Hsg đs8 chuyên đề bất đẳng thức (115 trang)

Từ đó kết luận bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên nn0.. Phương pháp quy nạp toán học thường được sử dụng khi trong bất đẳng thức có sự tham gia của n với vai trò của một số nguyên d

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

3 Các phương pháp chứng minh AB; (AB tương tự):

1) Dùng định nghĩa chứng minh A B  0 (Xét hiệu hai vế)

2) Biến đổi tương đương: A B A1 B1A2 B2   A n B n;

Nếu A n B n đúng thì AB đúng

3) Phản chứng: Giả sử AB dẫn tới một điều vô lý Vậy AB

4) Chứng minh bằng quy nạp toán học:

+ Bước 1: Chứng minh bất đẳng thức đúng với nn0

+ Bước 2: Giả sử bất đẳng thức đúng với nk kn0, ta chứng minh bất đẳng thức đúng với n k 1

Từ đó kết luận bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên nn0

(Phương pháp quy nạp toán học thường được sử dụng khi trong bất đẳng thức có sự tham

gia của n với vai trò của một số nguyên dương tùy ý hoặc số nguyên dương lấy mọi giá trị

c) Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối:

n

a a a n

* Tìm cách giải: a) Hoán vị nhân tử a6 ở vế trái và thực hiện phép nhân a6a9

và a8a7 ta thấy xuất hiện 2

c) Lưu ý do abcd  1 nên cd  1

* Chú ý: a) Có thể biến đổi tương đương tiếp từ  2

* Tìm cách giải: Bất đẳng thức có sự xuất hiện của n với vai trò là một số nguyên dương tùy

ý Ta sử dụng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh

Giải

Với n 1 ta có 1a 1 a hiển nhiên đúng

Giả sử bài toán đúng với số nguyên dương nk tức là 1  k   1

a ka Nhân hai vế với số dương 1a ta có   1   

Bài toán đúng với mọi số nguyên dương nk1 Theo nguyên lý quy nạp bài toán đúng

với mọi số nguyên dương n

Ví dụ 7: Với a b c, , là các số dương chứng minh rằng:

* Tìm cách giải: Các bất đẳng thức khi biến đổi vế trái đều xuất hiện các số dương nghịch

đảo Do đó ta sử dụng kết quả của ví dụ 3b): một số dương cộng với nghịch đảo của nó không nhỏ hơn 2 khi chứng minh

y z z x x y

* Tìm cách giải: Ta thấy nếu cộng 1 vào mỗi hạng tử ở vế trái, sau khi quy đồng mẫu ta thấy

xuất hiện nhân tử chung x y z Vì thế ta biến đổi vế trái bằng cách thêm bớt cùng số 3 đưa về các dạng toán đã chứng minh

* Tìm cách giải: Bài toán có số tổng quát n với n * Ta có thể chứng minh bằng quy nạp

toán học Tuy nhiên từng hạng tử của A có quy luật có thể phân tích sau đó rút gọn nên ta sử

kết hợp với các hạng tử khác sẽ xuất hiện hằng đẳng thức

Do đó Nhân hai vế với 4 ta được 2 2 2 2

Xét tương tự rồi cộng vế với vế các bất đẳng thức cùng chiều ta được đpcm

b) Vì a b c, ,  0 nên a b c    a b 0 Dùng phương pháp làm trội

Hướng dẫn giải – đáp số

a) Vai trò a b c, , như nhau, không mất tổng quát giả sử a  b c 0 Biến đổi bất đẳng thức

đã cho được bất đẳng thức tương đương:

13 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2

Hướng dẫn giải – đáp số

* Ta sử dụng phương pháp phản chứng:

Giả sử trái lại, trong ba số a b c, , có ít nhất một số không dương Do vai trò của a b c, , như nhau nên không mất tổng quát ta coi a 0 Nhưng theo (1) a phải khác 0 vậy a 0 và ta có 0



bc

Theo (3) ab bc ca  a b c   bc0 nên a b c     bc 0

Mà a 0 nên b c  0 suy ra a b c   0 trái với (2)

Vậy a b c, , phải là ba số dương

16 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2 ta có:

(Đề thi Olympic Toán học Thành phố Lêningrat, năm 1985)

(Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 quận 9, TP Hồ Chí Minh, năm 2011 – 2012)

b) Cho ba số dương a b c, , chứng minh

     2 2  2 2

11

23 Cho ba số dương x y z, , Chứng minh rằng:

Đặt xb; yc

a b với 1 x y;  2; xy   2 y 2

x Xét hiệu hai vế và áp dụng kết quả câu a) ta có:

PHẦN II.BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 8

Bài 1: Cho x y z , , dương và x    y z 1.Chứng minh rằng :

1 1





Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P   x 2006   x 2007  2006

Bài 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 20102 2680

1

x A

Bài 14: Cho hai số x y , thỏa mãn điều kiện  2 22 2 2 2 2

x y  x y x  y  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức A  x2  y2

Bài 15 : Cho các số a b c , , thỏa mãn 1  a b c , ,  0.

Bài 20 : Cho x y ,  0thỏa mãn x   y 2.Chứng minh rằng :

2 2

Bài 28 : Cho số thực dương a b c , , thỏa mãn a    b c 2016 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Bài 37: Cho a b c , ,  0; a b c    3.Chứng minh rằng: 2 2 2 3

Bài 40 : Cho a    b c 3.Chứng minh rằng: a4  b4  c4  a3   b3 c3

Bài 41 : Chứng minh rằng :  x  1  x  3  x  4  x   6  10  0với mọi x

Bài 50: Cho a, b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:

2

a b c  b c a  c a b 

Bài 51: Cho biểu thức  2 2 22 2 2

A b  c a 4b ca) Phân tích biểu thức Athành nhân tử

b) Chứng minh rằng: Nếu a, b,clà độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0

Bài 52: Cho 3 số dương a, b,ccó tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1

Bài 61: Cho x, y 0. Chứng minh rằng :

2 2

Bài 74: Cho a b,  0thỏa mãn a b  1.Chứng minh

Bài 81: Cho bốn số dương a b c d, , , Chứng minh rằng:

b c ab ac bc

     b) Chứng minh: 4 4 4  

a b c abc a b c 

c) Chứng minh:

 2 2

4a a b a 1 a b  1 b 0c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

Cho các số a, b,cthỏa mãn 1 a, b,c 0.  Chứng minh rằng: a b 2 c3 ab bc ca 1  

Bài 102: Cho a3b3 2.Chứng minh rằng a b 2 

Bài 105: Cho a, b thỏa mãn a2b2 8.Chứng minh    4 a b 4

Bài 106: CMR với a, b,clà các số dương, ta có:   1 1 1

Bài 107: Cho biểu thức A 2a b 2 22b c2 2 2a c2 2 a4 b4c 4 Chứng minh rằng nếu

a, b,clà 3 cạnh của một tam giác thì A 0

Bài 108: CMR với a b c, , là các số dương, ta có:   1 1 1

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 113: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a b c  abc Chứng minh rằng

1 1 1 3

Bài 115: Cho a, b, c là độ dài các cạnh và p là nửa chu vi của một tam giác Chứng minh:

Bài 118: Chứng minh biểu thức: A = 4a(a + b)(a + b + c)(a + c) + b2c2  0 với mọi a, b, c

Bài 119: Cho 3 số dương a b c, , có tổng bằng 1.Chứng minh rằng 1 1 1 9

Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Bài 122: Cho các số thực dương thỏa mãn x + y + z =3 Chứng minh rằng:

Bài 123: Cho ba số dương x y z, , thỏa mãn x  y z 6 Chứng minh rằng 4

9

x y xyz

a  b  c    với mọi số dương a b c, ,

Bài 131: Cho a b c, , là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

Bài 139: Cho 3 số dương a b c , , có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 9

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 4 : Cho a b c , , là ba số dương thỏa mãn abc  1.Chứng minh rằng:

.2

b) Chứng minh:

2 2

1 1

3 x  x 1 được:

3 x  3 x   3 x   x 1

 2 2

Suy ra:

2 2

1 )

A  x  y  y   Dấu “=” xảy ra    x y 2

 Đẳng thức xảy ra   x 0Vậy MaxB    3 x 0

Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P   x 2006   x 2007  2006

Vậy giá trị nhỏ nhất của Alà  335khi x   3

Bài 9 : Cho 3 số dương a b c , , có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1

9

a    b c

Lời giải

Từ

1 1 1

1 1

x A

11

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi a b c , ,  và x y z , ,  0 ta có:

Bài 20 : Cho x y ,  0thỏa mãn x   y 2.Chứng minh rằng :

2 2

0 2

 

1 4.

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

Bài 25 : Cho a b c d , , , là các số dương Chứng minh rằng: a b b c c d a d

Dấu " "  xảy ra khi x   y zsuy ra a  673, b  672, c  671

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức Plà 6 khi a  673, b  672, c  671

Bài 29 : Cho a b c , , là ba cạnh của tam giác

Dấu " "  xảy ra khi a   b c

Bài 31 : CMR với a b c , , là các số dương, ta có:   1 1 1

Bài 32 : Cho x y z , , là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh rằng:

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng Dấu " "  xảy ra khi x  y

Bài 33 : Cho các số thực a b c , ,  1.Chứng minh rằng

Thật vậy, do vai trò của a b c , , như nhau nên không mất tính tổng quát , ta có thể giả sử :

Từ (1) và (2) suy ra đpcm Dấu " "  xảy ra khi a   b c

Bài 36 Cho a b c , , là ba số dương thỏa mãn abc  1.Chứng minh rằng:

.2

Cộng lại ta có điều phải chứng minh

Bài 39 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1 Chứng minh:

a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ≥ 3ab + 3bc + 3ca a2 + b2 + c2 - ab - bc – ca ≥ 0

Dấu bằng xảy ra khi x    y z 1

Bài 44: a Chứng minh x2   x 1 0(với mọi x)

b Chứng minh:

2 2

       (luôn đúng)

Suy ra:

2 2

Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu " "  xảy ra  x y

Bài 46: CMR với a, b,clà các số dương, ta có:   1 1 1

a b a c c b3

y x (BĐT Cô si) Do đó: A 3 2 2 2 9     Vậy A 9

Bài 47: Cho x, y,zdương và x y z 1.   Chứng minh rằng :

Bài 49: Cho a, b,clà ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Vậy bất đẳng thức được chứng minh

Bài 50: Cho a, b,clà ba số dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng:

2

a b c  b c a  c a b 

Bài 51: Cho biểu thức  2 2 22 2 2

A b  c a 4b ca) Phân tích biểu thức Athành nhân tử

b) Chứng minh rằng: Nếu a, b,clà độ dài các cạnh của một tam giác thì A 0

a b c  b c a  c a b 

2 2

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng Dấu “=” xảy ra khi x y

Bài 68: Cho 3 số dương a b c, , có tổng bằng 1 Chứng minh rằng: 1 1 1 9

a  b c

Lời giải

Từ

1 1 1

1 1

Ta được:

5 5.42

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

Bài 79: Biết a b c, , là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

Bài 81: Cho bốn số dương a b c d, , , Chứng minh rằng:

Lấy (1), (2), (3) và (4) cộng vế theo vế, thu gọn ta được điều phải chứng minh

( Chú ý : Dạng tương tự : Cho bốn số dương a b c d, , ,

a b cb c d c d ad a b

        có giá trị không nguyên )

Bài 82: a) Chứng minh với mọi số thực x, y, z, t ta luôn có bất đẳng thức sau:

Dấu « = » 2

      ( giải tiếp tìm x ) b) Ta có:

     với x 0 ( Đúng ) b) Xét       2  2 

b c ab ac bc

    

b) Chứng minh: 4 4 4  

a b c abc a b c 

c) Chứng minh:

 2 2

  với a và b cùng dấu Dấu “=”   a b 0

Bài 90: Cho ba số dương a b c, ,

Vậy, 3 3 3

Pa   b c abc với a b c   0 Dấu “=”    a b c 0

Bài 92: Chứng minh các bất đẳng thức sau :

Bài 93: Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác

a) Chứng minh rằng: 2 2 2  

2

ab bc ca  a b c  ab bc ca  b) Chứng minh rằng:  2  

a b c   ab bc ca  thì tam giác đó là tam giác đều

Bài 94: Cho x y 2 Chứng minh rằng: 2017 2017 2018 2018

x y x y Lời giải:

Cho x y 2 Chứng minh rằng: 2017 2017 2018 2018

x y x y Xét hiệu:  2018 2018  2017 2017 2017  2017 

Tương tự, x   y x 1 y và 2017 2017

x  y , do đó    2017 2017

1y x y 0 (đpcm) Dấu " "   x y 1

Với a b , dương , chứng minh 1 1 4 4 ( Vi a b 1)

Dấu bằng xảy ra khi a  b

Ta được:

5 5.4 2

a) ab bc 2b

c  a  Với a0,b0,c0 nên ab 0,bc 0

c) Cho a, b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác

xyyzzx8xyz ( cả hai vế đều không âm)

Do đó, xyyzzx8xyz với x y z, , 0 Dấu “=” x  y z 0

Với a, bdương , chứng minh 1 1 4 4 (Vi a b 1)

Bài 107: Cho biểu thức A 2a b 2 22b c2 22a c2 2a4b4c 4 Chứng minh rằng nếu

a, b,clà 3 cạnh của một tam giác thì A 0

Bài 109: Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác

0    c a b c ca bc

Do đó, suy ra: 2 2 2

a b c  ab bc ca 

Bài 112: Cho a, b, c là các số thực dương Chứng minh rằng: 3 3 2

         (Theo BĐT Cauchy) nên BĐT (*) đúng do đó bđt được CM

Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c hay tam giác đã cho là đều

Bài 116: Cho a, b, c là các số dương Chứng minh bất đẳng thức:

Cộng vế theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:

= (2 a2 + 2 ab + 2ac + bc)2  0 với mọi a,b,c (đpcm)

Bài 119: Cho 3 số dương a b c, , có tổng bằng 1.Chứng minh rằng 1 1 1 9

a  b c

Lời giải

Từ

1 1 1

1 1

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b c 1.

Bài 121: Cho là ba số dương thỏa mãn Chứng minh rằng:

Lời giải

Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với mọi ta có:

x y xyz

9

x y xyz

Bài 128: Cho a b c, , là ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng:

  2  2 2

0

ac ab bc ab ac bc

BĐT cuối đúng nên ta có điều phải chứng minh

Bài 131: Cho a b c, , là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :

   3 3

1 2

a b

11

Bài 141: Chứng minh bất đẳng thức sau:

BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng Dấu “=” xảy ra khi x  y

Bài 144: a) Cho a b c , , là 3 cạnh của tam giác, plà nửa chu vi

Cộng từng vế ta có điều phải chứng minh

b)Ta có:

04