39 hsg h 20 nam dan

Vậy không tồn tại số tự nhiên n nào thoả mãn yêu cầu bài toán... Do đó không tồn tại số tự nhiên n nào thoả mãn yêu cầu bài toán... Khi đó: tan ABC tan ACB... Theo câu a ta có: AEF DBF.

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 HUYỆN NAM ĐÀN - NĂM 2020

Bài 1 (4,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức:

a) A  7 13  7 13 2

b)

 

 

 

 

2 2 4 x y x x y y

x y B

(Điều kiện: x y  ).0

Bài 2 (5,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n sao cho các số 2n 2017 và n 2019 đều là các số chính phương b) Giải phương trình: 2x23x 2x23x9 33

c) Chứng minh rằng: A n 33n2 n 3 chia hết cho 48 với n là số tự nhiên lẻ

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Cho a, b là các số dương thoả mãn:

2019

a b 

Chứng minh: a b  a 2019 b 2019

b) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn: a b c  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  a2 ab b 2  b2bc c 2  c2ca a 2

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H a) Chứng minh AEF #DBF.

b) Tính: tan ABC tan ACB theo  .  k Biết

AH k HD

 c) Chứng minh: 2 2 2

AH BH CH

Bài 5 (2,0 điểm)

Tính tan36

(không được sử dụng bảng số và máy tính)

-HẾT -LỜI GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 HUYỆN NAM ĐÀN - NĂM 2020

Bài 1 (4,0 điểm) Tính giá trị của biểu thức:

a) A  7 13  7 13 2

b)

 

 

 

 

2 2 4 x y x x y y

x y B

(Điều kiện: x y  ) 0

Lời giải

a) A  7 13  7 13 2  2A 14 2 13  14 2 13 2 

 2A  13 1 2   13 1 2 2

 2A 13 1  13 1 2 

 A0 b) Vì x y 0

nên xy  và 0 x y  Khi đó: 0

 

 

 

 

2 2 4 x y x x y y

x y B

   

 

   

 

2 y x x y x y xy

1 2 1 2   

Bài 2 (5,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n sao cho các số 2n 2017 và n 2019 đều là các số chính phương b) Giải phương trình: 2x23x 2x23x9 33

c) Chứng minh rằng: A n 33n2 n 3 chia hết cho 48 với n là số tự nhiên lẻ

Lời giải a) Cách 1: Với 2n 2017 và n 2019 là các số chính phương

Đặt

2 2

2 2017

2019







2 2

2 2017

2 4038 2



 

  2b2 a2 2021  2b a   2b a  2021

Ta xét các trường hợp:

+ TH1:

b a

b a





 



45 2 2

b a







 

 



2013 2

n 

 

(loại)

+ TH2:

b a

b a





 



45 2 2

b a







 

 



2013 2

n 

 

(loại)

+ TH3:

2 2021

b a

b a





 



1011 2 1010

b a







 

 



1018083 2

n

 

(loại)

+ TH4:

2 2021

b a

b a





 



1011 2 1011

b a







 

 



1018083 2

n

 

(loại)

Vậy không tồn tại số tự nhiên n nào thoả mãn yêu cầu bài toán

Cách 2: Đặt

2 2

2 2017 2019





  2b2 a22021 (với ,a b   ).

Ta có a2 2n2017  alà số lẻ Đặt a2k1 (k  )

Suy ra 2b2 2k122021 b2 2k k 11011  1

Ta thấy vế trái của  1 là số chính phương nên chia cho 4 dư 0 hoặc dư 1, vế phải của  1

chia

cho 4 dư 3 Do đó không tồn tại số tự nhiên n nào thoả mãn yêu cầu bài toán

b) Ta thấy: 2x23x 9 0, x

Phương trình 2x23x 2x23x9 33 2x23x 9 2x23x9 42

Đặt t2x2 3x 9 t 0 Phương trình trở thành: t2 t 42 0

6 7

t t





  

 , chọn t 6

Với t 6 2x23x 9 36

3 9 2

x x







 

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là:

9 3;

2

S  

  c) Ta có A n 33n2  n 3n n2 3  n3 n1 n1 n3

Với n là số tự nhiên lẻ n 1 n1 n3 là tích của 3 số chẵn liên tiếp nên A , 38 A ; A2

Suy ra A 48

Bài 3 (3,0 điểm)

a) Cho a, b là các số dương thoả mãn:

2019

a b 

Chứng minh: a b  a 2019 b 2019

b) Cho a, b, c là các số dương thoả mãn: a b c  3

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M  a2 ab b 2  b2bc c 2  c2ca a 2

Lời giải

a) Điều kiện: a 2019, b 2019

Ta có:

2019

ab

a b

Khi đó: a 2019 b 2019

a b

a b

a b



b) Ta có: 2 2 3 

2

a ab b  a b  1

2 2 3 

2

b bc c  b c  2

2 2 3 

2

c ca a  c a  3

Cộng vế theo vế của  1 ,  2 ,  3 ta được: M  3a b c   3 3

Dấu “ ” xảy ra khi a b c  1

Vậy GTNN M 3 3 đạt được khi a b c  1

Bài 4 (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC có các góc đều nhọn Các đường cao AD , BE , CF cắt nhau tại H a) Chứng minh AEF #DBF.

b) Tính: tan ABC tan ACB theo  .  k Biết

AH k HD

 c) Chứng minh: 2 2 2

AH BH CH

Lời giải

a) Xét AEF và ABC có: A chung;

AB AC (cosA ) Suy ra AEF #ABC(c.g.c). Tương tự cũng có: DBF #ABC(c.g.c).

Do đó: AEF #DBF (đpcm).

b) Ta có: ACB BHD (cùng phụ với HBD)

Suy ra:

tan ACB tanBHD

HD

(vì BHD vuông tại D );

tan ABC

BD



(vì ABD vuông tại D )

Khi đó: tan ABC tan ACB .  .

H

F E

D

A

Mặt khác: 1



AD k

Từ  1 và  2 suy ra: tan ABC tan ACB k    1

c) Ta có: AEH #BDH (g.g)

Tương tự:

CH CE .

Theo câu a) ta có:

AEF DBF

Chứng minh tương tự câu a) ta được:

DBF DCE

Do đó:

2 2

AEF DBF

S BH ;

2 2

DBF DCE

S CH AEF2 DBF2 DEC2

(đpcm)

Bài 5 (2,0 điểm)

Tính tan36

(không được sử dụng bảng số và máy tính)

Lời giải

Vẽ ABC cân tại A , có BC 1; A 36; B C  72

Vẽ phân giác CD của góc C  ADC cân tại D và DCB cân tại C

1

Kẻ DE AC tại E

Đặt AE x  EC x AC ; AB2 ;x BD2x 1

Mặt khác CD là phân giác của góc C

hay

1 2

2x 1 x 2

        

1

x

x

E D

C B

A

Nghiệm dương của phương trình  * là: x14 5 Ta có: cos36 AD x  x 14 5 .

Mà sin236cos236 1

2 10 2 5 36

16

36

4

Suy ra

10 2 5 1 5 10 2 5



