Bồi dưỡng HSG-Chuyên đề: bất Đẳng thức

Cách 2: Ta sử dụng hệ gồm một phương trình là giả thiết giả thiết rắc rối và cùng một phương trình là một bất đẳng thức quen thuộc sao cho hai p/trình co nét tương đồng.. Đối với cách nà

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

BẤT ĐẲNG THỨC

Dạng 1: Tìm GTNN- GTLN

Cách 1 : Ta có thể dùng BĐT trị tuyệt đối |A| Khi sử dụng trị tuyệt đối thì ta

tìm |A|= B => - B ≤|A|≤B, lúc này GTNN= -B và GTLN= B

Cách 2: Ta dùng phương pháp “ tìm tập giá trị của hàm số ”

Cách 3: Ta dùng “ kĩ thuật chọn điểm rơi ”

Cách 4: Ta dùng “ Đạo hàm ”

Dạng 2: C/m BĐT có kèm điều kiện:

Khi gặp các bài cm BĐT có kèm điều kiện nhưng giả thiết không quá đơn giản ( giả thiết đơn giản như: abc=1,a+b+c=1…)

Cách 1: Sử dụng phương pháp đồng bậc cho các bài có bậc không bằng

nhau Nhân hai vế của giả thiết vào hai vế của bdt cần chứng minh hay thế

ẩn, hằng số này bằng ẩn khác có số bậc khác nhau sao cho cuối cùng các ẩn

có bậc bằng nhau Hoặc sử dụng “ kĩ thuật chọn điểm rơi ” để cân bằng bậc Rùi dễ dàng cm hơn, với cách này cần chú ý khi khi nhân điều kiện vào có đồng bậc hay không????

Cách 2: Ta sử dụng hệ gồm một phương trình là giả thiết( giả thiết rắc rối) và cùng một phương trình là một bất đẳng thức quen thuộc sao cho hai p/trình co nét tương đồng Sau đó ta cộng hai p.trình thành một p.trình Và suy ra một giả thiết mới ( Sáng tạo giả thiết ) để dễ chứng minh hơn Đối với cách này rất khó, khó ở chỗ suy nghĩ ra phương trình để sử dụng làm hệ

Cách 3: Đặt ẩn phụ, một số cách đặt ẩn phụ thường gặp là: Đặt a+b=t hay ab=u, 1/a=v rùi suy ra bdt mới cần cm và giả thiết mới cần tương ứng Đối với một số bài đối xứng thì ta có thể chia cho cho bdt cần cm hoặc giả thiết, với n là số mũ cao nhất Sau khi chia xong thì biến đổi tiếp

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

PHƯƠNG PHÁP TÌM TẬP GIÁ TRỊ HÀM SỐ

Như trên đã nói tới “pp tìm tập giá trị hàm số” đây là một pp tuy mới mà cũ Mà lại rất khó sử dụng Các bạn cùng đọc và suy ngẫm nhé!!!!

1 Tìm gtnn & gtln của M= 2 2

2 2

6 4 4

y x

xy y

x









HD: - nếu y=0 thì M=-4 (*)

- Nếu y≠0 chia tử mẫu cho y^2 ta được M=

1

6 4 4

2 2

































y x

y

x y

x

Đặt t= x/y thì bdt  M=

1

6 4 4 2

2









t

t t

 ( )

Do p.trình có nghiệm t nên ta có:

∆’= 9-(M-4)(M+4)≥0

 ≤25

 -5<M<5(**)

Từ (*) (**) => gtnn là -5 và gtln là 5

2 Tìm gtnn và gtln của N= 2 2

2 4 3

y x

xy x





HD: xét x=0 và x≠0, với x≠0 ta chia tử mẩu cho x^2

3 Cho 2 2

y

x  =1 Tìm gtnn và gtln của P= 2

2

2 2 1

) 6 ( 4

y xy

xy x









(B08)

HD : Ta thấy dưới mẫu chưa đồng bậc vì có số 1, nên ta sử dụng giả thiết 2

2

y

x  =1 thế vào số 1 để có 1 bdt đồng bậc rùi làm bình thường

4 Cmr: thoả mãn x(x+y+z)=3yz ta có:

3 3

3

) ( 5 ) )(

)(

( 3 ) ( ) (x y  yz  x y yz zx  zx (A09)

HD : Các bạn chiệu khó động não thữ bài này nha.^^

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Mình xin mạng phép copy phần này của tác giả vì phần này tác giả

không phải mình

I BÀI TOÁN MỞ ĐẦU

Bài toán 1 Cho , 0

1

a b





  

2

P

ab



Giải

Dấu “=” xảy ra

1

1

2

a

b

 





 



Bài toán 2 Cho , 0

1

a b





  

2 1

P

ab

Giải

Lời giải 1 Ta có: 2 2 2 2 2

P

ab

Dấu “=” xảy ra

Min ? ? P

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

Lời giải 2 Ta có:

P

Mặt khác

2 1

ab     

3

P

Dấu “=” xảy ra

1 2 1



  



Lời bình: Bài toán 1 và bài toán 2 gần như tương tự nhau, cùng áp dụng bất đẳng thức 1 1 4

a   b a b

 Lời giải 1 tại sao sai? Lời giải 2 tại sao lại tách 1 1 1

2 ab  6 ab  3 ab? ? Làm sao nhận biết được điều

đó…? Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Và qua chuyên đề này chúng ta sẽ hiểu sâu hơn về kỹ thuật “chọn điểm rơi” trong việc giải các bài toán cực trị

II LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Có thể nói tằng bài toán bất đằng thức nói chung và bài toán tìm GTNN, GTLN nói riêng là một trong nhửng bài toán được quan tâm đến nhiều ở các kỳ thi Học sinh giỏi, tuyển sinh Đại học,…và đặc biệt hơn nữa là với xu hước ra đề chung của Bộ GD – ĐT Trong kỳ thi tuyển sinh Đại học thì bài toán bất đẳng thức là bài toán khó nhất trong đề thi mặc dù chỉ cần sử dụng một số bất đẳng thức cơ bản trong Sách giáo khoa nhưng học sinh vẫn gặp nhiều khó khăn do một số sai lầm do thói quen như lời giải 1 trong bài toán mở đầu là một ví dụ Để giúp học sinh hiểu sâu hơn về bài toán cực trị đặc biệt là các trường hợp dấu đẳng thức xảy ra, tôi viết chuyên đề “Chọn điểm rơi trong giải toán bất đẳng thức”

III NỘI DUNG

1 Bổ túc kiến thức về bất đẳng thức

a) Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Định nghĩa: a     b a b 0

 a b a c





 

 



 a      b a c b c

 a b a c b d





   

 



THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

   

b) Một số bất đẳng thức cơ bản

 Bất đẳng thức Cauchy

Cho n số thực khơng âm a a1 2, , , ( a nn  2) ta luơn cĩ

1 2

1 2

n n

n

a a a n

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 a2   an

 Một vài hệ quả quan trọng:

n



2

i

n

 Cho 2n số dương (n  Z n ,  2): a a1 2, , , , , , , a b bn 1 2 bn ta cĩ:

n( 1 1)( 2 2) ( ) n 1 2 n 1 2

 Bất đẳng thức BCS

Cho 2n số dương (n  Z n ,  2): a a1 2, , , , , , , a b bn 1 2 bn ta cĩ:

( a b  a b   a bn n)  ( a  a   an)( b  b   bn)

Dấu “=’ xảy ra 1 2

n

n

a

 Hệ quả(Bất đẳng thức Svác-xơ)

Cho hai dãy số a a1 2, , , và , , , với an b b1 2 bn bi    0 i 1, n ta luơn cĩ:

1 2

  

Dấu “=’ xảy ra 1 2

n n

a

2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Cho f x x ( , , , )1 2 xn là một hàm n biến thực trên n: : n

Max

D





THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

Min

D



  



3 Phương pháp chọn điểm rơi

Nhận xét: Các bất đẳng thức trong các đề thi đại học thông thường là đối xứng với các biến, và ta dự đoán dấu bằng xảy ta khi các biến bằng nhau và xảy ra tại biên

a) Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy

Sử dụng hệ quả (1) và (2)

Bài 1 Cho , 0

1

a b





  

ab

Sai lầm thường gặp:

Sai lầm 1: Ta có :

2 ab  ab  2 ab ab  Vậy P   4 2 2 nên MinP  2(2  2)

Sai lầm 2:

Dấu bằng xảy ra

2 2

2 2

2

1







 



2

a   b vào ta được P  7

7

MinP

2

a   b

Nguyên nhân sai lầm:

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

Sai lầm 1: Học sinh chưa có khái niệm “điểm rơi”, việc tách 1 1 1

ab  ab  ab là do thói quen để làm

xuất hiện a2  b2 2 ab   ( a b )2 4 2 2 1 4

2

1

ab









 



Dấu “=” bất đẳng

thức không xảy ra  không kết luận được MinP   4 2 2

Sai lầm 2: Học sinh đã có khái niệm điểm rơi, dự đoán được dấu bằng khi 1

2

a   b nên đã tách các số

hạng và MinP  7 khi 1

2

a   b là đúng, nhưng bước cuối học sinh làm sai ví dụ như 2

(1  x )   x x, dấu bằng xảy ra khi x  1  Min   ( x  1)2 x    1??

Lời giải đúng: Do P là biểu thức đối xứng với a b , , ta dự đoán MinP đạt tại 1

2

a   b , ta có:

4 2

Dấu bằng xảy ra

2 2

2 2

2

1







 



Bài 2 Cho , 0

1

a b





  

S

Sai lầm thường gặp:

3

S

3.

2



THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

59

3

MinS 

Nguyên nhân sai lầm:

3 3 3 2

3

1

  



  



Lời giải đúng

Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi 1

2

a   b , và ta thấy a3 b3 3 a b2  3 ab2   ( a b )3 vì thế ta muốn xuất hiện ( a b  )3; ta áp dụng bất đẳng thức 3 3 2 2

    , ta không đánh giá tiếp được cho nên ta phải áp dụng bất đẳng thức cho 5 số:

3

4

S

Dấu bằng xảy ra khi 1

2

a   b

Bài 3 Cho

1 1 1 4

x y z







   

P

Sai lầm thường gặp:

P

10

9

MaxP

Sai lầm 2:

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

P

Nguyên nhân sai lầm: Cả hai lời giải trên đều đã biết hướng “đích” song chưa biết chọn điểm rơi

2 2

2 9

1 1 1 4

 







   



, tức là không tồn tại ( , , ) : 10

9

x y z  D P 

Lời giải đúng: Từ hai lời giải trên với dự đoán MaxP đạt được tại 4

3

x    y z nên tách các số

2x x x   ra cho dấu bằng xẩy ra

Cách 1: Ta có 1 1 1 1 1 1 1

16

P

3

x    y z

Cách 2: Ta có 4

2 4

 

16

P

1 4

x    y z , suy ra:

1

4

x    y z

Nhận xét: Ta có thể mở rộng bài 3:

Cho

1 1 1 4

x y z







   

P

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

Với    , ,  N: Cách làm tương tự như bài 3, ta tách

số

,



     Nếu    , ,  R,

thì bài tốn cĩ cịn giải quyết được khơng? Câu trả lời dành cho độc giả trong phần sau” Kỹ thuật chọn điểm rơi trong BCS”

Bài 4 Cho , , 0

3

a b c





   

3a  2 b 3b  2 c 3c  2 a  3 33

Sai lầm thương gặp:

, tương tự ta cĩ:

,

mà 5 3 3  3  đề ra sai ? ?

Nguyên nhân sai lầm:

3



  





   



, vậy P  5

Lời giải đúng: Ta dự đốn dấu “=” trong bất đẳng thức xảy ra khi a    b c 1 Vậy ta áp dụng Cauchy cho ba số a  2 ,3,3 b ta cĩ:

3

, tương tự ta cĩ:

3

Bài 5 Cho , , 0

1

x y z

xyz





 , chứng minh rằng:

Sai lầm thường gặp:

Sai lầm 1: P  2 2 2 33 ( )2

  

  



  



, suy ra:

THPT Hùng Vương – Đức Linh – Bình Thuận

(1  y )(1  z )(1   x ) 8 xyz  8 Vậy 3

2

P  , dấu “=” xảy ra khi x    y z 1

Sai lầm 2: ta có:

2

2 2

1

1

1

x

y y

z z

x



 



 





 



,

mặt khác x    y z 33 xyz    3 P 0

Nguyên nhân sai lầm:

Ở sai lầm 1: Học sinh quên tính chất cơ bản của bất đẳng thức: 0 1 1

   

Ở sai lầm 2: Dấu “=” xảy ra

1

xyz

 









Lời giải đúng: Ta dự đoán dấu “=” xảy ra khi x    y z 1 Vì vậy khi áp dụng Cauchy cho

2

1

x y

 và

1 y





:





Ta có:

2

2

2

1

1

x y

z

z x

 



 



 



Dấu “=” xảy ra khi x    y z 1