Cho hàm số y mx= 3−3x2+(2m−2)x−2 Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu

4) Cho hàm số y x= 4−2(m−1)x2+m Xác định m để hàm số có 3 cực trị

5) Cho hàm số: f x( )= −x 2 x2+12 Giải bất phương trình: '( ) 0f x ≤ (TN THPT 2010)

BÀI TOÁN 7: Định m để hàm số nhận điểm x làm điểm cực đại (cực tiểu).0

*Điểm x là điểm cực đại 0 0

0

'( ) 0''( ) 0

4) Xác định giá trị của tham số m để hàm số y x= −3 2x2+mx+1 đạt cực tiểu tại x=1 (TN

2011)

BÀI TOÁN 8: Chứng minh hàm số y = f(x,m) luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m

*Chứng tỏ f’(x,m) luôn có nghiệm và đổi

dấu khi x đi qua các nghiệm đó.

+ Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y’ = 0 có

∆ > ∀ .

+ Với hàm số bậc bốn, tùy theo yêu cầu

của bài toán để tìm giá trị của m sao cho

y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có ba nghiệm).

có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu (có thể lập bảng xét dấuvới 2 nghiệm x x ) khi x đi qua hai nghiệm đó.1; 2

* Vậy, hàm số đã cho luôn có một điểm cực đại và một cực tiểu với mọi m

ĐỀ THI TN THPT CÁC NĂM (PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ).

Bài 1: (Đề thi TN THPT 2003)

Cho hàm số

2

54

2

−

−+

−

=

x

x x y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Xác định m để đồ thị hàm số

2

54)

4

2

−+

m m x m x

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x=1

3 Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (Cm) đối xứng nhau qua đường thẳng

y= − có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0)

3 Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng

3,0,

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C)

3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A(−1;3)

Bài 5: (Đề thi TNTHPT phân ban 2006)

Cho hàm số y=−x3 +3x2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

2 Dựa vào đò thị (C), biện luận theo m nghiệm của phương trình −x3+3x2 −m=0

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

Bài 6: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2006)

Cho hàm số y= x3 −6x2 +9x có đồ thị (C)

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C)

3 Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y= x−m2 +m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai diểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C)

43

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M(−1;7)

Bài 9: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007)

Cho hàm số

12

21

−

−+

=

x x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm A(0;3)

Bài 10: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007)

Cho hàm số y= x4 −2x2 +1, gọi đồ thị của hàm số là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C)

Bài 11: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007) lần 2.

Cho hàm số y= x3 −3x+2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;4)

Bài 12: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007) lần 2.

Cho hàm số

2

1+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Bài 13: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007) lần 2.

Cho hàm số y=−x3 +3x−2 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C)

Bài 14: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008).

Cho hàm số y=x3 −3x2 +1 có đồ thị (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=3

Bài 15: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008)

Cho hàm số y= x4 −2x2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x=−2

Bài 16: (Đề thi TNTHPT phân ban 2008)

Cho hàm số y=2x3 +3x2 −1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2x3 +3x2 −1=m

Bài 17: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008) lần 2.

Cho hàm số

1

12

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;3)

Bài 18: (Đề thi TNTHPT phân ban 2008) lần 2

Cho hàm số

1

23+

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng –2

Bài 19: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008) lần 2.

Cho hàm số y= x3 −3x2

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 −3x2 −m=0 có ba nghiệm phân biệt

Bài 20: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2009)

Cho hàm số y= x3 −3x2 +4

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y=4

Bài 21: (Đề thi TN THPT 2009)

Cho hàm số

2

12

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5

Bài 22: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2010)

Cho hàm số

2

13+

+

=

x

x y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x=−1

Bài 23: (Đề thi TN THPT 2010)

2

34

1 3 − 2 +

y

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x3 −6x2 +m=0có ba nghiệm phân biệt

Bài 24: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2011)

Cho hàm số y=2x3 −6x−3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung

Bài 25: (Đề thi TN THPT 2011)

Cho hàm số

12

12

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y =x+2

Bài 26: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2012)

Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=

−

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 5

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 biết f x''( )0 = −1

Bài 28: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2013)

Cho hàm số y= −2x3+3x2+1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2

Bài 29: (Đề thi TN THPT 2013)

Cho hàm số y x= − −3 3x 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9

+ Nếu n lẻ, và b∈¡ : tồn tại duy nhất n b

+ Nếu n chẳn:  b < 0 : không tồn tại căn bạc n của b

1log

c Công thức đổi cơ số: Cho , ,a b c>0;a≠1,c≠1 Ta luôn có: log log

log

c a

c

b b

a

=

d So sánh lôgarit: Cho a>0;a≠1

+ Nếu a>1 : loga M >loga N ⇔M >N

+ Nếu 0< <a 1 : loga M >loga N ⇔M <N

e Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên: Số lim 1 1 2,718281828459045

n x

+ với b < 0, suy ra: phương trình vô nghiệm

b Phương pháp giải PT mũ thường gặp:

mũ và lôgarit) Còn pp thứ 3 tương đối khó,chỉ nên tham khảo thêm.

6 Một số phương trình (Bất phương trình) mũ và lôgarit thường gặp:

log ( ) log ( )( ) 0

Ví dụ: Giải phương trình: 32 +1x −4.3x+ =1 0

Giải:

Ta có: 32 +1x −4.3x+ = ⇔1 0 3.32x−4.3x+ =1 0Đặt: t=3 (x t>0), ta được phương trình:

=



− − = ⇔ − − = ⇔  = −+ Với t= ⇔6 6x = ⇔ =6 x log 6 16 =Vậy PT đã cho có 1 nghiệm: x = 1

+ Nếu a > 1, ta có ( ) log f x ≤ a c

Dạng 4: Biến đổi đưa phương trình về dạng:

loga f x( ) log= a g x( ) (lô ga rít hóa

2 vế)

Phương pháp:

+ Dùng các công thức tính toán, cộng, trừ

lôgarit để biến đổi.

+ Cần chú ý đến điều kiện của các biểu thức

dưới dấu lôgarit.

Ví dụ: Giải phương trình: log (9 ) log3 x + 9 x=5.

Vậy PT đã cho có nghiệm: x = 9.

Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu

- Đối với BPT: log a f x( )<c .

+ Nếu 0< <x 1,ta có: ( ) f x >a c (BPT đổi

chiều).

+ Nếu a>1, ta có: ( ) f x <a c

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau.

a) log2x≥log (32 x−1)

=  ÷

BÀI TẬP Bài tập 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính:

a)

4 0,75

i) 83+ 2.41− 2..2− −4 2 j) 102 2log 7+ 10 k) 92log 2 4log 2 3 + 81 l) 3log 27 9

m) 4log 32 2 n) 81 log 3 − 2 o) 7log 15 49 p) 2655 201 5

4 9

+ + +

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:

2 2

3 3

1 1

Bài tập 6: Giải các bất phương trình sau:

1 2

2 1

1

16) log ( 2 ) log ( 4)) log 2 5log 2 4 0

11

ln1

12

1 1

+++

[(2 1) cos ] 2 cos

π π

= +1 2sinxπ2 = + =1 2 3

Bài toán 3: Tích phân dạng: ( ) os

b a

[(1 )sin ] sin

π π

P x xdx

∫

Phương pháp: Đặt

1ln

1 1

+ Giải phương trình y = f(x) = 0 tìm nghiệm trên đoạn [a;b].

+ Nếu không có nghiệm nào ∈[a;b] thì áp dụng công thức:

( ) ( )

S =∫ f x dx= ∫ f x dx + Nếu có một nghiệm c∈[a;b] thì ta áp dụng công thức sau:

( ) ( ) ( )

S =∫ f x dx=∫ f x dx + ∫ f x dx

( Chú ý: y = f(x) = 0 có 2, 3 nghiệm trở lên ∈[a;b], thì ta cũng áp dụng tương tự)

Ví dụ: Tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi các đường : y x= 2−2x , trục Ox và hai

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y x= 2−2 ;x y=0 ; x=0 ; x=2

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y x= +3 3x2 , trục Ox và các

đường thẳng x= −2;x=1

Dạng 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: y= f x C1( ) ( );1 y= f x C2( ) ( )2

Phương pháp:

+ Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình: f x1( )= f x2( )

Giả sử x a x b a b= ; = ( < )là nghiệm của phương trình.

+ Khi đó diện tích của hình phẳng cần tìm được tính theo công thức sau:

1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y x= 2+6 ; y=5 x

2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y e= x , y=2và đường thẳng x=1

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số : y=ln ,x y=0và đường thẳng x e= .

4 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y= − +x2 6 ;x y=0 (TN THPT 2007).

5 Cho hàm số: y= − +x3 3x2có đồ thị (C) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C)

V =π∫ f x dx

Chú ý: Nếu thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): x = f(y),

trục Oy, hai đường thẳng y=α;y=β α β( < ) khi quay quanh trục Oy là:

Ví dụ: Thể tích của khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường: (C): y=2x x− 2, trục

Ox, hai đường thẳng x = 0, x =2(a < b) khi quay quanh trục Ox.

quay quanh trục hoành

2 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: os , 0, 0,

2

y c= x y= x= x=π

Thể tích của khối

tròn xoay được thành khi quay hình (H) quanh trục Ox.

3 Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường: (2 1)sin , 0, 0,

3 Mô đun của số phức:

Mô đun của z a bi= + là: z = a2+b2

Cho số phức z a bi= + , gọi z a bi= − là số phức liên hợp của z Ta có: 22 2

8 Căn bậc hai của thực âm và phương trình bậc hai hệ số thực:

+ Căn bậc hai của số thực a âm là: i a±

+ Cho phương trình bậc hai:

ax + + =bx c a b c∈¡ a≠

− ± ∆

=

BÀI TẬP Bài tập 1: Tính giá trị của các biểu thức sau:

V = πR h

Ví dụ: Tính thể tích của khối chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy (ABC), SA = a,

tam giác ABC vuông tại B, BC = a; AC = 2a.

+ S: Diện tích đáy + h: Chiều cao hình lăng trụ

a

a 2a

Khi đó thể tích: 1

3

Ví dụ: ( TN THPT 2008 – lần 1 ) Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên

bằng 2a Gọi I là trung điểm của cạnh BC Tính thể tích của khối chóp S.ABI theo a

1 Cho hình chóp đều S.ABCD có AC a= 3, góc giữa cạnh bên và mặt đáy ABCD bằng 30 0

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

2 Cho hình chóp S.ABCD có hình chiếu vuông góc của đỉnh S lên mặt đáy trùng với điểm I trung điểm của đoạn AB, đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB=2 ,a AC=3a, góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy ABCD bằng 45 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.0

Dạng 3: Biết một mặt bên vuông góc với mặt đáy Khi đó đường thẳng đi qua một đỉnh của mặt

bên, vuông góc với giao tuyến giữa mặt bên và mặt đáy là đường cao của hình chóp.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SAB vuông góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam

giác đều cạnh bằng a và mặt SAB là tam giác vuông cân tại S Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a

C A

S

H

a a

a

I

B

C A

S

1) Cho hình chóp S.ABC có mặt bên (SAB) vuông góc với mặt đáy (ABC), đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết BC a AC a= , = 3, mặt bên SAB là tam giác vuông tại S và SA a=

Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật Biết BC a BD a= , = 3, mặt bên

(SAB) vuông góc với mặt đáy (ABCD) và góc giữa hai mặt phẳng (SCD) , (ABCD) bằng

600 Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

II THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

Dạng 1: Hình lăng trụ có một cạnh bên d vuông góc với mặt đáy B ( dự đoán được nó là hình

lăng trụ đứng) Khi đó thể tích của hình lăng trụ là: V =B d (B: diện tích đáy; d: là chiều cao)

Ví dụ: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC A B C ' ' ', có AC a BC= , =2 ,a ACB· =600và tamgiác ABB' cân Tính thể tích của khối lăng trụ theo a.

1 Cho hình lăng trụ đều ABC A B C có cạnh ' ' ' đáy bằng a, góc giữa đường chéo 'B C với mặt

bên (ABB A bằng 45' ') 0 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a.

Dạng 2: Biết hình chiếu của một đỉnh xuống mặt đáy.

Ví dụ: Cho hình lăng trụ ABC A B C ' ' ', có hình chiếu vuông góc của đỉnh 'A xuống mặt đáy

ABC trùng với trung điểm I của đoạnh AB, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, góc giữa cạnh bên

AA'với mặt đáy bằng 300 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a.

Ta lại có: ·(AA ABC';( ))=300 ⇒(·AA AI'; ) 30= 0nên ·IAA' 30= 0

Xét ∆AIA'vuông tại I, ta có:

a

a a

trùng với trung điểm I của đoạnh BC, cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại

A,

biết AB = a, AC = a 3 Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho theo a.

III DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH HÌNH NÓN

Diện tích xung quanh hình nón: S xq =π .r l , trong đó r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh.

Diện tích toàn phần hình nón: S tp =S xq+S day =π .r l+π.r2.

Thể tích khối nón: 1 2

.3

V = πr h , trong đó r: là bán kính đáy, h: là chiều cao.

Ví dụ: Cho hình nón đỉnh S, đường tròn đáy tâm O, bán kính r = a và góc ở đỉnh của hình

Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn C(O;r) Trên đường tròn C lấy hai điểm A và B

sao cho ·AOB=600, AB = a, đường sinh SA tạo với đáy một góc bằng 300 Tính diện tích xung

quanh và thể tích của hình nón theo a.

IV DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH HÌNH TRỤ

Diện tích xung quanh hình trụ: S xq =2 π r l , trong đó r là bán kính đáy, l là độ dài đường sinh.

Diện tích toàn phần hình trụ: S tp =S xq+2.S day =2 π r l+2 πr2.

Thể tích khối trụ: V =πr h2 , trong đó r: là bán kính đáy, h: là chiều cao.

Ví dụ: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng a, và khoảng cách giữa hai đáy bằng a 3 Tính

diện tích xung quanh và thể tích của hình trụ đã cho theo a.

Giải:

Gọi O,O’ là tâm ở hai đáy của hình trụ (như hình vẽ bên).

ST&BS: Cao Văn Tú Email: caotua5lg3@gmail.com 35

V DIỆN TÍCH XUNG QUANH – THỂ TÍCH MẶT CẦU

Diện tích của mặt cầu: S =4 π R2, trong đó R là bán kính mặt cầu.

mp(P) tiếp xúc với mặt cầu S(O;R)⇔d O mp P( ; ( )) =R.

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA=2 ,a AC a= 2

và SA vuông góc với mặt phẳng đáy.

1 Chứng minh trung điểm I của đoạn SC là tâm của mặt cầu (S) đi qua các đỉnh của hình chóp S.ABC Tính bán kính của mặt cầu (S) và thể tích của khối cầu.

2 Xác định tâm và bán kính của đường tròn giao tuyến của mặt cầu (S) với mp(ABC)

2 Đường tròn giao tuyến là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Do ABC vuông cân tại B nên tâm của đường tròn giao tuyến

là trung điểm của đoan AC.

Vậy bán kính của đường tròn giao tuyến là: 1 2

Bài tập tương tự:

1 Cho hình chóp đều S.ABCD, có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.

a) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) ngoại tiếp hình chóp trên.

b) Tính diện tích và thể tích của khối cầu (S).

c) Tính bán kính của đường tròn giao tuyến của (S) và mp(ABCD)

2 Cho hình lập phương ABCD A B C D ' ' ' 'có cạnh bằng a, và mặt cầu (S) đi qua các đỉnh của

hình lập phương

a) Xác định tâm và tính bán kính của mặt cầu (S) trên.

b) Tính diện tích và thể tích của khối cầu (S).

c) Tính bán kính của đường tròn giao tuyến của (S) và mp(ABCD)

-Hết Chương I và

r rorouuuro

r ro

5) Phương trình mặt cầu:

a Tâm của mặt cầu: (1; 2;0)I − và bk: R=2

b Tâm của mặt cầu: (1; 3;2)I − và bán kính:

I a b c và đi qua điểm ( ; ; ) A x y z A A A

Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm

(1;3; 4)

I − và đi qua điểm M(2; 4;1)−