Hsg đs8 chuyên đề giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức ( 79 trang)

ĐS8-CHUYÊN ĐỀ .GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT... Dạng tam thức bậc hai và đưa về tam thức bậc haiKhi ấy max A x  a x x o Để tìm giá trị n

ĐS8-CHUYÊN ĐỀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

1 Dạng tam thức bậc hai và đưa về tam thức bậc hai

Khi ấy max ( )A x  a x x o

Để tìm giá trị nhỏ nhất của B(x) ta phân tích B(x) thành bình phương một tổng (hoặc hiệu) trừ đi một số

2 2

2 2

a) Sử dụng tách hoặc thêm bớt để biến đổi biểu thức làm xuất hiện các bình phương một nhị thức

b) Hoán vị và nhân từng cặp làm xuất hiện các biểu thức có phần giống nhau y211y rồi đặt ẩn phụ để giải

a) Biến đổi biểu thức thành tổng các bình phương các nhị thức với một hằng số

b) Dùng tách, thêm bớt các hạng tử làm xuất hiện bình phương các biểu thức Sử dụng hằng đẳng thức:

93

x B x







c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

1 2

2 2

x x C

1( 1)

 khi và chỉ khi x 1.

b) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của

2 2

2 2( 0)

Hiển nhiên đúng Dấu “=” xảy ra  (x 2)2  0 x2.

6 Dạng cùng tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức

Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức 2

10( 2)5

x M

2) Nếu tích của hai số dương không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau.

Nghiệm x 10 thỏa mãn điều kiện của bài Vậy minA4,5 x2.

b) Xét 63P7 9a b trong đó 7a9b42 không đổi nên tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau

 nhỏ nhất khi và chỉ khi

Theo chứng minh trên ta có C     3 2 2 2 9

Nên B 1 C 1 9 Vậy minB8 x y z.

8 Dạng bài tập các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức

Ví dụ 9: Cho x y z  6.

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2y2z2.

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B xy yz zx   .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2 B

x

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B2x 5  2x11

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C4 5x 8 16 (5  x 8) 2

* Với x 5,5 ta có B4x16 6 (3)

Từ (1), (2), (3) ta có minB 6 2,5 x 5,5

c) Đặt 5x 8 y thì

2 2

Dạng tam thức bậc hai và đưa về tam thức bậc hai

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C(x 3)(x 5)(x2 8x17)

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D (1 x x)( 3 11x241x 55).

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức E(x29x18)(x2 x 2) 1.

d) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

12016

x E

.2

5 265

x E x

4 8 16

.4

12 13 2( 2)( )

y x

y x



 và với x 2. Vậymin ( ) 2g x   y1 hay x 3.

Dạng chứng minh giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức

9

a) Chứng minh giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2 6x15 là 6 khi và chỉ khi x 3.

b) Chứng minh giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2

y C

3 x 

Nếu x 3 thì

230

Dạng cùng tìm giá tị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức

11 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các biểu thức:

4 6

a) Chứng minh trong các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

b) Chứng minh trong các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất

x C x

x là hai số dương có tích bằng 144 không đổi nên tổng của chúng nhỏ nhất

khi và chỉ khi hai số đó bằng nhau tức là:

x D

y z z x x y 

(xem ví dụ 8 chuyên đề 20)

3 93

Dạng bài tập các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức

16 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) D a 2b2 với a b ; 0 và a b 4.

b) E a 2b2c2 với a b c , , 0 và a b c  3.

c) F a3b32ab biết a b 2.

a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcG2ab với a2b2;

b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

18 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

 

c) T   x 5 x2

Hướng dẫn giải – đáp số

z z

21 Tìm tất cả các giá trị của x để hàm số yx2 x 16  x2 x 6 đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị

Hãy tìm cặp số x y, để biểu thức A đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó.

(Thi vào lớp 10 THPT Chu Văn An & Hà Nội Amsterdam, năm học 2001-2002)

Đặt x 1 a và y1b, do x 1 và y 1 nên a 0 và b 0 đồng thời x a 1 và y b 1 Khi ấy

x x

x y



a) Tìm n để M = 2

 lớn nhất

 lớn nhất và x nhỏ nhất  y9;x1 và

1919

  hoặc (4;0; 2)

Khi đó maxP28 ( ; ; ) (4;2;0)a b c  và các hoán vị của nó

PHẦN II.BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của tam thức bậc hai ax2bx c

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

y y

y z

z z

Bài 16: Tìm min của: K x2 y2  xy3x3y20

Bài 29: Tìm min của: A x 26y214z2 8yz6zx 4xy

Dạng 4: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức có quan hệ ràng buộc giữa các biến

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

  

Vậy GTLN của P = -2

22

20

02

m

n np p  

Tìm GTNN, GTLN của

A m n p  

Bài 16: Cho a, b>0 và a+b=4, tìm GTLN của

x

, tìm Max của: A= x.y

8

88

y x

x y

A 

Bài 25: Cho x,y  R thỏa mãn: x22xy7x y 2y210 0 Tìm min và max của:

Hướng dẫn

Từ gt ta có : 4m24n28p26mn2mp4np3

=>3m2n2p22mn2mp2np  m2n25p2 4mp 2np 3

Bài 33: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn: 3x22y25z24xy 2xz2yz5, Tìm min max của:

a b

Dạng 5: Phương pháp đổi biến số

Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức A(x1)2(x 3)2

Dấu “ = “ xảy ra khi:

Bài 4:[ Chuyên LHP – 2003 ] Cho số thực x Tìm GTNN của A x 1 2 x 2 x 7 6 x2

Lại có x1 0  x1;x3   x 3 x3; 4 x  4 x x 4 A x    3 0 4 x 3 4Vậy MinA 4 x1

Bài 8: (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 420) Tìm GTNN của

y 

tại

12

xb) Ta có:

K x

M

x x



 

Lời giải

Ta có :

2 2

B Phân thức có mẫu là bình phương của 1 nhị thức

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

1( 1)( 1)

11( 1)

x x G

x x E

Bài 10: Tìm min hoặc max của:  102

x H

x x D

x x B

1 Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTNN của các biểu thức sau

x A







Bài 4: [ HSG – Yên Phong – 2016 – 2017 ]

Tìm GTNN của các biểu thức sau 2

A x

Bài 7: Tìm GTLN của biểu thức sau

2

1

x A

x M







Lời giải

Nháp :

2 2

x B x

Bài 19: Tìm min hoặc max của:

11

x H x

21

11

x G x







Lời giải

x K

Bài 28: Tìm GTLN của biểu thức:

 , Dấu bằng khi và chỉ khi x=0

2 Bậc của tử bằng bậc của mẫu

Bài 1: Tìm GTN N của các biểu thức sau

1( 1)( 1)

B x

x x N

x x Q

Ta có : 2

23

2 2010

x P

Làm tương tự như các bài trên

Bài 11: Tìm min hoặc max của:

2 2

x x Q

2 1

x Q

Bài 13: Tìm min hoặc max của:

2 2

x x H

3 5

x H

x x K

x x N

x x D

Bài 18: Tìm min hoặc max của:

2 2

x x F

H

y y

, làm giống các bài trên

Bài 20: Tìm min hoặc max của:

2 2

11

x J

Bài 21: Tìm min hoặc max của:

5 3

3 4

x y Q

y y

4

x y R

y y

x x A

Bài 25: Tìm min hoặc max của:

x x F

x x G

y y

H

y y

x x

Với y ≠ 0 chia cả tử và mẫu cho y2 ta được:

2 2 2 2

y y M

y y

y y

N

y y

1

y y P x y





 , Đặt

x x Q

Với y ≠ 0 Chia cả tử và mẫu cho y2 ta được:

2 2 2 2

11

x x y y R

x x y y