Hsg đs8 chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử (69 trang)

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau.. Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ.PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ PHẦN I.TRỌNG TÂM CẦN ĐẠT

Chương I PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CÁC ĐA THỨC

2 Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa

thức kia rồi cộng các tích với nhau

Tìm cách giải Nếu thay giá trị của biến vào biểu thức thì ta được số rất phức tạp Khi thực hiện sẽ gặp

khó khăn, dễ dẫn tới sai lầm Do vậy chúng ta cần thực hiện nhân đa thức với đa thức rồi thu gọn đa thức Cuối cùng mới thay số

Trình bày lời giải

Trang 2

Thay x2;y 2 vào biểu thức ta có: B10.2.   2 40

Vậy với x2;y 2 thì giá trị biểu thức B 40

Tìm cách giải Để tìm x, trong vế trái có thực hiện phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức

.Vì vậy ta khai triển và rút gọn vế trái ấy, sau đó tìm x

Trang 3

Giải

Tìm cách giải Chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x, tức là sau khi rút gọn kết

quả thì biểu thức không chứa biến x Do vậy để giải bài toán này, chúng ta thực hiện biến đổi nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đa thức và thu gọn kết quả Nếu kết quả không chứa biến x, suy ra điều phải chứng minh

a) Biến đổi biểu thức A, ta có :

Suy ra giá trị của A không phụ thuộc vào x

b) Biến đổi biểu thức B, ta có :

Tìm cách giải Quan sát kỹ biểu thức, nếu thực hiện trực tiếp các phép tính bài toán dễ dẫn đến sai lầm;

ta nhận thấy nhiều số giống nhau, do vậy chúng ta nghĩ tới đặt phần giống nhau bởi một chữ Sau đó biến đổi biểu thức chứa chữ đó Cách giải như vậy gọi là phương pháp đại số

Trang 7

1

1 1 11

2

a a

a b

b

b c

b ac

c c

Trang 8

Vế trái bằng vế phải suy ra điều chứng minh

10 Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn ab bc caabc và a  b c 1

Tìm cách giải Quan sát đề bài, chúng ta thấy các đa thức trên đều có nhân tử chung

Bước 1 Chọn hệ số là ƯCLN của các hệ số

Bước 2 Phần biến gồm tất cả các biến chung, mỗi biến lấy với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạng tử

Nếu trong đó có hai nhân tử đối nhau, chúng ta đổi dấu một trong hai nhân tử và dấu đứng trước nó

Trang 9

Giải

Tìm cách giải Nhận thấy trong ví dụ này mỗi đa thức đều có dạng hằng đẳng thức Do vậy chúng ta vận

dụng hằng đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử

Tìm cách giải Mỗi đa thức trên không có nhân tử chung, không xuất hiện hằng đẳng thức Quan sát kỹ

nhận thấy nếu nhóm các hạng tử thích hợp thì xuất hiện nhân tử chung

Tìm cách giải Nhận thấy mỗi đa thức đều ẩn chứa trong đó hằng đẳng thức

Vậy chúng ta có thể nhóm nhằm xuất hiện hằng đẳng thức

Trang 10

Tìm cách giải Từ giả thiết chúng ta không thể tính giá trị cụ thể của a, b, c Do vậy bằng việc quan sát và

nghĩ tới việc phân tích đa thức thành nhân tử để tìm mối quan hệ giữa a, b và c Từ đó tìm được giá trị biểu thức M

Trang 15

Chủ đề 3 PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC

A Kiến thức cần nhớ

1 Chúng ta đã biết ba phương pháp để phân tích một đa thức thành nhân tử là đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm các hạng tử và phối hợp ba phương pháp đó Tuy nhiên có những đa thức mặc dù rất đơn giản, nếu chỉ biết dùng ba phương pháp đó thôi thì không thể phân tích thành nhân tử được Do đó trong chuyên đề này chúng ta sẽ xét thêm một số phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử

Tìm cách giải Ta lần lượt kiểm tra với x 1;x 2;x 4, ta thấy f  2 0

Đa thức f x  có nghiệm x2, do đó khi phân tích thành nhân tử, f x  chứa nhân tử x2

Trang 16

Nhận xét Với kỹ thuật trên chúng ta phân tích thành nhân tử được: x3k2x3n11

3 Phương pháp đổi biến

Một số đa thức có bậc cao, nhờ đặt biến phụ đưa về đa thức có bậc thấp hơn để thuận tiện cho việc phân tích thành nhân tử, sau khi phân tích thành nhân tử đối với đa thức mới, thay trở lại biến cũ để được đa thức với biến cũ

Ví dụ 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f x  x x4x6x10128

Trang 17

Tìm cách giải Nếu khai triển ngoặc thì bài toán trở lên khá phức tạp và có thể dẫn đển sai lầm Quan sát

kĩ đề bài chúng ta nhận thấy hệ số của bốn ngoặc có đặc điểm: 3.3 1.9 và 2.     5 1 10, do vậy chúng ta nghĩ đển việc nhóm hai ngoặc lại và đặt biến phụ nhằm đưa về bài toán đơn giản hơn

Tìm cách giải Những bài toán có dạng: 4 3 2 2 2

ax bx cx kaxk b với k 1 hoặc k 1

yx k, rồi biến đổi biểu thức về dạng ax2bxymy2

Trang 18

a c

ac b d

ad bc bd

a c ac

5 Phương pháp xét giá trị riêng của các biến

Ví dụ 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2  2  2 

Px y z y z x z xy

Giải

Nhận xét Nếu thay x bởi y thì P0, nên P chia hết cho xy

Hon nữa nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì P không thay đổi (ta nói đa thức P có dạng hoán vị vòng quanh) Do đó: P chia hết cho xy thì P cũng chia hết cho yz z, x

Trang 19

Từ đó: Pa x yyzzx; trong đó a là hằng số, không chứa biến vì P có bậc 3 đối với tập hợp các biến, còn tích xyyzzx cũng có bậc 3 đối với tập hợp các biến

c cũng là nhân tử của Q, mà Q có bậc 3 đối với tập hợp các biến nên Qk abc

Chọn a  b c 1 được k 4 Vậy Q4abc

Trang 23

b) Chứng minh rằng P(x) chia hết cho 6 với mọi số nguyên x

Trang 27

Phương pháp đổi biến

12 Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

Trang 28

Trang 33

a b

a

b ab

Phương pháp xét giá trị riêng của biến

Trang 34

- Ta thường làm làm xuất hiện hằng đẳng thức:

Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử :

Trang 35

2 Đối với đa thức bậc ba trở lên ( dùng phương pháp nhẩm nghiệm )

Bài 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Lời giải

f(x) có một nhận tử là x – 2 Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x – 2

Trang 36

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

c Ta có x = -3 là nghiệm nên có nhân tử là x + 3

d Ta có: x = -1 là nghiệm của đa thức nên có nhân tử là: x + 1

e Ta có tổng chẵn bằng tổng lẻ nên có nhân tử: x + 1, sau đó lại tổng chẵn bằng tổng lẻ

Bài 7: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Lời giải

Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :

Trang 37

p x

a p q

Trang 38

Lời giải

Nhận xét: Tổng các hệ số bằng 0 nên đa thức có một nhân tử là: x – 1, chia đa thức cho x – 1 ta được:

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính

Và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau:

Nên ta làm như sau:

Trang 39

Lời giải

Bấm máy ta thấy đa thức có ba nghiệm nguyên là -1, -2, -3, nên ta phân tích :

Trang 41

Tương tự như phân tích đa thức dạng:

Trang 42

b) Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của 1 tam giác nên:

Trang 43

- Đôi khi thêm, bớt hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung

1 Thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức: a 2 – b 2

2 Thêm, bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Trang 45

Trang 48

Thay t trở lại ta được :

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Trang 49

Trang 51

Lời giải

Nhận thấy đa thức bậc 4 này không dùng được máy tính

và đa thức không có hai nghiệm là 1 và -1

Tuy nhiên đa thức lại có hệ số cân xứng nhau, nên ta làm như sau:

Trang 53

Do đó :

Lời giải

Đặt

Đối với đa thức bậc cao có dạng luôn luôn có nhân tử chung là bình phương thiếu

của tổng hoặc hiệu, nên ta thêm bớt để làm cuất hiện bình phương thiếu của tổng hoặc hiệu:

Trang 56

Trang 58

Thay vào ta được :

Trang 60

PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

6

88

Trang 64

a Ta nhận thấy đa thức có hai nhân tử là x - 2 và x - 3

b Nhận thấy đa thức có 2 nhân tử là: x – 1 và 3x + 2

Trang 68

3 3 3

53

Tiêu đề	Phân tích đa thức thành nhân tử
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Tài liệu chuyên đề
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	69
Dung lượng	1,83 MB