CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC chebyshev

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV Người hướng dẫn: Thầy Trương Trọng Khánh Nguyễn Trọng Nghĩa... Một số kí hiệu trong bài viết.. Bất đẳng thức Chebyshev .... Một số lưu ý về kĩ thuật

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG

THỨC CHEBYSHEV Người hướng dẫn: Thầy Trương Trọng Khánh

Nguyễn Trọng Nghĩa

Một số kí hiệu trong bài viết 3

I Bất đẳng thức Chebyshev 4

a) Bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều 4

b) Bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu ngược chiều 4

II Các ví dụ 5

III Một số lưu ý về kĩ thuật phân tách bất đẳng thức Chebyshev 25

1.”Giả sử ”: 25

2 Kỹ thuật phân tách bất đẳng thức Chebyshev: 25

IV Bài tập đề nghị 28

a) Bất đẳng thức Chebyshev cho 2 dãy đơn điệu cùng chiều Cho 2 dãy hữu hạn số thực a1a2  a n

1 2 n

b b  b hoặc a1a2  a n

1 2 n

b b  b Khi đó ta có

1 2 n

b b  b hoặc a1a2  a n

1 2 n

b b  b Khi đó ta có

a a

Ví dụ 5 Tổng quát của Ví dụ 4.Cho n số x x1, 2, ,x  n 0sao cho

1

1

n i i

i i

i i

x x

n x

i i

i i

x x

a A

a b  a b a b

3 3 1 2 2

( )( ) 2

b c  b c b c

3 3 1 2 2

( )( ) 2

1

1

1 1

n

i n x i 

Lời giải Phân tích bài toán về dạng Chebyshev, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

   

2(1 )

3 q

 

2

x x

x x

n i i

2 , , ,

1

0 11

1 ( 1) 0

11

a b c d

a a

2 2 , , , , , , , , ,

Đặt a x   6 x a, y   6 y a, z   6 z

Không mất tính tổng quát, giả sử xyz

Ta có (6 x)(1 x) (6  y)(1 y)  (yx y)(  x 3)  0

 (6 x)(1 x)  (6 y)(1 y)

Ví dụ 20 Cho x y z , , 0 thỏa mãn xy 1 Chứng ming rằng 1

a

  Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 3

4 3

(1 )

0 ( 3)( 3)

Các biểu thức c1,c2,c3phụ thuộc vào việc phân tách x y z, ,

Ta sẽ xét tất cả các mối quan hệ của các bộ hoán vị , cùng với điều kiện của chúng, giúp cho việc sử dụng dễ dàng

12 Cho a b c, , là 3 cạnh của 1 tam giác Chứng minh rằng

2

2 2 2 0 3